cos(E A ,E B ) E AE B 21, |E A||E B| 7
解得所求二面角的余弦值为 2 1 7
C y
B
例3 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形， 侧棱PA⊥底面ABCD，AB= 3 ，BC=1，PA=2， E为PD的中点
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值； （Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，
(2)线线垂直:证两直线的方向向量垂直,即 a b ab0
(3)线面垂直:
①证直线的方向向量与平面的法向量垂直;
②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量共线;
③利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两不共线向量来线 性变式直线的方向向量.
(4)线面垂直: ①证直线的方向向量与平面的法向量平行; ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5)面面平行: ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量); ②转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直: ①证明两个平面的法向量互相垂直; ②转化为线面垂直、线线垂直问题.
由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD 又 DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD
（Ⅱ）解：因 A C ( 1 ,1 ,0 ) ,P B ( 0 ,2 , 1 ) ,
故 |AC| 2,|PB| 5,ACPB2,所 以
cosAC,PB ACPB 10. |AC||PB| 5
即得所求得点面距离.
典例解析
例1 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC，
∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC= 1 ，
AB=1，M是PB的中点
2
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦.
证明：以A为坐标原点,AD长为单位长度，如图建立空间 直角坐标系，则各点坐标为
2
5
可知当 4
5
时,N点坐标为
(
1 5
,1,
2 5
)能使
ANM C0.
此时
A N(1,1,2),B N(1,155
由 A N M C 0 , B N M C 0 得 A N M C , B N M C . 所 以 A N B
为所求二面角的平面角 |A N |3 0,|B N |3 0,A N B N 4.
5
5
5
c o s ( A N ,B N ) A N B N 2 . 故 所 求 的 二 面 角 的 余 弦 值 为 2 .
|A N | |B N | 3
3
例2 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，
侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面 ABCD （Ⅰ）证明：AB⊥平面VAD； （Ⅱ）求面VAD与面DB所成的二面角的余弦值.
V
z
D
A x
C y
B
V
z
（Ⅱ）解：设E为DV中点，则，
E (1 ,0, 3 )
D
44
E A (3 ,0 ,3 ) ,E B (3 ,1 ,3 ) ,D V (1 ,0 , 3 ) .A
44
44
22
x
由 E B D V 0 ,得 E B D V ,又 E A D V .
因此，∠AEB是所求二面角的平面角，
的夹角 ,即可求出直线与平面所成的角 ,其关系是sin|cos|
(3)求二面角:
用向量法求二面角也有两种方法:一种方法市利用平面角的定义,在 两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出 这两个方向向量的夹角,由此求出二面角的大小;另一种方法市转 化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等 或互补.
（Ⅲ）解：在MC上取一点N(x,y,z)，则存在 R ,使 NCMC,
N C ( 1 x , 1 y , z ) ,M C ( 1 ,0 , 1 ) , x 1 ,y 1 ,z 1 .
2
2
要使 A N M C ,只 需 A N M C 0 即 x 1 z 0 ,解 得 4 .
证明： 以D为坐标原点，建立如
图所示的坐标系 ， （Ⅰ）证明：不妨设A(1,0,0)， 则B(1,1,0)，V ( 1 , 0 , 3 ) ，
22
AB(0,1,0),VA(1,0, 3) 22
由 ABVA0,得AB⊥VA，又 AB⊥AD，因而AB与平面VAD内 两条相交直线VA，AD都垂直
∴AB⊥平面VAD
6.运用空间向量求空间角.
(1)求异面直线所成的角:cosa,b ab 注意两异面直线所成
的角的范围 ( 0 , ]
|a||b|
2
(2)求线面角:求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射
影直线的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角;另一种 方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量
解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直 z
角坐标系，则A(0,0,0)、B( ,0,0)、 P
CE((03,,1,0,0)、)，D(03,11 ,0)、P(0,0,2)、
2
y
D
C
从而 A C (3 ,1 ,0 ) ,P B (3 ,0 , 2 ) . A
7.运用空间向量求空间距离
空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的 距离
(1)点与点的距离: 两点间的线段的长度,即对应向量的模.
(2)点与面的距离:求解步骤 ①求出该平面的一个法向量; ②求出从该点出发的任一条斜线段对应的向量; ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,
A ( 0 ,0 ,0 ) ,B ( 0 ,2 ,0 ) ,C ( 1 ,1 ,0 ) ,D ( 1 ,0 ,0 ) ,P ( 0 ,0 ,1 ) ,M ( 0 ,1 ,1 ) （Ⅰ）证明：因 A P (0 ,0 ,1 ),D C (0 ,1 ,0 ), 2
故 A P D C 0 ,所 以 A P D C .
期末综合复习 ---选修2-1圆锥曲线
4.直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面 的相对位置的重要概念,通过研究方向向量与法向量之间的关 系,可以来确定直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置 关系以及有关的计算问题.
5.用空间向量判断课件中的位置关系的常用方法.
(1)线线平行:证两直线的方向向量是共线向量.