（2）特征方程的各项系数的符号全部相同
即：特征方程的各项系数全部大于0。
充分条件：“劳斯阵列”第一列所有项全部为正。
劳斯阵列
sn
a0 a2 a4 L
s n1 a1 a 3 a 5 L
s n2 b1 b2 b3 L
s n3 c1 c2 c3 L
M MMMM
s1
v1 v2
s0
w1
a0 a2
a0
b1 a4
a1 a3 a1
b2
a1 a5 a1
a1 a3
c1
b1 b2 b1
注：第一列符号改变次数= 系统特征方程含有正实 部根的个数。
【例】：特征方程为 a 2s2a 1sa 00，
试判断稳定性。
【解】：劳斯阵为：
s2
a2
a0
s1
a1
0
s0
b1 a0
所以二阶系统稳定的充要条件是： ❖ a2,a1,a0 均大于零
K
k
an (spi) [s(jjj)][s(jjj)]0
i1
j1
P3
P2
Pn
P1
P5
P4
j
S平面 O
I m S平面
稳 定 区
临 界 稳 定
不
稳 Re
定 区
注：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统 本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初 始条件无关；只与极点有关，与零点无关。
注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。 原因：(1) 在进行系统分析时，所依赖的模型通常是 简化或线性化；
(2) 实际系统参数的时变特性； (3) 系统必须具备一定的稳定裕量。
5.2 系统稳定的充要条件
系统的稳定性 关于系统运动的稳定性理论，是俄国学者李亚
普诺夫（А. М. Лялунов）于1892年确立的。 线性定常系统，在脉冲扰动的作用下，系统的
s4
1
4 16
s3
3
12
s 2 0 ( ) 1 6
s1 12 48 0
s0
16
第一列符号改变2次，有2个正实根。
特殊情况二
D (s )【 s 例5 】s 4 5 s 3 5 s 2 6 s 6 0
【解】各项系数均为正数，满足稳定的必要条件
s5
1
s4
1
5
6 特殊情况：
5
6 有一行元素全为0。
(c) 不稳定
注意：稳定性是控制系统自身的固有特性，取 决于系统本身的结构和参数，与输入无关。
大范围稳定: 不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后， 系统都能够恢复到原有的平衡状态。
B A
（a） 大范围稳定
小范围稳定:
当扰动引起的初始偏差在一定范围内，当扰动取消
后，系统能够恢复到原有的平衡状态；而扰动引起
的初始偏差超出其范围内，当扰动取消后，系统不
能够恢复到原有的平衡状态。
c
e
bd
a
（b）小范围稳定
不稳定: 只要扰动引起一点初始偏差，当扰动取消后，系 统也不能够恢复到原有的平衡状态。
A B
（C）不稳定
临界稳定： 若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存 在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临 界稳定状态。
系统稳定性的基本概念 和例题解答
稳
定
的
摆
b
c
a
d 不 稳 定 的 摆
➢稳定性的定义
控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的平衡状
态，当扰动作用消失后，系统仍能自动恢复到原
来的初始定常系统。
x (t)
控制系统 y ( t )
0
t
(a) 外加扰动
(b) 稳定
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解 作劳斯表如下
s4 1 3 5 s3 2 4 s2 1 5 s1 6 0 s0 5
b1
23411 2
b2
25015 2
c1
14526 1
第一列中有负值出现，不全部大于零，所以系统 不稳定。
两种特殊情况 特殊情况一 【例】 D (s) s4 s3 3 s2 3 s 2 0
k
r
c(t) ciepit
ejt(Ajcos
jtBjsinjt)
i1
j1
由上式可知，如果系统稳定，应有：
t0，c(t)=0
pi 0即，：j 0
系统稳定的充分必要条件： 系统特征方程的根全部具有负实部，即：系统闭环 传递函数的极点全部在S平面左半部。
系统特征方程
D(s)ansnan1sn1La1sa0
【例】：特征方程为 a3s3a2s2a1sa00，
试判断稳定性。
【解】：劳斯阵为：
s3
a3
a1
s2
a2
a0
s1
a2a1 a3a0 0
a2
s0 a0
0
三阶系统稳定的充
❖ a3,a2,a1,a0 均大于零
要条件：
❖且 a1a2a3a00
【例】 已知特征方程为 s4 2 s3 3 s2 4 s 5 0
【解】各项系数均为正数，满足稳定的必要条件
s4
1
32
s3
1
30
s2
0( )
2
s1
3 2
0
s0
2
第一列符号改变2次， 有2个正实根。
特殊情况：第一列出现0。 解决方法：用任意小正数代之。
【例】 D (s ) s 4 3 s 3 4 s 2 1 2 s 1 6 0
【解】各项系数均为正数，满足稳定的必要条件
运动随着时间的增长，可以逐渐趋于零，则称该系 统是稳定的（系统（渐近）稳定）。否则系统是不 稳定的。
定义：若系统在初始偏差作用下,其过渡过程随时间 的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复平衡状态的 性能，则称该系统为渐近稳定,简称稳定。反之为不 稳定。
设系统的闭环传递函数为:
(s)C(s) R(s)
bamnssm n abnm11ssnm11......ab11ssab00
s 3 （0 4） （0 1 0） 0 解决方法：全0行的上一行元
s2
5/2
6
素构成辅助方程，求导后方
s1
2/5
程系数构成一个辅助方程。
s0
6
第一列全为正，临界稳定,解A(s)可
A(s)s45s260
得虚根
dA(s)4s310s10 ds
5.3 代数稳定性判据
不用求解代数方程的根，基于代数方程各次项的系数， 来判别系统稳定性的方法称为代数稳定性判据。
5.3.1 劳斯稳定判据 系统的特征方程
a 0 s n a 1 s n 1 L L a n 1 s a n 0
要使特征方程的根全部具有负实部的必要条件：
（1）特征方程的各项系数 ai 0(i0， 1， 2Ln)
M(s) D(s)
K
B(s)
r
an (spi) [s(j jj)][s(j jj)]
i1
j1
理想脉冲函数作用下 R(s)=1。 对于稳定系统，t → 时,输出量 c(t)=0。
B (s) k C (s) R (s)
c i r
jsj
D (s) i 1s p i j 1 [s (j jj)][s (j jj)]