泰兴市第一高级中学2017-2018学年度第一学期期中考试高一数学试卷命题人：凌舜明 审核：丁连根 2014-11考试时间：120分 满分：160分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．若集合{}{}0,1,2,2,1,2,3A B ==-，则AB = ▲ .2．已知幂函数．．．)(x f y =的图象过点)8,21(，则()f x = ▲ ． 3．已知扇形半径为1，圆心角为2，则扇形的面积为 ▲ . 4．已知角α的终边经过点P ),5(y ，且12sin 13α=-，则y = ▲ . 5．设0.6log 0.8a =， 1.2log 0.9b =，0.81.1c =，则a b c 、、由小到大．．．．的顺序是 ▲ ． 6．设函数2,0(),x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若()4f a =，则实数a = ▲ .7．设函数2(1)2f x x x +=+，则()f x 的单调递减区间是 ▲ . 8． 已知()538f x x ax bx =++-，()210f -=，则()2f = ▲ . 9．函数|2||1|x x y -++=的最小值是 ▲ ．10．方程3log 3=+x x 的解在区间)1,(+n n 内，*n N ∈，则n = ▲ ．11．已知函数223y x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围是▲ .12．设已知函数2()log f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f mf n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则n m += ▲ ．13．若()f x 为R 上的奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又()30f -=,则 ()(2)0x f x -<的解集为 ▲ ．14．若函数()x f 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0=-+x f x f②对于定义域上的任意21,x x ，当21x x ≠时，恒有()()02121<--x x x f x f ，则称函数()x f 为“理想函数”。

给出下列四个函数中：① ()x x f 1=；②()2x x f = ； ③()1212+-=x x x f ；④()⎩⎨⎧<≥-=022x xx x x f ，能被称为“理想函数”的有 （填相应的序号）． 二．解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分） (1)已知11223x x -+=，求x ＋1x 的值；(2)计算：(log 43＋log 83)·(log 32＋log 98)．16．（本小题满分14分）已知：函数)93lg(4)(-+-=x x x f 的定义域为,A 集合}.,0{R a a x x B ∈<-= (1)求集合;A(2)求.B A 17．（本小题满分15分）已知函数1()log (0,1)1a xf x a a x+=>≠- (1)求函数()f x 的定义域；(2)判断函数()f x 的奇偶性，并证明； (3)求使()0f x >的x 的取值范围．18．（本小题满分15分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．若每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时, 租赁公司的月收益最大，最大月收益是多少?19．（本小题满分16分）探究函数f (x )＝2x ＋8x －3，x ∈(0，＋∞)上的最小值，并确定取得最小值时x 的值．列表如下：(1)观察表中y 值随x 值变化趋势的特点，请你直接写出．．．．函数f (x )＝2x ＋8x －3在区间(0，＋∞)上的单调区间，并指出f (x )的最小值及此时x 的值．(2)用单调性的定义证明函数f (x )＝2x ＋8x －3在区间(0，2]上的单调性；(3)设函数f (x )＝2x ＋8x －3在区间(0，a ]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式．20．（本小题满分16分）如图，过函数()log c f x x =(1)c >的图像上的两点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M (,0)a ，N (,0)b (1)b a >>，线段BN 与函数()log m g x x =，(1)m c >>的图像交于点C ，且AC 与x 轴平行.(1)当2,4,3a b c ===时，求实数m 的值；(2)当2b a =时，求2m cb a -的最小值；(3)已知()xh x a =，()x x b ϕ=，若12,x x 为区间(,)a b 内任意两个变量，且12x x <.求证：21[()][()]h f x f x ϕ<.高一数学期中考试题参考答案1、{}3,2,1,0,2-2、-3x 3、1 4、-12 5、b<a<c 6、-4或2 7、），（0-∞8、-26 9、3 10、2 11、 12、2513、 ）（）（3,20,3-⋃ 14、④15、(1)因为x 12＋x －12＝3，所以(x 12＋x －12)2＝32，……2分即x ＋x－1＋2＝9．所以x ＋1x ＝7． ……7分 (2)(log 43＋log 83)·(log 32＋log 98)＝(12log 23＋13log 23)·(log 32＋32log 32)＝56log 23·52log 32＝2512． ……14分16、解：（1）42334093042≤<⇒⎩⎨⎧>≤⇒⎩⎨⎧>-≥-x x x x x ，定义域A ＝(]4,2； ……… 6分 （2）B ＝{}Ｒa a x x ∈<-,0＝（－∞，a ） ……… 8分①当a≤2时，A∩B=φ …………… 10分 ②当2＜a ≤4时，A∩B=（2，a ） ………………… 12分 ③当a ＞ 4时，A∩B=(]4,2 。

…………………14分17、解：（1）由题意可知101xx+>-，解得11x -<<，所以函数的定义域为(1,1)-；……4分 (2) 函数的定义域为(1,1)-，关于原点对称.…………………………………… 5分因为1111()log log log ()111a a a x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭， 所以()f x 为奇函数； ……………………………………………………… 10分 (3)当01a <<时，1011xx+<<-，解得10x -<<， ……………………… 13分 当1a >时，111xx+>-，解得01x <<，……………………………………15分18、解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时, 未租出的车为125030003600=-辆，所以租出了88辆车；……………………………………………………６分 （2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为()()50503000150503000100⨯---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x x x f ，整理得 ()()3070504050501210001625022+--=-+-=x x x x f所以当4050=x 时，()x f 最大，其最大值为()3070504050=f 答：当每辆车的月租金定为4050元时, 租赁公司的月收益最大， 最大月收益是307050元．…………………………………………………15分19、(1)由表中可知f (x )在(0，2]为减函数，为减函数． ……10分(3)由(2)可证：函数f (x )＝2x ＋8x －3在区间(0，2]上单调递减，在区间①当0＜a ＜2时，(0，a ]⊆(0，2]，所以函数f (x )＝2x ＋8x －3在区间(0，a ]上单调递减， 故f (x )min ＝f (a )＝2a ＋8a －3； ②当a ≥2时，函数f (x )＝2x ＋8x －3在区间(0，2]上单调递减，上单调递增， 故f (x )min ＝f (2)＝5；综上所述，函数f (x )＝2x ＋8x －3在区间(0，a ]上的最小值为g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋8a －3，0＜a ＜2，5， a ≥2．……16分20、（1）解：由题意得A 3(2,log 2)，B 3(4,log 4) ，C (4,log 4)m 因为AC 与x 轴平行 所以3log 4log 2m =所以9m = ……………………………………………………5分（2）解：由题意得A (,log )c a a ，B (,log )c b b ，C (,log )m b b因为AC 与x 轴平行 所以log log m c b a =因为2b a =，所以2m c =所以22222(1)1m c c c cb a a a a -=-=--所以1ca=时，达到最小值-1……………………………………………………10分（3）证明：因为12a x x b <<<，且1c >所以12log log log log c c c c a x x b <<< 又因为1a >，1b >所以2log log c c x b a a <，1log log c c a x b b <又因为log log log log c c c c b a a b =所以log log log log c c b a c c a b =所以log log c c ba ab = 所以21log log c c x x ab < 即21[()][()]h f x f x ϕ< ……………………………………………………16分。