常用的函数展开式有:
1
xn 1 x x2 xn , | x | 1
1 x n0
ex xn 1 x x2 xn , | x |
n0 n!
2!
n!
sin x (1)n
x 2n1
n0
(2n 1)!
x x3 x5 (1)n x2n1 , | x |
3! 5!
(2n 1)!
则
4
arctan1
1
1 3
1 5
(1)n1
1 2n
1
.
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微积分Ⅱ
CalculusⅡ
第十章 无穷级数
§10.1 无穷级数的概念 §10.2 无穷级数的基本性质 §10.3 数项级数的敛散性判别法 §10.4 函数项级数与幂级数 §10.5 函数的幂级数展开
幂级数间接展开法
利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算法则(四则 法则, 逐项求导逐项求积),将所给函数展成幂级数。
例
将函数 f ( x ) e x 2 展开成 x 的幂级数.
解：
由 e x x n 1 x x 2 x n , | x |
n0 n!
2!
n!
知 ex2 x2n 1 x2 x4 x2n , | x |
n0 n!
2!
n!
例
将函数
f
(x)
1
1 x
2
展开成
n0 2n 1
n0 2n 1
当 x 1 时,
(1)n 收敛。
n0 2n 1
所以， arctan x (1)n x2n1, x [1,1] n0 2n 1
例
证明
41 2n
1
.
证：由 arctan x (1)n x , 2n1 x [1,1] n0 2n 1
令 x 1,
x
的幂级数.
解： 由
1
(1)n xn , | x | 1
1 x n0
知
f (x)
1 1 x2
n0
(1)n x2n , |
x2
| 1
即 | x | 1
例 将函数 f ( x ) arctan x 展开成 x 的幂级数.
解： f (x)
1 1 x2
n0
(1)n x2n ,
x (1,1)
，两边积分得
x
f (x) f (0) f (x)dx
x
(1)n x2ndx
(1)n x2n1
0
n0 0
n0 2n 1
因 f (0) 0, 所以
f ( x) arctan x (1)n x , 2n1 x (1,1) n0 2n 1
当 x 1 时，
(1)n (1)2n1 (1)n1 收敛；