百位 十位 个位 百位 十位 个位 百位 十位 个位
0
0
A
3 9
A
3
2 9
A
2
2 9
根据加法原理
648 A9 2 A9
解法三：间接法.
从0到9这十个数字中任取三个 3 数字的排列数为 10 ，
A
其中以0为排头的排列数为
A
. 9
2
∴ 所求的三位数的个数是
A A
3 10
10 9 8 9 8 648 . 9
例 由数字1，2，3，4可 以组成多少个没有重复数字 的三位数？
1 2
1 3 1 4
1 2 3 1 2 4 1 3 2
2 1
2 3 2 4
2 1 3 2 1 4 2 3 1
1
1 3 4 1 4 2
1 4 3 3 1 2 3 1 4
2
2 3 4 2 4 1
2 4 3 4 1 2 4 1 3
3 1 3 3 2
2
( 2) A A A
m n k n
mk nk
(k m n)
(n 1)! n! (n k 1) n! (3) k! (k 1)! k!
你能用学过的方法，举一实际的 例子说明（1）、（2）吗？
练习：
求解下列各式的值或解方程。
(1) A
4 2 n 1 4 8 8 8
4 1 4 2
3 2 1
3 2 4 3 4 1 3 4 2 4
4 2 1
4 2 3 4 3 1 4 3 2
3 4
4 3
一般地说，从 n 个不同元素 中，任取 m (m≤n) 个元素（本章 只研究被取出的元素各不相同的 情况），按照一定的顺序排成一 列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
下列问题是排列问题吗？
（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加 法，其结果有多少种不同的可能？
（2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除 法，其结果有多少种不同的可能？ （3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐 标，可得多少个不同的点的坐标？
（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点 最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ （5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少 种？
2 (1) An 56，求n。
(2) A 2 A ?
4 8 2 8 7 5 An An (3)已知 89，求n。 5 An 5 6 2 A7 A6 (4) ? 6!5! 3 2 2 (5)3 Ax 2 Ax 6 A 1 x ，求x。
例5 求证下列各式： m m 1 (1) An n An 1
排列 与 排列数公式
10.2 排列 问题1 北京、上海、广 州三个民航站之间的直达 航线，需要准备多少种不 同的飞机票？
起点站 北京
上海
终点站
上海 广州
飞机票
北京 北京 上海 广州
北京
广州
上海
上海 广州
北京
广州 北京
广州
北京
上海
广州
上海
我们把上面问题中被取的对象 叫做元素。于是，所提出的问题就 是从3个不同的元素a、b、c中任取 2个，然后按一定的顺序排成一列， 求一共有多少种不同的排列方法。
cdbd bc cdadacbd ad ab bcacab
b c d
a
a c d
b
a b d
c
a b c
d
所有的排列为：
abc bac cab dab
abd
acb acd
bad
bca bcd
cad
cba cbd
dac
dba dbc
adb
adc
bda
bdc
cda
cdb
dca
dcb
排列数公式
从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有排列的个数， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 m 元素的排列数，用符号 n 表示。
140 A
5 8
3 n
4A 2A ( 2) ? 5 A A9 A A (3) ? A A
5 8 6 9 4 8 5 9
( 4) A
n3 2n
A
n 1 6
?
例6 某信号兵用红、黄、蓝三面 旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示 信号，每次可以任挂一面、二面或 三面，并且不同的顺序表示不同的 信号，一共可以表示多少种不同的 信号？
n
n ( n 1 ) ( n 2 ) •· · · •3 •2 •1 An
n An ！
n
例1 计算：
(1) A ; A ( 2) ; A (3) A .
16 8 12 7 12 6 6
3
161514 3360
121110 9 8 7 6 5 5 121110 9 8 7 6
例2 某段铁路上有12个 车站，共需要准备多少种 普通客票？
12 11 132 ( 种 ) A12
2
例3
有5名男生，4名女生排队。
（1）从中选出3人排成一排，有多 少种排法？ （2）全部排成一排，有有多少种排 法？ （3）排成两排，前排4人，后排5人， 有多少种排法？
例4 应用公式解以下各题：
A
第 1位
第 2位
A
n n-1
第 1位 第 2位 第 3位
2
n ( n 1 ) n
第 m位
· · · · · ·
n n-1 n-2 n-m+1
A
m n
n (n 1) (n 2) (n m 1)
A
m n
n (n 1) (n 2) (n m 1)
例7 用 0 到 9 这十个数字， 可以组成多少个没有重复数 字的三位数？
解法一：对排列方法分步思考。
百位
1 1
十位
1
个位
9 9 8 648 A9 A9 A8
9 9 8 648 A9 A9
1 2
解法二：对排列方法分类思考。 符合条件的三位数可分为两类：
（从中归纳这几类问题的区别）
排列的定义中包含两个基本内容： 一个是“取出元素”；二是“按照 定顺序排列”，“一定顺序”就是 位置有关，这也是判断一个问题 是不是排列问题的重要标志。 根据排列的定义，两个排列相同， 且仅当两个排列的元素完全相同， 而且元素的排列顺序也相同。
例 写出从 a , b , c , d 四 个元素中 任取三个元素的 所有排列。
6！=6×5×4×3×2×1=720
变式题：
m 1 、如果An 17 16 5 4
则n ,m Biblioteka 2、若n N , 则 (55 n)(56 n) (68 n)(69 n) 用排列数符号表示为
3 3 3 、如果A2 10 A n n , 则n
7 5 An An 4、如果 89, 则n 5 An