求 (1) c 的值; (2) 两个边缘密度 .
解
(2)
fX x
f x, ydy
当 x 1或 x 0时 , y ,, y
y x
都有 f x, y 0,故 fX x 0 .
当 0 x 1时,
fX
x
0
f
x,
y dy
0x 1 x
x
0
f
x,
y dy
x
f
x,
y dy
.
当 0 x 1时,
x
dx
f x, ydy
fX x FX x
f x, ydy
( X,Y )关于Y 的边缘概率密度为
fY ( y )
f ( x, y )dx
y
例2 设(X,Y)的概率密度是
cy( 2 x ), 0 x 1,0 y x
f ( x,y )
0,
其它
求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。 y
x,
ydx
1
f
x,
ydx
.
1 24 y(2 x)dx
y5
24
y( 3
PX ,Y G f x, ydxdy ;
G
4 . 在 f (x,y)的连续点 , f ( x, y) 2F ( x, y) xy
例2 设(X,Y)的概率密度是
f
x,
y
2e(2 x y) ,
0,
x 0, y 0, 其它.
(1) 求分布函数 F x, y;
(2) 求概率 PY X .
f (x, y)
0,
其它
求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 .
暂时固定
解 (2)
fY y
f x, ydx
y
当 y 1或 y 0时 ,对 x ,,
y x
都有 f x, y 0,故 fY y 0 .
1
当0 y 1时,
fY y
y f x, ydx
y x
0
1
y
f
一维随机变量X
连续型
F x x
f tdt
x
X的概率密度函数
f x x R
f (x) 0
f (x)dx 1
（X,Y）的概率密度的性质
1 . f x, y 0 ;
2 .
f x, y dxdy 1; f x, y dxdy 1 ;
R2
3 . 设 G 是 xOy 平面上的区域 , 则有
i, j 1, 2, ,记
P(X xi ,Y yj) pij,
i, j 1, 2,
一维随机变量X 离散型
X 的分布律
P(X xk) pk,
k=1,2, …
pk 0, k=1,2, …
pk1
k
称之为二维离散型随机变量 X ,Y 的分布律,
或随机变量X和Y 的联合分布律.
二维离散型随机变量 X ,Y 的分布律具有性质
一、二维随机变量的分布函数
定义1 设 X ,Y 是二维
随机变量, 如果对于任意实数
x, y, 二元 函数
一维随机变量 X的分布函数
F x, y
P X x Y y
P X x ,Y y
F(x) P(X x) x
称为二维随机变量 X ,Y 的分布函数, 或者称为随机
变量 X 和 Y 的联合分布函数.
内的概率为 P x1 X x2 , y1 Y y2 F x2 , y2 F x2 , y1 F x1, y2 F x1, y1
y
y2
X ,Y
x1
O
x2
x
y1
分布函数 Fx, y的性质 :
1 . Fx, y 是关于变量 x 和 y 的不减函数 ;
y
对任意固定的 y R
解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)
P{X=0, Y=3} 1 23 1 8
P{X=1,
Y=1}
3 1
1 2
1 2
2=3/8
P{X=2,
Y=1}
3 2
1 2
2
1 2
=3/8
P{X=3,
Y=0}
1
2
3
1
8.
XY 1 3 0 0 18 1 38 0 2 38 0 3 0 18
二、离散型随机变量的边缘分布律
一般地，对离散型 r.v ( X,Y )， X和Y 的联合分布律为
P(X xi ,Y y j) pij, i, j 1,2,
则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为
P X xi P X xi ,Y y j pij Pi•
j1
j1
i 1,2,
3
13
0 18 38 0 38 0 0 18
P{X=0}=P{X=0, Y=1}+P{X=0, Y=3}=1/8,
P{X=1}=P{X=1, Y=1}+P{X=1, Y=3}=3/8,
P{X=2}= P{X=2, Y=1}+P{X=2, Y=3}=3/8,
P{X=3}=P{X=3, Y=1}+P{X=3, Y=3}=1/8.
y x 2e(2uv) dudv 2 y evdv x e2udu
00
0
0
1 e2x 1 e y
当 x 0或 y 0 时,
F x, y y x
f u,v dudv
0
故
F
x,
y
1 e2x
1 ey ,
x 0, y 0,
0,
其它.
(2) PY X
pij 0, i, j 1,2,
pij 1
ij
也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律.
YX
x1
x2
xi
y1
p11
p21
pi1
y2
p12
p22
pi 2
yj
p1 j
p2 j
pij
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 .
fX
x
0
f
x,
y dy
x
0
f
x,
y dy
x
f
x,
y dy
.
x 24 y(2 x)dy
05
12 x2 (2 x), 综上 , 5
fX x 152 x22 x,0 x 1,
0 , , 其它 .
y
y x
0
1x
注意取值范围
例 2 设(X,Y)的概率密度是
cy(2 x), 0 x 1,0 y x
分布函数的函数值的几何解释
将二维随机变量 X ,Y 看成是平面上随机点的 坐标, 那么,分布函数 F x, y在点 x, y 处的函数值 就是随机点 X ,Y 落在下面左图所示的,以点 x, y
为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.
y
yx, yBiblioteka Y X ,Y O Xx
x
o Xx
x
随机点 X ,Y 落在矩形域 [ x1 x x2 , y1 y y2 ]
解 (1) F x, y y x f u,v dudv
积分区域 D u,v u x, v y
f u,v 0 区域 u,v u 0,v 0
v
v
y x, y
Ox
u
x, y y
xO
u
v
x
O
u
x, y y
v
Oxu
y
x, y
当 x 0, y 0 时,
F x, y y x f u,v dudv
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而 需要用几个随机变量来描述.
在打靶时,命中点的位置是由一 对r .v (两个坐标)（X，Y）来确定的.
飞机的重心在空中的位置是由三个 r .v (三个坐标)（X，Y，Z）来确定的等 等.
3 . F x, y F x 0, y , F x, y F x, y 0 .
二、二维离散型随机变量
定义2 如果二维随机变量
X ,Y 全部可能取到的不相同
的值是有限对或可列无限多对,
则称 X ,Y 是离散型随机变量.
设二维离散型随机变量
X ,Y 可能取的值是 xi , y j ,
及 x1 , x2 R , 当 x1 x2
时 F x1, y F x2, y ;
对任意固定的 x R 及 y1 , y2 R , 当 y1 y2
时 F x, y1 F x, y2 ;
x1, y
x1 O
X ,Y
y
X ,Y
x2, y
x2 x
2 . 0 Fx, y 1 , 且 对任意固定的 y R , F , y 0 , 对任意固定的 x R , F x, 0 , F , 0 , F , 1 .
第三章 多维随机变量及其分布
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
二维随机变量 边缘分布 条件分布 相互独立的随机变量 两个随机变量的函数的分布
第一节 二维随机变量
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量 二维连续型随机变量 小结
从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广.
一维随机变量及其分布
解 (1) 1 f x, ydxdy
y x
R2
1
x
dx cy(2 x)dy 00