模块综合试题
时间：120 分钟 分值：150 分
第Ⅰ卷(选择题，共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．下列命题正确的是( )
A．四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形 B．一条直线和两条平行直线都相交，则三条直线共面 C．两两平行的三条直线一定确定三个平面 D．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线 解析：此题主要考查三个公理及推论的应用，两条平行线确定一 个平面，第三条直线与其相交，由公理 1 可知，这三条直线共面，故 B 正确． 答案：B 2．已知直线(a－2)x＋ay－1＝0 与直线 2x＋3y＋5＝0 平行，则 a 的值为( A．－6 4 C．－5 ) B．6 4 D.5
21． (12 分)如图， 在直角梯形 ABCD 中， ∠A＝∠D＝90° ， AB<CD， SD⊥平面 ABCD，AB＝AD＝a，SD＝ 2a. (1)求证：平面 SAB⊥平面 SAD. CD (2)设 SB 的中点为 M，当AB为何值时，能使 DM⊥MC？请给出 证明． 解：(1)证明：∵∠BAD＝90° ，∴AB⊥AD. 又∵SD⊥平面 ABCD，AB平面 ABCD，∴SD⊥AB. 又∵SD∩AD＝D，∴AB⊥平面 SAD. 又∵AB平面 SAB，∴平面 SAB⊥平面 SAD. CD (2)当AB＝2 时，能使 DM⊥MC.
解析：直线方程为 y＝ 3x，圆的标准方程为 x2＋(y－2)2＝4，圆 心(0,2)到直线 y＝ 3x 的距离 d＝ 2 22－12＝2 3. 答案：D 6．如图，在三棱锥 S－ABC 中，G1，G2 分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线 G1G2 与 BC 的位置关系是( A．相交 C．异面 B．平行 D．以上都有可能 ) | 3×0－2| 32＋－12 ＝1.故所求弦长 l＝
A．120° B．90° C．75° D．60° 解析：根据异面直线所成角的定义知 α＋β＝90° . 答案：B 11．已知点 P(x，y)是直线 kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB
是圆 C：x2＋y2－2y＝0 的两条切线，A，B 是切点．若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为( )
题图
答图
解析：连接 SG1，SG2 并延长分别交 AB 于点 M，交 AC 于点
SG1 SG2 N.∵G M＝G N，∴G1G2∥MN. 1 2 ∵M，N 分别为 AB，AC 的中点， ∴MN∥BC.故 G1G2∥BC. 答案：B 7．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、 侧面积、体积时，相应的截面面积分别为 S1，S2，S3，则( A．S1<S2<S3 C．S2<S1<S3 B．S3<S2<S1 D．S1<S3<S2
A．3x－y－5＝0 C．3x＋y＋13＝0
解析：当 l⊥AB 时，符合要求． 4－2 1 ∵kAB＝ ＝ ，∴l 的斜率为－3， 3＋3 3 ∴直线 l 的方程为 y－4＝－3(x－3)，即 3x＋y－13＝0. 答案：D 5．过原点且倾斜角为 60° 的直线被圆 x2＋y2－4y＝0 所截得的弦 长为( A. 3 C. 6 ) B．2 D．2 3

)
S 2 解析：设棱锥的底面面积为 S.由截面的性质，可知S ＝12S1
1
1 S 2 1 ＝4S；S ＝1S2＝2S； 2
1 S 3 2 ＝ S3＝ S，故 S1<S2<S3. S3 1 3 4
答案：A 8．在圆的方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 中，若 D2＝E2>4F，则圆 的位置满足( )
2 线垂直于直线 3x－2y＋4＝0，故所求直线的斜率 k＝－3.由点斜式得 2 所求直线方程为 y－2＝－3(x＋2)，即 2x＋3y－2＝0. 答案：2x＋3y－2＝0 14．长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体，其 中一个几何体的三视图如图所示，则长方体的体积为________．
解析：由三视图可知这个长方体的长、宽、高分别为 3,4,4，所以 长方体的体积为 3×4×4＝48. 答案：48 15．侧棱长为 a 的正三棱锥 P－ABC 的侧面都是直角三角形，且 四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________． 解析：侧棱长为 a 的正三棱锥 P－ABC 其实就是棱长为 a 的正方
A．截两坐标轴所得弦的长度相等 B．与两坐标轴都相切 C．与两坐标轴相离 D．上述情况都有可能 解析：在圆的方程中令 y＝0 得 x2＋Dx＋F＝0. ∴圆被 x 轴截得的弦长为|x1－x2|＝ D2－4F. 同理得圆被 y 轴截得的弦长为 E2－4F＝ D2－4F.故选 A.
答案：A 9．在如图所示的空间直角坐标系 O－xyz 中，一个四面体的顶点 坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①，②，③， ④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )
A．①和②
B．③和①
C．④和③
D．④和②
解析：由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形 (三个顶点坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且内有一虚线(一直角顶 点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图在底面射影是一 个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图 是②.故选 D. 答案：D 10．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是正方形 ADD1A1 和正方形 ABCD 的中心，G 是 CC1 的中点，设 GF，C1E 与 AB 所成 的角分别为 α，β，则 α＋β 等于( )
据，计算该组合体的体积．
解：由三视图可知此组合体的结构为：上部是一个圆锥，中部是 一个圆柱，下部也是一个圆柱，由题图中的尺寸可知：上部圆锥的体 积V
圆锥
1 8π ＝3π×22×2＝ 3 ，中部圆柱的体积 V
圆柱
＝π×22×10＝40π，
8π 下部圆柱的体积 V′圆柱＝π×42×1＝16π， 故此组合体的体积 V＝ 3 ＋ 176π 40π＋16π＝ 3 . 19．(12 分)求过点 A(－2，－4)且与直线 l：x＋3y－26＝0 相切于 点 B(8,6)的圆的方程． 解：设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， D E 则圆心 C(－ 2 ，－ 2 )．∴kCB＝ E 6＋ 2
21 A. 2 B. 2 C．2 2 D．2 解析：圆心 C(0,1)到 l 的距离 d＝ 5 . k2＋1
1 ∴四边形面积的最小值为 2(2×1× d2－1)＝2， ∴k2＝4，即 k＝± 2.又 k>0，∴k＝2. 答案：D 12．在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，沿 AC 将矩形 ABCD 折 成一个直二面角 B － AC － D ，则四面体 ABCD 的外接球的体积为 ( ) 125π 125π 125π 125π A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 解析：取 AC 的中点 O. 由 O 到各顶点距离相等，知 O 是球心． 5 设外接球的半径为 R，则 2R＝5，R＝2. 4 5 125π 故外接球的体积 V 球＝3π23＝ 6 .
D. 8＋ 2
1 ∵kCB· kl＝－1，∴ D· (－3)＝－1.① 8＋ 2 又有(－2)2＋(－4)2－2D－4E＋F＝0，② 82＋62＋8D＋6E＋F＝0，③ 所以解①②③可得 D＝－11，E＝3，F＝－30. ∴所求圆的方程为 x2＋y2－11x＋3y－30＝0.
E 6＋ 2
20．(12 分)如图，四棱锥 P－ABCD 中，△PAB 是正三角形，四 边形 ABCD 是矩形，且平面 PAB⊥平面 ABCD，PA＝2，PC＝4. (1)若点 E 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 BDE； (2)若点 F 在线段 PA 上，且 FA＝λPA，当三棱锥 B－AFD 的体积 4 为3时，求实数 λ 的值． 解：(1)证明：如图(1)，连接 AC，设 AC∩BD＝Q，连接 EQ. 因为四边形 ABCD 是矩形，所以点 Q 是 AC 的中点． 又点 E 是 PC 的中点，则在△PAC 中，中位线 EQ∥PA， 又 EQ平面 BDE，PA平面 BDE，所以 PA∥平面 BDE.
a－2 2 解析：由题意可知两直线的斜率存在，且－ a ＝－3， 2a，母线与轴的夹角为 30° ，一个底面的 半径是另一个底面半径的 2 倍．求两底面的面积之和是( A．3πa2 C．5πa2 B．4πa2 D．6πa2 )
解析：设圆台上底面半径为 r，则下底面半径为 2r，如图所示， ∠ASO＝30° ， 在 Rt△SA′O′中， ∴SA′＝2r. 2r 在 Rt△SAO 中，SA＝sin30° ， ∴SA＝4r.∴SA－SA′＝AA′， 即 4r－2r＝2a，r＝a. ∴S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2. 答案：C 4．若直线 l 过点 A(3,4)，且点 B(－3,2)到直线 l 的距离最远，则 直线 l 的方程为( ) B．3x－y＋5＝0 D．3x＋y－13＝0 r ＝sin30° ， SA′

答案：C 第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13． 经过两条直线 2x＋y＋2＝0 和 3x＋4y－2＝0 的交点， 且垂直 于直线 3x－2y＋4＝0 的直线方程为________．
3x＋4y－2＝0， 解析：由方程组 得交点 A(－2,2)．因为所求直 2x＋y＋2＝0，
证明：连接 BD， ∵∠BAD＝90° ，AB＝AD＝a，
∴BD＝ 2a，∠BDA＝45° ， ∴SD＝BD. 又∵M 为 SB 的中点， ∴DM⊥SB.① 设 CD 的中点为 P，连接 BP， ∴DP∥AB，且 DP＝AB. 故四边形 ABPD 是平行四边形． ∴BP∥AD.故 BP⊥CD. 因而 BD＝BC. 又∵∠BDC＝90° －∠BDA＝45° ， ∴∠CBD＝90° ，即 BC⊥BD. 又∵BC⊥SD，BD∩SD＝D，∴BC⊥平面 SBD. 又∵DM平面 SBD，∴DM⊥BC.② 由①②知 DM⊥平面 SBC， 又∵MC平面 SBC，∴DM⊥MC.