第 5 次课 2学时本次课教学重点：建立数学模型本次课教学难点：建立数学模型本次课教学内容：第四章线性规划在工商管理中的应用第一节人力资源分配的问题例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：班次时间所需人数1 6：00 ——10：00 602 10：00 ——14：00 703 14：00 ——18：00 604 18：00 ——22：00 505 22：00 ——2：00 206 2：00 ——6：00 30设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?解：设x i( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。

目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5≥28x2 + x3 + x4 + x5 + x6≥15x3 + x4 + x5 + x6 + x7≥24x4 + x5 + x6 + x7 + x1≥25x5 + x6 + x7 + x1 + x2≥19x6 + x7 + x1 + x2 + x3≥31x7 + x1 + x2 + x3 + x4≥28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。

为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。

问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？时间所需售货员人数星期日28星期一15星期二24星期三25星期四19星期五31星期六28解：设x i ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。

目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥28x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥15x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥24x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥25x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥19x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥31x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥0第二节生产计划的问题例3．某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。

该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。

甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。

数据如表。

问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？甲乙丙资源限制铸造工时(小时/件) 5 10 7 8000机加工工时(小时/件) 6 4 8 12000装配工时(小时/件) 3 2 2 10000自产铸件成本(元/件) 3 5 4外协铸件成本(元/件) 5 6 --机加工成本(元/件) 2 1 3装配成本(元/件) 3 2 2产品售价(元/件) 23 18 16解：设x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4,x5分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。

求x i 的利润：利润= 售价- 各成本之和产品甲全部自制的利润=23-(3+2+3)=15产品甲铸造外协，其余自制的利润=23-(5+2+3)=13产品乙全部自制的利润 =18-(5+1+2)=10 产品乙铸造外协，其余自制的利润 =18-(6+1+2)=9 产品丙的利润 =16-(4+3+2)=7可得到 x i （i = 1,2,3,4,5） 的利润分别为 15、10、7、13、9 元。

通过以上分析,可建立如下的数学模型:目标函数： Max 15x 1 + 10x 2 + 7x 3 + 13x 4 + 9x 5 约束条件： 5x 1 + 10x 2 + 7x 3 ≤ 80006x 1 + 4x 2 + 8x 3 + 6x 4 + 4x 5 ≤ 12000 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 3x 4 + 2x 5 ≤ 10000 x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ≥ 0例4．永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过A 、B 两 道工序加工。

设有两种规格的设备A 1、A 2能完成 A 工序；有三种规格的设备B 1、B 2、B 3能完成 B 工序。

Ⅰ可在A 、B 的任何规格的设备上加工；Ⅱ 可在任意规格的A 设备上加工，但对B 工序，只能在B 1设备上加工；Ⅲ只能在A 2与B 2设备上加工。

数据如表。

问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？解：设 x ijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。

建立如下的数学模型:s.t. 5x 111 + 10x 211 ≤ 6000 （ 设备 A 1 ） 7x 112 + 9x 212 + 12x 312 ≤ 10000 （ 设备 A 2 ） 6x 121 + 8x 221 ≤ 4000 （ 设备 B 1 ） 4x 122 + 11x 322 ≤ 7000 （ 设备 B 2 ） 7x 123 ≤ 4000 （ 设备 B 3 ）x 111+ x 112- x 121- x 122- x 123 = 0 (Ⅰ产品在A 、B 工序加工的数量相等）x 211+ x 212- x 221 = 0 （Ⅱ产品在A 、B 工序加工的数量相等） x 312 - x 322 = 0 （Ⅲ产品在A 、B 工序加工的数量相等） x ijk ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为：利润 = [（销售单价 - 原料单价）* 产品件数]之和 -（每台时的设备费用*设备实际使用的总台时数）之和。

这样得到目标函数：产品单件工时 设备 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 设备的 有效台时 满负荷时的设备费用 A 1 5 10 6000 300 A 2 7 9 12 10000 321 B 1 6 8 4000 250 B 2 4 11 7000 783B 3 7 4000 200 原料（元/件） 0.25 0.35 0.50 售价（元/件） 1.25 2.00 2.80Max(1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35)x221+(2.80-0.5)x312–300/6000(5x111+10x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)-250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)-200/4000(7x123).经整理可得：Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35 x123第三节套裁下料问题例5．某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。

已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？解：共可设计下列5 种下料方案，见下表方案1 方案2 方案3 方案4 方案52.9 m 1 2 0 1 02.1 m 0 0 2 2 11.5 m 3 1 2 0 3合计7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 剩余料头0 0.1 0.2 0.3 0.8设x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面 5 种方案下料的原材料根数。

这样我们建立如下的数学模型。

目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5约束条件：s.t. x1 + 2x2 + x4≥1002x3 + 2x4 + x5≥1003x1 + x2 + 2x3+ 3x5≥100x1,x2,x3,x4,x5≥0•用“管理运筹学”软件计算得出最优下料方案：按方案1下料30根；按方案2下料10根；按方案4下料50根。

即x1=30;x2=10；x3=0；x4=50；x5=0；只需90根原材料就可制造出100套钢架。

•注意：在建立此类型数学模型时，约束条件用大于等于号比用等于号要好。

因为有时在套用一些下料方案时可能会多出一根某种规格的圆钢，但它可能是最优方案。

如果用等于号，这一方案就不是可行解了。

第四节配料问题例6．某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。

问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？产品名称规格要求单价（元/kg）甲原材料1不少于50%，原材料2不超过25% 50乙原材料1不少于25%，原材料2不超过50% 35丙不限25原材料名称每天最多供应量单价（元/kg）1 100 652 100 253 60 35解：设x ij表示第i 种（甲、乙、丙）产品中原料j 的含量。

这样我们建立数学模型时，要考虑：对于甲：x11，x12，x13；对于乙：x21，x22，x23；对于丙：x31，x32，x33；对于原料1：x11，x21，x31；对于原料2：x12，x22，x32；对于原料3：x13，x23，x33；目标函数：利润最大，利润= 收入- 原料支出约束条件：规格要求4 个；供应量限制3 个。

•利润=总收入-总成本=甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量-甲乙丙使用的原料单价*原料数量，故有目标函数Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33）= -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33约束条件：从第1个表中有：x11≥0.5(x11+x12+x13)x12≤0.25(x11+x12+x13)x21≥0.25(x21+x22+x23)x22≤0.5(x21+x22+x23)从第2个表中，生产甲乙丙的原材料不能超过原材料的供应限额，故有(x11+x21+x31)≤100(x12+x22+x32)≤100(x13+x23+x33)≤60通过整理，得到以下模型：目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33约束条件：s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13≥0 （原材料1不少于50%）-0.25x 11+0.75x 12 -0.25x 13 ≤ 0 （原材料2不超过25%） 0.75x 21-0.25x 22 -0.25x 23 ≥ 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x 21+0.5 x 22 -0.5 x 23 ≤ 0 （原材料2不超过50%） x 11+ x 21 + x 31 ≤ 100 (供应量限制） x 12+ x 22 + x 32 ≤ 100 (供应量限制) x 13+ x 23 + x 33 ≤ 60 (供应量限制） x ij ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3例7.汽油混合问题。