5.1.2 数据的数字特征1．数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数(1)最值 一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max 表示，最小值用min 表示．(2)平均数①公式：指样本数据的平均数，即x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )＝1n ∑i ＝1n x i . 一般地，利用平均数的计算公式可知，如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，且a ，b 为常数，则 ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数为a x －＋b . ②求和的性质∑i ＝1n (x i ＋y i )＝∑i ＝1n x i ＋∑i ＝1n y i ；∑i ＝1n (kx i )＝k ∑i ＝1n x i ；∑i ＝1nt ＝nt . (3)中位数一般地，有时也可以借助中位数来表示一组数的中心位置：如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ＋1，则称x n ＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ，则称x n ＋x n ＋12为这组数的中位数．(4)百分位数①定义 直观来说，一组数的p %分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于p %位置的数．中位数就是一个50%分位数．②意义 一组数的p %(p ∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p %的数据不大于该值，且至少有(100－p )%的数据不小于该值．规定：0分位数是x 1(即最小值)，100%分位数是x n (即最大值)．(5)众数一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数．2．极差、方差、标准差数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述．(1)极差一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．(2)方差如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，则方差可用求和符号表示为s 2＝1n i ＝1n (x i－x －)2.此时，如果a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2.(3)标准差方差的算术平方根称为标准差．思考：方差与标准差的大小与样本数据有什么关系？[提示] 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．1．下列各数字特征中，能反映一组数据离散程度的是()A．众数B．平均数C．标准差D．中位数C[方差与标准差反映一组数据的离散程度．]2．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值约为() A．4.55B．4.5C．12.5D．1.64A[x＝4×3＋3×2＋5×4＋6×23＋2＋4＋2≈4.55.]3．己知一组数据10,30,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是()A．平均数>中位数>众数B．平均数<中位数<众数C．中位数<众数<平均数D．众数＝中位数＝平均数D[由所给数据可得平均数为50，中位数为50，众数为50，因此众数＝中位数＝平均数．]4．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：(1)平均命中环数为________；(2)命中环数的标准差为________．(1)7(2)2[(1)x＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7.(2)s2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.]【例甲：18 19 20 20 21 22 23 31 31 35乙：11 17 19 21 22 24 24 30 30 32则这10天甲的日加工零件的平均数为________；乙的日加工零件的众数与中位数分别为________和________．[思路探究]由甲、乙的数值求出甲、乙10天中每天加工零件的个数，然后求平均数，众数与中位数．2424与3023[甲每天加工零件的个数分别为：18,19,20,20,21,22,23,31,31,35，所求平均数为x甲＝110×(18＋19＋20＋20＋21＋22＋23＋31＋31＋35)＝24.乙每天加工零件的个数分别为：11,17,19,21,22,24,24,30,30,32，故众数为24与30.中位数为12×(22＋24)＝23.]1．求平均数时要注意数据的个数，不要重计或漏计．2．求中位数时一定要先对数据按大小排序，若最中间有两个数据，则中位数是这两个数据的平均数．3．若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数．1．十名工人某天生产同一零件，生产的件数是：15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有() A．a＞b＞c B．c＞b＞aC．c＞a＞b D．b＞c＞aB[从小到大排列此数据为：10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.平均数为110(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7；数据17出现了三次，17为众数；在第5位、第6位均是15，故15为中位数．所以这组数据的平均数是14.7，中位数是15，众数是17.]【例中抽取6件测量数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．[思路探究][解](1)x甲＝16×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x乙＝16×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100，s2甲＝16×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s2乙＝16×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)由(1)知x甲＝x乙，比较它们的方差，∵s2甲＞s2乙，故乙机床加工零件的质量更稳定．1．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)，方差大说明取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定．2．关于统计的有关性质及规律：(1)若x1，x2，…，x n的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mx n＋a的平均数是m x＋a；(2)数据x1，x2，…，x n与数据x1＋a，x2＋a，…，x n＋a的方差相等；(3)若x1，x2，…，x n的方差为s2，那么ax1，ax2，…，ax n的方差为a2s2.2．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如下表：(1)求这50(2)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差．[解](1)平均数x＝150×(2×6＋3×16＋4×15＋5×13)＝18550＝3.7.众数是3，中位数是4.(2)这50户居民每天丢弃旧塑料袋的方差为s2＝150×[6×(2－3.7)2＋16×(3－3.7)2＋15×(4－3.7)2＋13×(5－3.7)2]＝150×48.5＝0.97.所以标准差s≈0.985.[探究问题]1．平均数、中位数、众数中，哪一个量与样本的每一个数据都有关，它的缺点是什么？[提示]平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但它的缺点是受数据中极端值的影响较大．2．在电视大奖赛中，计算评委打分的平均值时，为什么要去掉一个最高分和一个最低分？[提示]为了避免平均值受数据中个别极端值的影响，增大它在估计总体时的可靠性．【例3】据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下：________更能反映这个公司员工的工资水平．[思路探究]求出中位数与平均数，再根据其反映的数字特征进行判断．5 333,4 000中位数[把工资数据由小到大排列，得到中位数为4 000元．平均数x＝11 000＋10 000＋9 000×2＋8 000＋6 500×5＋5 500×3＋4 000×2033≈5 333元．由数字知，中位数更能反映该公司员工的工资水平，平均数受少数人工资额的影响较大，不能反映这个公司员工的工资水平．]因为平均数与每一个样本数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质，也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于全体样本数据的信息.但平均数受数据的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低.3．设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b ∶a ＝5－12≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中，下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是 ( )A ．甲批次的总体平均数与标准值更接近B ．乙批次的总体平均数与标准值更接近C ．两个批次的总体平均数与标准值接近程度相同D ．两个批次的总体平均数与标准值接近程度不能确定A [x 甲＝0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.6395＝0.617， x 乙＝0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.6205＝0.613， ∴x 甲与0.618更接近．](教师独具)1．本节课的重点是会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差，难点是理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法．2．本节课要掌握的几类问题(1)当平均数大于中位数时，说明数据中存在较大的极端值；反之，说明数据中存在较小的极端值．(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．3．本节课的易错点是计算标准差和方差时公式记错致误．1．思考辨析(1)样本的平均数描述了样本数据的平均水平．()(2)方差越大、数据越集中在平均数左右．()(3)中位数是样本数据中最中间位置的数据．()[答案](1)√(2)×(3)×2．2019年某高一学生下学期政治考试成绩为79798484868487909097则该生政治考试成绩的平均数和众数依次为()A．8584B．8485C．8684D．8486C[由题意可知，平均数x＝79＋79＋84＋84＋86＋84＋87＋90＋90＋97＝86，10众数为84.]3．国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：则应派________丙[由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适．]4．甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测10个，它们的尺寸分别为(单位：mm)甲：10.210.110.98.99.910.39.7109.910．1乙：10.310.49.69.910.1109.89.710.210分别计算上面两个样本的平均数与标准差．如果图纸上的设计尺寸为10 mm，从计算结果看，用哪台机床加工这种零件较合适．[解]x甲＝110(10.2＋10.1＋10.9＋…＋10.1)＝10，x乙＝110(10.3＋10.4＋9.6＋…＋10)＝10，s甲＝110[(10.2－10)2＋(10.1－10)2＋…＋(10.1－10)2]＝0.228≈0.477，s乙＝110[(10.3－10)2＋(10.4－10)2＋…＋(10－10)2]＝0.06≈0.245，∵x甲＝x乙＝10，s甲>s乙，∴乙比甲稳定，用乙较合适．。