北师大版必修二第二章解析几何初步综合测试题一、单选题1．已知圆C 的标准方程为2221x y ，则它的圆心坐标是（ ） A ．()2,0- B ．()0,2-C ．()0,2D ．()2,0 2．直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，则a =（ ） A ．1- B ．1 C ．3- D ．33．直线x +（m +1）y ﹣1＝0与直线mx +2y ﹣1＝0平行，则m 的值为（ ）A ．1或﹣2B ．1C ．﹣2D ．124．已知直线1l ：210x ay +-=，与2l ：()12102a x ay --+=平行，则a 的值是（ ） A ．0或1 B ．0或14 C ．0 D ．145．已知两条直线()1:3450l a x y ++-=与()2:2580l x a y ++-=平行，则a 的值是（ ）A ．7-B ．1或7C ．133-D ．1-或7- 6．已知点(2,A 0,1)，(4,B 2,3)，P 是AB 的中点，则点P 的坐标为（ ）A ．(3,1,2)B ．(3,1,4)C ．()0,2,1--D ．(6,4,5)7．直线210x y --=与圆221x y +=的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交且直线过圆心C ．相交但直线不过圆心D ．相离8．已知点A (－1，0)，B (0，2)，点P 是圆22:(1)1C x y -+=上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是（ ）A ．2，2B ．2，2C ，4D ． ＋1－1 9．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝6，圆O 2的圆心坐标为(2，1).若两圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝4，则圆O 2的方程为（ ）A ．(x －2)2＋(y －1)2＝6B ．(x －2)2＋(y －1)2＝22C ．(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22D ．(x －2)2＋(y －1)2＝36或(x －2)2＋(y －1)2＝3210．已知点P 是圆()()22:31C x a y a ++-+=上一动点，点P 关于y 轴的对称点为M ，点P 关于直线1y x =+的对称点为N ，则MN 的最小值是（ ）A ．4B ．C ．4D ．8- 11．设P 为直线2x ＋y ＋2＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形P ACB 的面积的最小值时直线AB 的方程为（ ） A ．2x －y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．2x ＋y ＋1＝012．若直线x +y ﹣m ＝0与曲线2y =没有公共点，则实数m 所的取值范围是（ ）A ．[3-B ．(-∞，)∪(4，+∞)C ．，]D ．(-∞，)∪，+∞)二、填空题13．已知直线1:10l mx y ++=，2:(1)20l x m y +-+=，若12l l ⊥，则m 值为________. 14．已知圆22:(4)4C x y ++=，过点(6,3)-与圆C 相切的直线方程为________. 15．已知点(2,2),(4,2)A B ---，点P 在圆224x y +=上运动，则22||||PA PB +的最小值是__________．16．已知圆C 的方程为2240x x y -+=，直线l ：330kx y k -+-=与圆C 交于A ，B 两点，则当ABC 面积最大时，直线l 的斜率k =______.三、解答题17．已知两点(32)(54)M N -，，，，两直线12:270:10l x y l x y -+=+-=，． （1）求过点M 且与直线1l 平行的直线方程；（2）求过线段MN 的中点以及直线1l 与2l 的交点的直线方程．18．已知两圆222610x y x y +---=和2210120x y x y m +--+=.（1）m 取何值时两圆外切？（2）m 取何值时两圆内切？19．已知圆C 经过点(1,2)A -，(1,4)B ，且圆心C 在直线20x y -=上.（1）求圆C 的方程；（2）若过点(2,3)P -的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，且MN =l 的方程.20．已知圆C 的方程：22240x y x y m +--+=.（1）求m 的取值范围；（2）当圆C 过A (1，1)时，求直线:240l x y +-=被圆C 所截得的弦MN 的长. 21．已知圆22:2220C x y x y ++--=，点(),1A m -、()4,2B m +，其中m R ∈． （1）若直线AB 与圆C 相切，求直线AB 的方程；（2）若以AB 为直径的圆D 与圆C 有公共点，求实数m 的取值范围．22．已知圆M 过点)P ，且与圆222:(1)(2)(0)N x y r r -+-=>关于直线0:20x y l +-=对称.（1）求两圆的方程；（2）若直线1:70l x y +-=，在1l 上取一点A ，过点A 作圆M 的切线，切点为B ，C ．证明：BC ≠参考答案1．A【分析】根据标准方程，直接求圆心坐标.【详解】圆C 的标准方程为2221x y ， 圆心坐标为()2,0-.故选：A【点睛】本题考查圆的标准方程，属于基础题型.2．B【分析】根据圆的对称性，得出圆心在直线30x y a ++=上，即可得出a 的值.【详解】由圆的对称性可知，该圆的圆心1,2在直线30x y a ++=上则()31121a =-⨯--⨯=故选：B3．C【分析】解方程m （m +1）﹣2＝0，再检验即得解.【详解】由m （m +1）﹣2＝0，解得m ＝﹣2或1．经过验证m ＝1时，两条直线方程都为x +2y ﹣1＝0，可知两直线重合，所以舍去. 当m ＝﹣2时，满足题意.故选：C【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．C根据直线一般式方程下直线平行的关系列式求解即可.【详解】解：因为对于直线1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为零），直线2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为零）；当直线12l l //时，等价于1221122100AC A C A B A B -≠⎧⎨-=⎩； 所以有()()121022210a a a a ⎧+-≠⎪⎨⎪---=⎩，解得0a =.故选：C.【点睛】方法点睛：对于直线1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为零），直线2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为零）；当直线12l l //时，等价于1221122100AC A C A B A B -≠⎧⎨-=⎩； 当直线12l l ⊥时，等价于12120A A B B +=；5．D【分析】根据两直线平行的条件，得出关于a 的方程，求得a 的值，即可得到答案.【详解】由题意，直线()1:3450l a x y ++-=与()2:2580l x a y ++-=相互平行，可得(3)(5)420a a ++-⨯=，整理的2870a a ++=，解得1a =-或7a =-.经验证，当1a =-或7a =-时，此时12l l //，所以a 的值是1-或7-.故选：D.6．A利用中点坐标公式直接求解即可【详解】根据题意，点(2,A 0,1)，(4,B 2,3)，P 是AB 中点，则点P 的坐标为240213,,222+++⎛⎫⎪⎝⎭，即(3,1,2)． 故选：A.7．C【分析】 求出圆心到直线的距离，与半径比较大小，即可得到结论.【详解】圆221x y +=的圆心()0,0O ，半径1r =. 因为圆心()0,0O 到直线210x y --=的距离15d ==<. 所以直线与圆相交但直线不过圆心.故选：C8．B【分析】求得圆心到直线AB l 的距离d =，结合点与圆的位置关系，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】由题意知AB ==:220AB l x y -+=，又由圆22:(1)1C x y -+=的圆心坐标为(1,0)，所以圆心到直线AB l的距离5d ==，所以PAB S 的最大值为11)22=，PAB S 的最小值为1(1)2252-=-. 9．C【分析】设出圆O 2的方程，进而可得直线AB 的方程，再由垂径定理运算即可得解.【详解】由题意，设圆O 2的方程为222(2)(1)(0)x y r r -+-=>因为圆O 1的方程为22(1)6x y ++=，所以圆O 1的圆心为()0,1-， 所以直线AB 的方程为244100x y r ++-=， 则圆心O 1到直线AB 的距离2d =， 所以2262AB d ⎛⎫= ⎪⎝⎭+即2246+=，解得26r =或22，故圆O 2的方程为22(2)(1)6x y -+-=或22(2)(1)22x y -+-=. 故选：C.10．C【分析】先设()P m n ,，则(),M m n -，()1,1N n m -+，由两点间距离公式，得到MN =由圆的性质，求出其最小值，即可得出结果.【详解】设()P m n ,，则(),M m n -，()1,1N n m -+，MN ==C 上的点()P m n ,到定点()0,1A 的距离，由题得，圆心(),3C a a --，半径1r =，根据圆的性质可得，11AP AC r ≥-==11=≥，当且仅当2a =时，等号成立；所以()14MN =≥=所以MN 的最小值是4故选：C.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于，通过设点()P m n ,，得到M ，N 坐标，根据两点间距离公式，得到MN =. 11．D【分析】根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求直线AB 的方程.【详解】由于,PA PB 是圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，,A B 是切点，所以2||||2||PACB PAC S S PA AC PA ∆==⋅=== 当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小，此时PC :11(x 1)2y -=-,即210.y x --= 联立210,220y x x y --=⎧⎨++=⎩得1,,(1,0),0x P y =-⎧-⎨=⎩PC 的中点为1(0,),||2PC ==以PC 为直径的圆的方程为2215(),24x y +-=即2210x y y +--=， 两圆方程相减可得直线AB 的方程210,x y ++=故选：D.12．D【分析】将曲线方程等价变形，得到其表示下半圆，在同一个坐标系中画出图象，结合图形得到结果.【详解】 由2(2)y x x =--+等价变形得：（x +1）2+（y ﹣2）2＝1（12y ≤≤），曲线2(2)y x x =--+表示以（﹣1，2）为圆心，半径为1的下半圆， 作出曲线2(2)y x x =--+，以及直线x +y ﹣m ＝0，由直线和圆（x +1）2+（y ﹣2）2＝1相切， 即1212md -+-==，解得m ＝2m ＝2（舍去），当直线通过（0，2）时，0+2﹣m ＝0，即m ＝2，可得m ＜2或m ＞2时，直线x +y ﹣m ＝0与曲线2(2)y x x =-+ 故选：D ．【点睛】该题考查的是有关根据曲线没有公共点求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有数形结合思想的应用，直线与圆的位置关系，属于简单题目.13．12【分析】本题考查两直线的垂直的条件，根据两直线垂直的条件列出关于m 的方程，求解.【详解】解：直线1:10l mx y ++=，2:(1)20l x m y +-+=，若12l l ⊥，则()1110m m ⨯+⨯-=,解得12m =, 故答案为：12.【点睛】两直线1110a x b y c ++=,2220a x b y c ++=垂直的充分必要条件是12120a a b b +=. 14．6x =-或51122y x =-+，（答案：6x =-或12560y x +-=也可以） 【分析】本题考查求圆的切线方程，分斜率存在与不存在，利用由圆心到切线的距离等于半径，求解即得. 【详解】解：圆22:(4)4C x y ++=的圆心坐标()4,0C -，半径2r =,过点(6,3)-的直线，当斜率不存在时，直线的方程为6x =-,显然到圆心的距离正好等于半径，故而是圆的一条切线；当斜率存在时，设斜率为k ,直线的方程为()36y k x -=+，即：630kx y k -++=,2=,解得512k =-， 故切线的方程为51122y x =-+， 故答案为：6x =-或51122y x =-+，（答案：6x =-或12560y x +-=也可以） 【点睛】关键是由首先验证斜率不存在时是否是圆的切线，一定要养成思维严密有序的良好习惯. 15．36- 【分析】设(,)P x y ，求出22||||PA PB +，再利用几何意义求得最小值． 【详解】设(,)P x y ，则22||||PA PB +22222222(2)(2)(4)(2)2(1)2(2)182(1)(2)18x y x y x y x y ⎡⎤=++++-++=-+++=-+++⎣⎦，又记(1,2)C -，CO =O 为坐标原点）， 则22(1)(2)-++x y的最小值为22(2)2)9CO -==-所以22PA PB +的最小值为2(91836-+=-故答案为：36- 【点睛】本题考查用几何意义平面上的最值问题．对一些特殊的表达式可利用几何意义求解： 平方和形式：22()()x a y b -+-(,)P x y 与(,)Q a b 的距离， 分式形式：y bx a--表示(,)P x y 与定点(,)a b 连线斜率．这是两个常用的几何意义． 另外圆外的点到圆上点的最值可通过定点到圆心距离求解． 16．1或7- 【分析】由三角形面积公式求得ABC 面积最大时，2ACB π∠=，这样可求得圆心C 到直线BC 的距离，再由点到直线距离公式求得斜率k ． 【详解】圆C 的标准方程为()2224x y -+=，直线l 可变形为()33y k x =-+，则圆心C 为()2,0，半径为2，直线l 过定点()3,3， 由面积公式可得21sin 2sin 22ABCS r ACB ACB =∠=∠≤， 所以当2ACB π∠=，即圆心C 到直线l的距离为d =ABC 的面积取得最大值，所以d ==1k =或7-．故答案为：1或7-． 【点睛】易错点睛：直线与圆相交于,A B ，圆心为C ，ABC 面积为21sin 2S r ACB =∠，当ACB ∠的最大值θ不小于2π时，2ABC π∠=时，S 取得最大值212r ，当ACB ∠的最大值2πθ<时，S 取得最大值21sin 2r θ．不是任何时候最大值都是212r ．17．（1）280x y -+=；（2）30.y -=． 【分析】（1）根据两直线平行设出所求直线方程，代入点(3,2)M -的坐标可解得结果；（2）根据中点坐标公式求出线段MN 的中点，根据两条直线方程解出交点坐标，由此可得所求直线方程. 【详解】（1）因为所求直线与直线1l 平行，所以设所求直线方程为20x y C -+=(7)C ≠， 因为所求直线经过点(3,2)M -，所以2(3)20C ⨯--+=，得8C =， 所以所求直线方程为280x y -+=．（2）因为(32)(54)M N -，，，，所以线段MN 的中点为(1,3)， 联立27010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得23x y =-⎧⎨=⎩，即直线1l 与2l 的交点为(2,3)-故所求直线方程为30.y -= 【点睛】结论点睛：与直线0Ax By C ++=平行的直线方程可设为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线方程可设为10Bx Ay C -+=.18．（1）25m =+（2）25m =-. 【分析】（1）两圆位置关系外切，则圆心距等于半径之和； （2）两圆位置关系内切，则圆心距等于半径之差. 【详解】解：两圆的标准方程为：()()221311x y -+-=，()()225661x y m -+-=-， 圆心分别为()1,3M ，()5,6N，半径分别为1r =和2r =5MN ==.（1）当两圆外切时，圆心距12MNr r =+，即5=解得25m =+（2）当两圆内切时，因定圆的半径1r =小于两圆圆心间距离5，故为小圆，即12MN rr =-，5=25m =-19．（1）()()22124x y -+-=；（2）3y =或3460x y +-=. 【分析】（1）由已知先设出圆心C 的坐标为(,2)a a ，再求出AB 的中点E 的坐标，利用AB 与CE 垂直即可求出a 的值，进而可求出半径，即可求得圆的方程；（2）根据点斜率方程设出直线的方程，求出圆心到直线的距离，然后利用弦长的一半以及半径和圆心到直线的距离建立方程，即可求解 【详解】解：（1）由题意设圆心C 的坐标为(,2)a a ，由(1,2)A -，(1,4)B ，可得AB 的中点E 的坐标为(0,3)， 因为ABCE ，所以1AB CE k k ⋅=-，即4223111a a--⋅=---，解得1a =， 则圆心(1,2)C ，半径2r AC ==， 所以圆C 的方程为()()22124x y -+-=.（2）设直线l 的方程为()32y k x -=+，圆心C 到直线l 的距离d =1=1=； 解方程得：0k =或34k =-所以直线l 的方程为3y =或3460x y +-=.20．（1）5m <；（2. 【分析】（1）将圆的方程整理成标准形式，可得不等式50m ->，即可得答案； （2）求出圆的方程，再根据圆的弦长公式，即可得答案； 【详解】解：（1）圆C 的方程可化为22(1)(2)5x y m -+-=-令50m ->得5m <（2）∵圆C 过A (1，1)代入得4m =，圆C 方程为22(1)(2)1x y -+-=圆心C (1，2)，半径1r =,圆心C (1，2)到直线:240l x y +-=的距离为5d ==∴5MN ==. 21．（1）34170x y -+=或3430x y --=；（2）33.⎡⎤--⎣⎦【分析】（1）求出圆心C 的圆心坐标与半径长，求出直线AB 的方程，利用直线AB 与圆C 相切可得出圆心C 到直线AB 的距离等于圆C 的半径，可得出关于实数m 的等式，求出m 的值，进而可求得直线AB 的方程；（2）求出线段AB 的中点D 的坐标，由题意可得出关于m 的不等式，即可解得实数m 的取值范围. 【详解】（1）圆C 的标准方程为()()22114x y ++-=，圆心()1,1C -，半径为2r，直线AB 的斜率为()21344AB k m m +==+-，所以，直线AB 的方程为()314y x m +=-，即34340x y m ---=， 由于直线AB 与圆C 相切，则31125m --=，解得13m =-或7m =-，因此，直线AB 的方程为34170x y -+=或3430x y --=； （2）线段AB 的中点为12,2D m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且5AB =， 由于以AB 为直径的圆D 与圆C 有公共点，则22AB ABr CD r -≤≤+，可得1922≤≤，解得33m --≤≤-，故实数m 的取值范围为33⎡⎤--⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题考查利用两圆有公共点求参数的取值范围，若两圆圆心分别为1C 、2C ，半径分别为1r 、2r ，可将问题等价转化为121212r r C C r r -≤≤+来处理.22．（1）圆22:(1)9M x y +-=，圆22:(1)(2)9N x y -+-=；（2）证明见解析.【分析】（1）由MN 与0l 垂直，MN 的中点在0l 上，可求得M 点坐标，得圆半径，从而得两圆方程；（2）设点(,7)A a a -，设B ，C 中点为Q .，假设BC =，则BQ =，由切线性质求得AM 2=，如果此方程有解，则在在，此方程无解，则不存在，假设错误．从而可得结论． 【详解】解：（1）设点()00,M x y ，因为圆M 与圆N 关于直线0:20x y l +-=对称，且()1,2N ，根据直线MN 与直线0l 垂直，M ，N 中点在直线0l 上，得0000211122022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪+-=⎪⎩，解得0001x y =⎧⎨=⎩，即(0,1)M ，所以||3MP ==，3r =，所以圆22:(1)9M x y +-=，圆22:(1)(2)9N x y -+-=.（2）由题可知1:70l x y +-=，设点(,7)A a a -，设B ，C 中点为Q .假设BC =，则BQ = 又∵3BM =，90BQM ∠=︒，∴MQ =， ∵BMQ 与AMB 相似，∴MQ BM BMAM=，∴22BM AM MQ===，= 整理得24521202a a -+=， ∵45144421602∆=-⨯⨯=-<，所以方程无解，假设BC =不成立，所以BC ≠【点睛】方法点睛：本题考查圆关于直线对称问题，考查圆的切点弦长问题．解题方法：关于直线对称的圆的方程，圆心关于直线的对称点即为对称圆的圆心，半径为变，由此易得．过圆外一点作圆的切线，切点弦长一般结合几何方法求解，即由图中的BMQ与AMB相似建立关系求解．。