2008年高考试题——数学文(全国卷2)DA ．1B ．12C ．12- D ．1-8．正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为︒60，则该棱锥的体积为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．189．44)1()1(x x +-的展开式中x 的系数是（ ）A ．4-B ．3-C ．3D ．410．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ ）A ．1B ． 2C ．3D ．211．设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ）A ．221+B ． 231+C ． 21+D ．31+12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．设向量(12)(23)a b，若向量λ+a b与向量(47)==，，，c共线，，=--则=λ．14．从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有种（用数字作答）15．已知F是抛物线24：的焦点，A B，是C上的两个点，C y x=线段AB的中点为(22)M，，则ABF△的面积等于．16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①；充要条件②．（写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：17．（本小题满分10分）在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =．（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．18．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．19．（本小题满分12分）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2．设甲、乙的射击相互独立．（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；（Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率．20．（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．（Ⅰ）证明：1A C ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．21．（本小题满分12分）设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值；（Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围．A B C D E A 1B 1C 1D 122．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)，，，是它的两个顶点，直线A Bkxy与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．=k)0(>（Ⅰ）若6ED DF=，求k的值；（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（必修 选修Ⅰ）参考答案和评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．D 7．A 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C 提示：1、αα,0sin < 在第三或四象限，0tan >α，α在第一或三象限α∴为第三象限角2、}1,0,1{},21|{-=∈<≤-=⋂Z x x x N M3、555==d4、)(x f 为奇函数5、ca b x x e<<∴<<-∴<<-0ln 1116、当⎩⎨⎧=-=22y x 时，83min-=-=y x Z7、axy2'=，当1=x 时，122,2'=∴==a a a y8、如图，,60,32o SAO SA =∠= 则6,3,360sin =∴==⋅=AB AO SA SO o636312=⨯=∴VC D BAS9、444)1()1()1(x x x -=+-，x ∴的系数为414-=-C10、)4sin(2cos sin )(π-=-=x x x x f )(x f ∴最大值为211、设1||=AB ，则3=AC ，13||||2-=-=CB AC a ，1||2==AB C ，21322+==∴ac e12、1O 与2O 的公共弦为AB为C ，则四边形C OO O 21OC AC AC OA OC O O ⊥===,1||,2|||,|||213||||||22=-=∴AC OA OC二、填空题13．2 14．420 15．216．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形． 13、20)2(7)32(4)32,2(=∴=+-+∴++=+λλλλλλb a ； 14、42036310316=--C C C；15、设),(),(2211y x B y x A ，),(444122122121222x x y y x y x y -=-∴⎪⎩⎪⎨⎧==14121212=+=--y y x x y yAB∴所在直线方程为22-=-x y 即xy =，又4,04212==⇒⎩⎨⎧==x x xy xy ，22||||211||24||2||12==∴==-=∆OF AB S OF x x AB ABF ;注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分． 三、解答题 17．解：（Ⅰ）由5cos 13A =-，得12sin 13A =， 由3cos 5B =，得4sin 5B =． ········· 2分所以16sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=． ··· 5分 （Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⨯===． · 8分所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯83=．10分 18．解：设数列{}na 的公差为d ，则3410a a d d=-=-， 642102a a d d =+=+，1046106a a d d=+=+． ··········· 3分由3610a a a ，，成等比数列得23106a a a =，即2(10)(106)(102)d d d -+=+，整理得210100dd -=，解得0d =或1d =． ··········· 7分当0d =时，20420200S a ==． ········ 9分当1d =时，14310317a a d =-=-⨯=，于是2012019202Sa d ⨯=+207190330=⨯+=． ····· 12分19．解：记12A A ，分别表示甲击中9环，10环，12B B ，分别表示乙击中8环，9环，A 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数， B表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，12C C ，分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数． （Ⅰ）112122A AB A B A B =++， ········ 2分112122()()P A P A B A B A B =++ 112122()()()P A B P A B P A B =++112122()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++0.30.40.10.40.10.40.2=⨯+⨯+⨯=． ········ 6分（Ⅱ）12B C C =+， ··········· 8分22213()[()][1()]30.2(10.2)0.096P C C P A P A =-=⨯⨯-=，332()[()]0.20.008P C P A ===，1212()()()()0.0960.0080.104P B P C C P C P C =+=+=+=． ··· 12分20．解法一：依题设，2AB =，1CE =．（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥．由三垂线定理知，1BD A C ⊥． ······ 3分在平面1A CA 内，连结EF 交1A C 于点G ，由于1AA ACFC CE==， 故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AA C CFE ∠=∠，CFE∠与1FCA ∠互余．于是1A C EF ⊥．1A C与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直，所以1A C ⊥平面BED ． ·········· 6分 （Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE⊥，故1A HG ∠是二面角1A DEB --的平面角． ··· 8分EF ==CE CF CG EF ⨯==3EG ==．13EG EF =，13EF FDGH DE⨯=⨯=．又1AC ==，113A G A C CG =-=．11tan AG A HG HG∠==所以二面角1A DEB --的大小为arctan ． ·· 12分A BC D EA 1B 1C 1D 1F H G解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．(021)(220)DE DB ==，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=，，，，，． ·· 3分（Ⅰ）因为10AC DB =，10AC DE =， 故1A C BD ⊥，1A C DE ⊥．又DBDE D=，所以1A C ⊥平面DBE ． ·········· 6分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE⊥n ，1DA ⊥n ．故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ． ···· 9分1AC <>，n 等于二面角1A DEB --的平面角，11114cos 42A C A C A C<>==，n n n ．所以二面角1A DEB --的大小为． ·· 12分21．解： （Ⅰ）2()363(2)f x axx x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =．经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点．4分 （Ⅱ）由题设，3222()336(3)3(2)g x axx ax x ax x x x =-+-=+-+．当()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g 时，(0)(2)g g ≥，即02024a -≥．故得65a ≤． ············· 9分 反之，当65a ≤时，对任意[02]x ∈，， 26()(3)3(2)5g x x x x x +-+≤23(210)5xx x =+-3(25)(2)5xx x =+-0≤，而(0)0g =，故()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g ．综上，a 的取值范围为65⎛⎤-∞⎥⎝⎦，． ····· 12分 22．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=，直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． 2分 如图，设01122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4kx +=，故21xx =-=．①由6ED DF =知01206()xx x x -=-，得021215(6)77xx x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212xk=+．所以212k =+， 化简得2242560kk -+=，解得23k =或38k =． ··········· 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB的距离分别为1h ==2h ==． ······· 9分又AB ==，所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 1525(14k =+==≤当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为． ·················· 12分 解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11ykx =，22ykx =，由①得2x>，210yy =->，故四边形AEBF 的面积为 BEFAEFS S S =+△△222x y =+ ··············· 9分===当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为 12分。