1
1 1
1/ 20
（x，y） 1 1
R
f
(x
y )dxdy
R`
f
(u) 1dudv 2
1
1
1
dv du
1 * (1 1) 1
f (u)du
2 1
1
2
1
1
f (u)du
1
两点说明：
1、若变换T：X=X（u，v），Y=Y（u，v）。在R` 的个别点上有J=0。则结论依然成立。
2、事实上，若 P`（u0，v0） R`。使J(u0,v0)=0。
X-Y=1，X-Y=-1所组成。作变换得：u=x+y，
v=x-y。则此函数组将xy面上的正方形R：
|x|+|y|<=1，变换成uv面上的正方形R`：
-1<=u<=1，-1<=v<=1。且 y
x y 1
y x 1
R`
o
x
y x 1
x y 1
y
1
-1
o 1x
-1
J
（（xx，，yy））
1 （x，y）
ｋ＝ｘ（ｋ，ｋ），ｋ＝ｙ（ｋ，ｋ）
于是积分和
n
f（
， ）
kk
k
k 1
n
f（x（ ， ），y（ ， ））J（ ， ）
k
k
k
k
k
k
k
k 1
再根据隐函数组确定的反函数组存在定理 知函数组 x=x(u,v), y=y(u,v)在R上存在有连 续偏导数。反函数组u=u(x,y)， v=v(x,y) 由 连续知必一致连续。
y=y（u,v）在 R’上存在连续偏导数。（u,v ） R,
有
x x
J
x x
, ,
y y
u y
v y
0
u v
则：
f ( x, y)dxdy f ( x(u,v), y(u,v)) J dudv
R
R`
证：因为f(x,y)在R 连续。所以可积。用任意分法T将
R分成n个小区域：R1,R2 ，…，Rn。又由于复合函 数的连续性知 f(x,(u,v),y(u,v) )在R’ 连续，所以可
而在其他点上J=0。则在R`上作面积为 ` 的
` 小邻域U`（P`, ）。则根据变换T，在XY面上
也得到面积为 的小邻域U（p， ）。
因此当分法T的细度||T|| 0时，分法T`
的细度||T`||也趋于0。
n
lim f ( ,
T 0 k 1
k
)
k
f ( x, y)dxdy
k R
n
lim f ( x( ,
T ` 0 k 1
k
)J( ,
k
k
) `
k
k
f ( x(u, v), y(u, v)) J dudv
R`
对（*）式两边取极限||T||-0时，有||T`||-0。 故有：
f ( x(u,v),(u,v)) J dudv
R
例１ 求两条抛物线 y2mx，y2nx
与两条直线y= x，y= x 所围成的区域Ｒ的
面积Ｓ。其中０＜ｍ＜ｎ，０< < 矩形域Ｒ‘m ： u n v
y
y=βx
y=αx
y2 2y2 y2 x y
v v4
x3 x3
根据定理3：S dxdy
u V4 dudv
R
R`
n2
m（2
2
1
3
3
1
3
3
）（n2
m2）（ 6 3 3
3
3）
例2 ： 证明
1
f ( x y)dxdy f (u)du
R
1
其中R：|x|+|Y|<=1
证明：如图所示，R是由直线X+Y=1。X+Y=-1，
积 。设其面积为 1， 2，，ｎ。
于是在R’上有对应的分法T’，将R’分成n个小区
域 R1’,……R’ ,设其面积为 １｀，２｀，，ｎ｀。
则根据函数行列式的几何性质，
ｕ｀ ｋ
Ｒ Ｒ 又由已知得 （ ， ） ｋｋ
ｋ，！（
， ）
ｋｋ
｀ ｋ
ｕ ｖ ｋ Ｔ（
ｋ｀
ｋ，
，
ｋ）
ｋ＝Ｊｋ｀｀，
二重积分的换元
主讲人：汪凤贞
六、二重积分的换元（变换）
计算二重积分时，由于某些几分区域的边界曲 线比较复杂。仅仅将二重积分化为累次积分并不求 出二重积分，就是定积分中的换元积分公式。在二 重积分计算中也有相应的换元法则。
定理3 若((x,y)在有界闭区域R连续，函数组 x=x(u,v),y =y(x,y）将uv坐标面上的区域R一 对一变换成xy坐标面上的区域R且x=x( u,v），
v
y2=nx R
R`
y2=mx
0mn
u
o
x
解：根据二重积分的性质知：Ｓ＝ dxdxy 作变换：ｕ＝ y 2 v=y/x R x
则此函数组将ｘｙ做表面上Ｒ变换成ｕｖ平面上的
矩形域Ｒ‘：ｍ＜＝ｕ＜＝ｎ； ＜＝ｖ＜＝
J
（ （ux， ，yv） ）
1 （x，y）
（x，y）
1
y2
2y
xx
y
1
x2 x
1
x 3 y 2‘（x）4 u，（1）4 u