三. 相位差 ：
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t) 0
Im um
设 u(t)=Umcos(w t+ u)
2
i(t)=Imcos(w t+ i)
0
wt
则 相位差j : j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。 不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是 随时间变动。
j u与i正交; j u与i反相;
2
§8 - 3相量法的基础
1. 正弦量的相量表示
复函数 F F ej(wt)
没有物理意义
F cos(wt ) j F sin(wt Ψ )
若对F取实部：
Re[F] F cos(ωt Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的 复指数函数：
F e j
4、极坐标形式：
F F ej
=|F|
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
+j
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
⑶∫i2dt。
解： ⑴设 i i1 i2 2I cos(wt i ), 其相量为 I=I/Ψi
I I1 I2 10/600A+22/-1500A=（5+j8.66）A+（-19.05-j11）A
=(-14.05-j2.34)A=14.24/-170.540A
i 14.24 2 cos(314t 170.540 ) A
UL
•
IL
•
jwL
UL
i
相量模型
有效值关系 U L ωLI L
( uL 超前 iL90°)
相位关系
u
i
2
因为相应的相量形式是：
•
•
•
U L jwL I L jXL I L
•
或：I L
1• UL
jwL
•
jBL U L
•
式中：XL=w L，称为感抗，单位为 (欧姆)
IL
BL=-1/w L ， 感纳，单位为 S (同电导)
有效值也称均方根值(简记为 rms。)
同样，可定义电压有效值U：
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
2. 正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imcos(w t + i )
I
1 T
T
0
I2 m
cos2 (
wt
Ψi
)d t
I
1 T
I2 m
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I 最大值与有效值之间有固定的 2 。
u(t) u1 (t) u2 (t) Re U1me jwt Re U 2me jwt
Re (U1m U 2m )e jwt Re U me jwt Um U1m U2m
⑵正弦量的微分运算
设 i(t) 2I cos(wt ) 对i求导，有
di(t) w 2I sin(wt ) w 2I cos(wt 90 )
第八章 相量法
§ 8 - 1 复数 § 8 - 2 正弦量 § 8 - 3 正弦量的相量表示 § 8 - 4 电路定律的相量形式
§ 8 - 1 复数 一. 复数F表示形式：
1、代数形式： F=a+jb (j 1 为虚数单位)
取复数F的实部和虚部用符号表示为：
Re[F]=a 取复数F的实部 Im[F]=b 取复数F的虚部
iditdtidtRRee[[ R22IeIee[jwjwtt]2dtIejwRRtee][[dRte(([222IR(eIeejIwjt[w))ted)jtd(w]tt]]2Ie jwt )dt] jw
RRe[e[R2e2([(jIwjIw2))e(ejwjjwIwtt]] )e jwt ]
Im,w, i 这3个量已经确定，正弦量就完全确定了。所以，
称这3个量为正弦量的三要素。
二、周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了确切的衡量 其大小，工程上采用有效值。
1. 有效值定义
电流有效值I 定义为：
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。
2
I
w
cos(wt
i
2
)
原正由弦上量 2可i的2wI知相wIc2，co量osw正Is(除w(w弦c以tot量sj(的wwii 积t, 22其分))模结i 为果 w为I2其)同幅频角率滞正后弦2量。 ，其相量等于
i的n重积分的相量为 I/(jw)n
⑷RLC串联正弦电路
i R
L
如图所示已知R、L、C和
•
I C IC Ψi
•
IC
•
UC
•
•
I C jwCUC
或：
•
UC
1
•
IC
jwC
1 jwC
相量模型
IC
Ψi
ωCUC
Ψu
2
IC
Ψi
ωCUC
Ψu
2
有效值关系： IC ωCUC
或：
UC
1 ωC
IC
相位关系：
i
u
2
•
•
ICUCu源自( iC 超前 uL90°)
•
•
•
I C jwC UC jBC U C
dt
若 i(t) Re 2Ie jwt
d（i t) dt
d dt
(Re
2Ie
jwt
)
Re
d dt
(
2Ie
jwt
)
Re
jw
2Ie
jwt
由以上可得正弦量的导数是一个同频率正弦量，其
量值等于原正弦量i的相量I 乘以 jw
⑶正弦量的积分运算
设 i(t) 2I cos(wt ), i则dt Re[ 2Ie jwt ]dt Re[ ( 2Ie jwt )dt]
us
c
us 2Uscos(wt u )V 求i。
则KVL方程为:
Ri
L
di dt
1 c
idt
us
其特解为:
i(t) 2I cos(wt ) Re[ 2Ie jwt ] 经变换得下式
Re[R(
2Ie jwt ) Re[
2( jwLI )e jwt ] Re[
2(
I )e jwt ]
jwC
⑵求di1/dt可直接用时域形式求解，也可以用相量求解
di1 10 2 314sin(314t 600) 3140 2 cos(314t 600 900 )
dt
用相量求解
jwI1 =j314×10/600=3140/600+900积分为
I2
jw
§8 - 4 电路定律的相量形式
一. 电阻元件
( uR , iR同相 )
二 . 电感元件 时域形式：
若： iL (t) 2IL cos(wt ψi )
iL
uL
L
uL (t)
L
diL (t) dt
相应的相量形式：
•
•
•
U L jwL I L jXL I L
UL
或：
•
IL
1
•
UL
jwL
•
jBL U L
Ψu ωLI L
Ψi
2
•
•
IL
i(t) 2I cos (wt Ψi ) Re( 2Ie ) j(wtΨi )
Re( 2Ie jΨi e jwt )
•
I
I e• ji
Ie ji I
Ψ i
复常数
•
I 称为正弦量 i(t) 对应的相量。
i(t) 2I cos(wt Ψi )
•
I I Ψi
•
称 I I Ψ 为正弦量 i(t) 对应的相量。 i
四．两个同频率正弦量的相位差
设 u(t) Um cos(w t u ) i(t) Im cos(wt i )
则u(t)与i(t)的相位差 j (wt u ) (wt i ) u i j u i 0 称为u超前i;
j u i 0 称为i超前u,或u落后i; j u i 0 u和i同相位;
•
I 0
•
U 0
上式表明：流入某一结点的所有电流用相量表示时 仍满足KCL；而任一回路所有支路电压用用相量表示时 仍满足KVL。
例8-3 如图所示电路中，is为正弦电流源的电流，其有效值
Is=5A,角频率ω=103rad/s,R=3Ω,L=1H,C=1μF。求电压ubd 和uad 。
解：相量电路图如图所示，设 a a R R b b jwLL c c
j b
|F|
2、三角形式：
F
F=a+jb
a 1
=|F|（cos + jsin ）
|F| 为复数的模， 为复数的幅角。
a=|F|cos b=|F|sin
或：
|F
|
a2 b2
θ arctan b a
3、指数形式：
欧拉公式
ej cos jsin
指数形式
F=|F|（cos + jsin ）