D C
例1题图
A
B
O E F
D C
例3题图1
A B
E
F
D
C
例3题图2
A B
E
F
D C
例3题图3
A
B
E
F
D C
例5题图
A
B E α例8题图
A
B
C
D
O
E P
D C
例10题图1
A B
P
D C
例10题图2
A B
P
D C
例10题图2
A B
A
B
C
D F
E
例4题图
M
M
培优提升专题（六）特殊的平行四边形
一．基础知识回顾
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定
2．常考知识点：⑴矩形：对角线相等且互相平分；⑵菱形：对角线互相垂直平分；⑶正方形：四边相等、对角线相等且互相垂直平分、对称性； 二．典例分析
1．已知，如图，矩形
ABCD 中，对角线,AC BD 相交于O ，AE BD ⊥于E ，
若:3:1DAE BAE ∠∠=，则EAC ∠= 2．如图，已知矩形ABCD 中，将BCD 沿对角线BD 折叠，记点C 的对应点为E ，
若20ADE ∠=，则BDC ∠=
3．如图①是长方形纸带，20DEF ∠=，将纸带沿EF 折叠成图②， 再沿BF 折叠成图③，则图③中的CFE ∠的度数是 4．如图，在
ABC 中，90ACB ∠=，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，点F 在DE 上，且AF CE =。
（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；
（2）当B ∠的大小满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？ （3）四边形ACEF 有可能是正方形吗，为什么？ 5．如图，菱形ABCD 的边长为2，2,BD E =、F 分别是边,AD CD 上的两个动点，
且满足
2AE CF +=。
⑴判断BEF 的形状，并说明理由；⑵设BEF 的面积为S ，求S 的取值范围。
6．有一个边长为5的正方形纸片
ABCD ，要将其剪拼成边长分别为,a b 的两个小正方形，使得2225a b +=。
⑴,a b 的值可以
是 （写出一组即可）；⑵请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法 具有一般性。
7．如图，边长为1的菱形ABCD 中，60
DAB ∠=，连接对角线
AC ，以AC 为边作第二个菱形11ACC D ，
使160D AC ∠=，连接
1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形122AC C D ，使2160
D AC ∠=；…，按此规律所作的第
n 个菱形的边长为 ，面积为 。
8．如图，在Rt
ABC 中，90ACB ∠=，60B ∠=，2BC =。
点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与
AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D 。
过点C 作CE AB 交直线l 于点E ，设直线l 的
旋转角为α。
⑴当α= 时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；
⑵当α= 时，四边形EDBC 是直角梯形，，此时AD 的长为 ；
⑶当90α
=时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由。
9．已知正方形ABCD ，如图，P 是其内部一点，PC PD =，
连接,
PA PB ，若15PCD ∠=，求证：
PAB 为正三角形。
10．已知矩形
ABCD 和点P 。
⑴当点P 在图①的位置时，则有结论：PBC
PAC
PCD
S
S
S
=+，请证明⑵当点P 在图②、图③中的位置时，,,PBC
PAC
PCD
S
S
S
又有怎样的数
量关系？请你写出对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明。
11．⑴如图①，已知正方形ABCD 和正方形()CGEF
CG BC >，
,,B C G 在同一条直线上，M 为线段AE 的中点，探究：线段,MD MF 的关系；
⑵若将正方形CGEF 绕点C 顺指针旋转45，使得正方形CGEF 的对角线CE 在正方形
ABCD 的边BC 的延长线上，M 为AE 的中点。
P
D
C
例9题图
B
例2题图
例7题图
P'P
第1题图
D C
A B
S 4
第2题图
3
2
1
S 3
S 2
S 1
第3题图
D C
H
A B F G E
第4题图
D C
A
B
F
N M
E 第5题图
D
C
A
B
O E
试问：⑴中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
三．随堂练习 1．如图，P 是正方形ABCD 内一点，将PAB 绕点B 顺时针方
向旋转能与
'CBP 重合，若3PB =，则'PP = 。
2．如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放着的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正放着的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则1234S S S S +++= 。
3．如图，设四边形
ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，
再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去…，则第n 个正方形边长为 。
4．如图，将边长为8㎝的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处， 点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长为 。
5．如图，已知ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，
且
ACE 是等边三角形。
⑴求证：四边形ABCD 是菱形； ⑵若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形。
四.课后作业
1．如图，将三角板PMN 的直角顶点P 放在正方形ABCD 的对角线BD 上，
绕P 点转动三角板，三角板的两条直角边,PM
PN 分别交AB 于E ，交BC 于F 。
⑴求证：PE PF =；⑵线段,BE BF 与BP 三者之间有何数量关系，用等式表示并说明理由。
2．如图，,
,,E F G H 分别为正方形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，且AE =
2
3
BF CG DH AB ===
，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为
3．如图，BF 平行于正方形ABCD 的对角线AC ，点E 在BF 上，且AE AC =，CF AE ，则BCF ∠= 。
4．如图，已知正方形的边长为6，菱形EFGH 的三个顶点,,E G H 分别在正方形ABCD 的边,,AB CD DA 上，2AH =，连接CF 。
⑴当2DG =时，求FCG 的面积；⑵设DG x =，用含x 的代数式表示FCG 的面积；
⑶判断
FCG 的面积能否等于1，并说明理由。
5．如图，扇形OAB 的半径3OA =，圆心角90
AOB ∠=，点C 是AB 上异于,A B
的动点，过点
C 作C
D OA ⊥于点D
，作
CE OB ⊥于点
E ，连接
DE
，且
DG GH HE ==。
⑴求证：四边形OGCH 是平行四边形；⑵当点C 在AB 上运动时，在,,CD CG DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该
线段的长度； ⑶求证：2
2
3CD CH +是定值。
6．已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交,CB DC （或它们的延长线）于点,M N 。
当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图①）
，易证：BM DN MN +=；⑴当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图②），线段,BM
DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明。
⑵当MAN ∠绕点A 旋转到如图③的位置时，线段,BM DN
和
MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。
（1题图）
（2题图）
（3题图）
（4题图） （5题图）
（6题图①）
（6题图②）
（6题图③）。