第八章 机械波8-1．有一个沿x 轴正向传播的平面简谐波，已知原点处质元的振动方程为0.02cos(y t π=（国际制单位），波速2m s v =．求：（1）该波的波方程；（2）x 轴正向距原点5m 处质元的振动方程；（3） 2.5s t =时原点处及在x 轴正向距原点5m 处质元的位移．解 （1）该波的波方程为002cos()9x y .t v π=-002cos ()(m)92x.t π=- （2）5m x =处质元振动方程为5(5)002cos()92y .t π=-5002cos()(m)918.t ππ=- （3）25s t .=，0x =时(0)002cos(250)9y ..π=⨯-00128(m).=25s t .=，5m x =时5(5)002cos(25)918y ..ππ=⨯-002(m).=8-2．已知平面简谐波的振幅为0.001m ，波长为1m ，周期为0.01s ；波源位于x 轴原点处．当0t =时，波源处质元位移为零且沿y 轴正向运动．求：（1）该波波方程；（2）距波源9m 和10m 的两波面上的相位差．解 （1）波源的振动方程为020001cos()y .t Tπϕ=+，因0t =时0y =，0y v >，所以02πϕ=-．因此 0001cos(200)(m)2y .t ππ=-若波沿x 轴正向传播，波方程为0001cos[2(100)]2x y .t ππλ=--0001cos[2(100)](m)2.t x ππ=-- 若波沿x 轴负向传播，波方程为0001cos[2(100)]2xy .t ππλ=+-0001cos[2(100)](m)2.t x ππ=+- （2）由于波每传播一个波长的距离相位落后2π，19m x =和210m x =相距1m ，恰为一个波长距离，所以其相位差为2π．8-3．频率为500Hz 的平面简谐波，波速为350m ．求：（1）波射线上相位差为π的两点相距多远？（2）对某个质元，时间间隔为3110s -⨯的两个状态的相位差是多少？解 （1）3500.7(m)500vλν===，由于波每传播一个波长的距离相位落后2π，所以波射线上相位差为3π的两点相距0.70.117(m)23ππ⨯=． （2）110.002(s)500T ν===，由于质元每经一个周期相位改变2π，所以某质元时间间隔为3110s -⨯的两个状态的相位差为0.00120.002ππ=．8-4．一平面简谐波沿x 轴正向传播，波源于0x =处，波速1m s v =．已知2m x =处质元的振动方程为0.005cos(2)m y t π=（国际制单位）．求：（1）波源的振动方程；（2）该波的波方程．解 （1）由于2πω=，所以2214(m)2vvππλνωπ⨯====．可知0x =处质元较2m x =处质元相位超前π，因此波源的振动方程为3510cos()(m)2y t ππ-=⨯+（2）该波的波方程为3510cos[()]2x y t v ππ-=⨯-+3510cos[()](m)2t x ππ-=⨯-+8-5．如图为0t =时的平面简谐波的波形曲线，波沿x 轴负方向传播，波速330m s v =．求：（1）此波的波方程；（2）(1300)s t =时，0.1m x =处质元的速度．解 （1）由波形曲线可见3110m A -=⨯，0.2m λ=，0t =时0x =处质元位于0y =且Oy 负方向运动．进而可知0x =处质元的初相位2πϕ=，圆频率223300vωπνππλ===．所以波源振动方程为cos()y A t ωϕ=+3110cos(3300)(m)2t ππ-=⨯+此波的波方程为3110cos[3300()](m)3302x y t ππ-=⨯++ （2）对波方程求时间导数得33sin[3300()]3302y y x v .t t πππ∂==-++∂ (1300)s t =时，0.1m x =处质元的速度为10133sin[3300()]3003302y .v .πππ=-++33sin[11]2.ππππ=-++331036(m s)..π=-=-8-6．在直径0.14m 的圆柱形管中传播的平面简谐波，能流密度的大小为329.010J (s m )-⨯⋅，频率为300Hz ，波速为300m s ．求：（1）平均能量密度和最大能量密度；（2）两相邻同相位波面间的总能量．解 （1）329.010J (s m )I wv -==⨯⋅，所以平均能量密度3539.010310(J m )300I w v --⨯===⨯由于能量密度222sin ()x w A t vρωω=-，最大能量密度22max 2w A w ρω==，故53max 610J m w -=⨯．（2）因为3001(m)300v λν===，所以22570.14310 4.610(J)44D E wV wππλ--⨯===⨯⨯=⨯8-7．如图所示，两个波源1S 和2S 发出两列相干横波，两波源相位相同，波长均为0.34m λ=．在L λ>>，L x λ->>条件下，（1）求出三个x 值，使P 点合振幅取极大值；（2）求出三个x 值，使P 点合振幅取极小值．解 （1）波程差()L L x x δ=--=为波长整数倍，P 点合振幅取极大值，所以x 可取值为10x =、2034m x .=、3068m x .=．（2）波程差()L L x x δ=--=为半波长的奇数倍，P 点合振幅取极小值，所以x 可取值为1017m x .'=、2051m x .'=、3085m x .'=．8-8．有两列振幅相同的相干平面简谐横波相向传播，两列波频率均为100Hz ν=，波速都是200m s v =．如图所示，波射线上A 、B 两点相距20m ，当一波在A 处为波峰时，另一波在B 处恰为波谷．求AB 连线上因干涉而静止的各点的位置．解 因两列相干波振幅相同，故它们因干涉而振幅取极小值的位置即为所求静止位置． 以A 为坐标原点O ，A B →为正向建立坐标系Ox ．设沿Ox 正向传播的波1在A 处为波峰时，沿Ox 负向传播的波2在B 处为波谷．考虑到两波的波长为2002(m)100vλν===，相邻一个波长距离波动相位改变2π，则可知此时波1在2m x k =（0,1,2,,10k =）处为波峰，在(21)m x k =+（0,1,2,,9k =）处为波谷；波2在2m x k =（0,1,2,,10k =）处为波谷，在(21)m x k =+（0,1,2,,9k =）处为波峰．而波1为波峰、波2为波谷的位置，和波1为波谷、波2为波峰的位置，即为因干涉而振幅取极小值的位置，所以AB 连线上因干涉而静止的各点的位置为0,1m,2m,3m,,20m x =．8-9．张紧的细长绳上传播两列相干横波，它们的波方程为（国际制单位）10.06cos (4)m y x t π=-，20.06cos (4)m y x t π=+求：（1）两列波的频率、波长和波速；（2）波节的位置；（3）波腹的位置；（4）波腹处振幅；（5） 1.2m x =处振幅．解 （1）波方程0cos[2()]t x y A T πϕλ=-+，根据10.06cos 2(2)m 2xy t π=-和10.06cos 2(2)m 2x y t π=+，可知两列波的波长 2 m λ=、频率12 Hz Tν==、波速4m v s λν==．（2） 12006cos(4)006cos(4t +)y y y .t x .x ππππ=+=-+012cos cos4.x t ππ=波节位置为(21)2x k ππ=±+，即1()m 2x k =±+，（012k ,,,=）．（3）波腹位置为x k ππ=±，即m x k =±，（012k ,,,=）． （4）波腹处振幅为012m .． （5）12m x .=处振幅12012cos 012cos12.A |.x ||..|ππ==ο012cos2160097(m)..==8-10．入射波的波方程为3110cos[200()]m 200xy t π-=⨯-（国际制单位），波在5.5m x =处的自由端反射，无振幅损失，求反射波方程．解 由入射波波方程可知3110m A -=⨯，200ωπ=，200m v s =，入射波原点处质元初相位为零．可求出222002(m)200vvππλνωπ⨯====．入射波在反射处比原点处相位落后15522552x ..ϕπππλ∆===；入射波在自由端反射，没有半波损失，20ϕ∆=；反射波在原点处比反射处相位落后3255x.ϕππλ∆==．故反射波在原点处初相位为()123011ϕϕϕϕπ=-∆+∆+∆=-，所以反射波波方程为3110cos[200()]m 200xy t ππ-=⨯+-8-11．两观察者A 和B 均携带频率为1000Hz 的声源．A 静止，而B 以10m 的速率朝向A 运动，A 和B 听到的拍频各为多少？（声速为340m ）解 对观察者A ：“观察者”静止，声源B 向“观察者”运动，A 听到B 的声音的频率vv v νν'=-源．由于A 还同时听到自己的声音，所以拍频 10||100030.3(Hz)330v v v v v v νννννν'=-=-==⨯=--源b 源源 对观察者B ：声源A 静止，“观察者”向声源运动，B 听到A 的声音的频率v v vνν+''=观．由于B 还同时听到自己的声音，所以拍频10||100029.4(Hz)340v v v v v νννννν+''=-=-==⨯=观观b8-12．一音叉以2.5m s 的速率接近墙壁，观察者在音叉后面听到拍频为3Hz ，求音叉振动频率．（声速为340m s ）解 观察者在音叉后面可以直接听到音叉的声音，这时“观察者”静止，声源远离“观察者”运动，观察者听到的频率vv v νν'=+源． 墙壁在音叉前面，墙壁可以接受到音叉的声音，这时“观察者”（墙壁）静止，声源向“观察者”运动，墙壁接受到的频率vv v νν''=-源．墙壁接受到音叉的声音后以频率ν''振动，又发出频率ν''的声波，观察者在音叉后面还可以听到墙壁反射的声音vv v νν''=-源． 所以观察者听到的拍频22||vv v vv v v v v v νννννν'''=-=-=-+-源拍2源源源222340 2.553340 2.5340νν⨯⨯=≈-因此204Hz ν=． （第八章题解结束）。