最短路径问题专题练习1. 如图，长方体中，，，，一蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点处觅食，则蚂蚁所行路程的最小值为A. B. C. D.2. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是，，，和是这个台阶的两个相对的端点，点有一只壁虎，它想到点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从点出发，沿着台阶面爬到点，至少需爬A. B. C. D.3. 如图，个边长为的小正方形及其部分对角线所构成的图形中，如果从点到点只能沿图中的线段走，那么从点到点的最短距离的走法共有A. 种B. 种C. 种D. 种4. 如图所示，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点是母线上一点且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是A. B. C. D.5. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是．A. B. C. D.6. 如图，已知，，，要在长方体上系一根绳子连接，绳子与交于点，当所用绳子最短时，绳子的长为A. B. C. D.7. 已知蚂蚁从长、宽都是，高是的长方形纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所行的最短路线的长是A. B. C. D.8. 如图所示，一圆柱高，底面半径长，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程（取）是A. B. C. D. 无法确定9. 如图圆柱底面半径为 cm，高为 cm，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一母线上，用一棉线从顶着圆柱侧面绕圈到，则棉线最短为A. cmB. cmC. cmD. cm10. 如图，点为正方体左侧面的中心，点是正方体的一个顶点，正方体的棱长为，一蚂蚁从点沿其表面爬到点的最短路程是A. B. C. D.11. 如图所示是一棱长为的正方体，把它分成个小正方体，每个小正方体的边长都是 .如果一只蚂蚁从点爬到点，那么，间的最短距离满足A. B. C. D. 或12. 如图所示，圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为A. B. C. D.13. 如图，点的正方体左侧面的中心，点是正方体的一个顶点，正方体的棱长为，一蚂蚁从点沿其表面爬到点的最短路程是A. B. C. D.14. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”，题意是如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处．QQ群450116225则问题中葛藤的最短长度是尺．15. 如图，已知圆柱体底面的半径为，高为，，分别是两底面的直径．若一只小虫从点出发，沿圆柱侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线长度是（结果保留根号）．16. 如图，圆柱形容器高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 .17. 如图所示的正方体木块的棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为 .QQ群45011622518. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要．19. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点距离点，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是．20. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立在地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而到其顶，问葛藤之长几何?”题意是：如图，把枯木看做一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高是尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中的葛藤的最短的长度是尺．21. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为，若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 .22. 一只蚂蚁从长、宽都是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它爬行的最短路线的长是．23. 如图所示是一段三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为，，，和是这段台阶两个相对的端点. 点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，设蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为，则以为边长的正方形的面积为 .QQ群45011622524. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要；如果从点开始经过个侧面缠绕圈到达点，那么所用细线最短需要25. 在一个长为米，宽为米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽平行且大于，木块的正视图是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点处，到达处需要走的最短路程是米（精确到米）26. 如图为一圆柱体工艺品，其底面周长为，高为，从点出发绕该工艺品侧面一周镶嵌一根装饰线到点，则该装饰线最短长为．27. 如图，一个没有上盖的圆柱盒高为，底面圆的周长为，点距离下底面，一只位于圆柱盒外表面点处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点处吃东西，则蚂蚁需爬行的最短路程的长为．28. 图1 所示的正方体木块棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图 2 的几何体，一只蚂蚁沿着图 2 的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为．29. 一只蚂蚁沿棱长为的正方体表面从顶点爬到顶点，则它走过的最短路程为．30. 如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为，假若点有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线的中点处的食物，那么它爬行的最短路程是．31. 如图，圆锥的母线长是，底面半径是，是底面圆周上一点，从点出发绕侧面一周，再回到点的最短的路线长是．QQ群45011622532. 如图，一个正方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处．（1）请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快达到目的地的可能路径；（2）当正方体木柜的棱长为时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．33. 葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿最短路线螺旋前进的．（1）如果树的周长为，绕一圈升高，则它爬行路程是多少?（2）如果树的周长为，绕一圈爬行，则爬行一圈升高多少?如果爬行圈到达树顶，则树干多高?34. 如图所示，长方体的长为，宽为，高为，点与点之间相距，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是多少?35. 图①，图②为同一长方体房间的示意图，图③为该长方体的表面展开图．（1）已知蜘蛛在顶点处；①苍蝇在顶点处时，试在图①中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点处时，图②中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板爬行的最近路线和往墙面爬行的最近路线，试通过计算判断哪条路线更近；（2）在图③中，半径为的与相切，圆心到边的距离为，蜘蛛在线段上，苍蝇在的圆周上，线段为蜘蛛爬行路线．若与相切，试求的长度的范围．QQ群45011622536. 如图，直四棱柱侧棱长为，底面是长为，宽为的长方形．一只蚂蚁从顶点出发沿棱柱的表面爬到顶点．求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．37. 如图，观察图形解答下面的问题：（1）此图形的名称为．（2）请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个．（3）如果点是的中点，在处有一只蜗牛，在处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿爬到处，只能沿此立体图形的表面爬行．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗?（4）的长为，侧面展开图的圆心角为，请你求出蜗牛爬行的最短路程．38. 如图，一只虫子从圆柱上点处绕圆柱爬一圈到点处，圆柱的高为，圆柱底面圆的周长为，求虫子爬行的最短路程．39. 如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处.（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当，，时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；40. 如图一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．当＝，＝，＝时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．41. 一只蚂蚁从长、宽都是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，如图，求它爬行的最短路线的长．42. 如图所示是一段楼梯，已知，，楼梯宽 .一只蚂蚁要从点爬到点，求蚂蚁爬行的最短路程.QQ群45011622543. 如图，一个长方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径．（2）当，，时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．（3）求点到最短路径的距离．44. 已知圆锥的底面半径为，高，现在有一只蚂蚁从底边上一点出发．在侧面上爬行一周又回到点，求蚂蚁爬行的最短距离．45. 如图，是一个长方体盒子，长，宽，高．（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点沿盒子表面爬到点，求它所行走的最短路线的长．（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为多少?46. 图1、图2为同一长方体房间的示意图，图 3为该长方体的表面展开图．（1）蜘蛛在顶点处．①苍蝇在顶点处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线．②苍蝇在顶点处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板爬行的最近路线和往墙面爬行的最近路线，试通过计算判断哪条路线更近．（2）在图中，半径为的与相切，圆心到边的距离为，蜘蛛在线段上，苍蝇在的圆周上，线段为蜘蛛爬行路线，若与相切，试求长度的范围．47. 如图，长方体中，，，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少?48. 如图，平行四边形中，，，，将平行四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）若点时直线上的一个动点，请计算的最小值．49. 实践操作在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点，是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．QQ群450116225（1）初步思考若点落在矩形的边上（如图①）．①当点与点重合时，，当点与点重合时，；②当点在上，点在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时菱形的边长．（2）深入探究若点落在矩形的内部（如图③），且点，分别在，边上，请直接写出的最小值．（3）拓展延伸若点与点重合，点在上，射线与射线交于点（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一种情况，使得线段与线段的长度相等?若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由．答案1. B2. C 【解析】将台阶面展开，连接，如图，线段即为壁虎所爬的最短路线．因为，，在中，根据勾股定理，得，所以．所以壁虎至少爬行．3. C 【解析】4. B5. D6. A 【解析】 .7. B 8. B 9. B 10. C11. B 12. A 13. C 【解析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．如图，．14.15.【解析】将圆柱的侧面沿剪开并铺平得长方形，连接，如图．线段就是小虫爬行的最短路线．根据题意得．在中，由勾股定理，得，．所以．16.17.18.19.【解析】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图 1：长方体的宽为，高为，点离点的距离是，，，在直角三角形中，根据勾股定理得：；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图 2：长方体的宽为，高为，点离点的距离是，，，在直角三角形中，根据勾股定理得：；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图 3：长方体的宽为，高为，点离点的距离是，，在直角三角形中，根据勾股定理得：；，蚂蚁爬行的最短距离是．20.21.【解析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的做法就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答.如图，，，22.23.24. ，【解析】如图，依题意，得从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点时，最短距离为，此时，由勾股定理，得，即所用细线最短为．若从点开始经过个侧面缠绕圈到达点，则长方体的侧面展开图的一边长由变成，即，由勾股定理，得，即所用细线最短为，或．25.【解析】由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽，长为米；宽为米．于是最短路径为：米．26.【解析】沿剪开可得矩形.圆柱的高为，底面圆的周长为，，，在中， .即装饰线的最短路线长是．27.28.29.30.【解析】圆锥的底面周长是，则，即圆锥侧面展开图的圆心角是，在圆锥侧面展开图中，，，在圆锥侧面展开图中，这只蚂蚁爬行的最短距离是．31.【解析】图中扇形的弧长是，根据弧长公式得到，，即扇形的圆心角是，，.32. （1）蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的和．（2）如图，．．所以蚂蚁爬过的最短路径的长是．33. （1）（2）；34. ．35. （1）①如图①，连接，线段就是所求作的最近路线．②两种爬行路线如图②所示，由题意可得：在中，；在中，．，路线更近．（2）如图③中，连接，为的切线，点为切点，．在中，有，当时，最短，取得最小值，此时，．当点与点重合时，最长，取得最大值，如图④，过点作，垂足为，由题意可得，，在中，．在中，．综上所示，长度的取值范围是．36. （1）若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为；若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为或．所以蚂蚁经过的最短路程是．（2）蚂蚁爬过的棱长依次为，，，，，，时，其路程为最长，最长路程是．37. （1）圆锥（2）扇形（3）把此立体图形的侧面展开，如图所示，为蜗牛爬行的最短路线．（4）在中，由勾股定理，得，所以．故蜗牛爬行的最短路程为．38. 如图，是圆柱的展开图，连接．由题意可知虫子爬行的最短路径为 .此时．答：虫子爬行的最短路程为．39. （1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形和 .故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径为图中的和 .（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的最短路径的长是 . 蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的最短路径的长是 .因为，所以蚂蚁爬过的最短路径的长为 .40. 如图所示，木柜的部分表面展开图示两个矩形或矩形．蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径是如图的或．若爬过的路径的长是，则；若爬过的路径的长是，则 .，最短路径的长是．41. 蚂蚁实际上是在长方体的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图所示），得到矩形.根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是半个侧面展开图矩形对角线之长．在中，底面边长，．答：最短路程约为．42. 如图①；如图②、如图③.蚂蚁爬行的最短路程为 .43. （1）木柜的部分表面展开图如图：蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有和．（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径长为．蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径长为．，最短路径为．（3）过点作于点，连接，则．点到最短路径的长为．44. 设扇形的圆心角为，圆锥的顶点为，，．由勾股定理可得母线，而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为，．即是等腰直角三角形，由勾股定理得：．答：蚂蚁爬行的最短距离为．45. （1）蚂蚁从点爬到点有三种可能，展开成平面图形如图所示，由勾股定理计算出的值分别为，，，比较后得最小为，即最短路线的长是．，即能容下的最长木棒的长度为．46. （1）①如图所示线段为最近路线.②将长方体展开，使得长方形和长方形在同一平面内，如图.在中，，，，．将长方体展开，使得长方形和长方形在同一平面内，如图.在中，＝，＝，＝，＝＋＝＝ .往天花板爬行的最近路线更近.（2）过点作于，连接，，， .半径为的与相切，圆心到边的距离为，，，， .根据勾股定理可得，，．与相切于点，， .．当时，；当时，．长度的范围是．47. 如图1所示：由题意得：，，在中，由勾股定理得，如图2所示：由题意得：，，在中，由勾股定理得：，．第一种方法蚂蚁爬行的路程最短，最短路程是．48. （1）将平行四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，，， .，...四边形是菱形.，，.四边形是菱形.（2）四边形是菱形，与关于对称，连接交于，则的长即为的最小值，过点作于 .，，，， ...的最小值为．49. （1）①；②翻折的性质，，，四边形是矩形，，，，，，，四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，当时，菱形边长为．，，（2）．（3）存在，．最短路径问题专题练习1. 如图，长方体中，，，，一蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点处觅食，则蚂蚁所行路程的最小值为A. B. C. D.2. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是，，，和是这个台阶的两个相对的端点，点有一只壁虎，它想到点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从点出发，沿着台阶面爬到点，至少需爬A. B. C. D.3. 如图，个边长为的小正方形及其部分对角线所构成的图形中，如果从点到点只能沿图中的线段走，那么从点到点的最短距离的走法共有A. 种B. 种C. 种D. 种4. 如图所示，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点是母线上一点且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是A. B. C. D.正方形专题练习1、小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了一道题，从下列四个条件：①；②；③；④中选出两个作为补充条件，使平行四边形为正方形（如图）．现有下列四种选法，你认为其中错误的是A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④2、，大正方形中有个小正方形，如果它们的面积分别是，，那么，的大小关系是A. B.C. D. ，的大小关系不确定3、如图，在正方形和正方形中，点在上，，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，此时点在上，连接，则A. B. C. D.4五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点，，，分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分面积的和为A. B. C. D.旋转专题练习1. 如图，在矩形中，已知，，将矩形绕着点在桌面上顺针旋砖至，使其停靠在矩形的点处，若，则点的运动路径长为（1题）（2题A. B. C. D.2. 在中，，，把这个直角三角形绕顶点旋转后得到，其中点正好落在上，与相交于点，那么等于A. B. C. D.3. 在锐角中，，，（如图），将绕点按逆时针方向旋转得到（顶点、分别与、对应），当点在线段的延长线上时，则的长度为 QQ群450116225（3题）（4题）A. B. C. D.4. 边长一定的正方形，是上一动点，交于点，过作交于点，作于点，连接，下列结论：①；②；③；④为定值．其中一定成立的是11.抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库。