矩形的性质和判定
一、基础知识
（一）矩形的定义
有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。
（二）矩形的性质：
1.矩形具有平行四边形的一切性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是90°;
4.矩形是轴对称图形；
（三）矩形的判定：
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2.对角线相等的平行四边形是矩形；
3.有三个角是直角的四边形是矩形；
4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
（四）直角三角形的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（如图：OB=OC=OA=AC
2
、例题讲解
考点一：矩形的基本性质
例1 :如图，在矩形ABCD中, AE?丄BD, ?垂足为E, ?/DAE=?2之BAE ?那么，？/ BAE= ______________ , Z EAO= ________ ,若EO=1,贝y OD= ______ AB= _______ , AD= ________ r
练习1 :矩形ABCD中,,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6, △ OBC勺周长是15,求矩形的对角线的长
度.
练习2 :如图，在矩形ABCD中, CE L BD, E为垂足，/ DCE：/ ECB= 3 ：1,求/ ACD.
例2:如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm那么矩形的周长是多少？
2
练习1 :矩形ABCD中,,对角线AC与BD相交于点0,已知矩形ABCD勺面积是12cm，AB=4cm求矩形的对
角线长。
例3:如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB BC分别长15cm和25cm,内角/ BAD的角平分线与边BC交于
点E.试求BE与CE的长度.
练习1 :如图，在矩形ABCD中, E是边AD上的一点•试说明厶BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系.
例4: （2009年广西钦州）已知：如图1,在矩形ABCD中, AF= BE求证：DE= CF;
练习1 :如图，矩形ABCD中, E为AD中点，/ BEC为直角，矩形ABCD勺周长是20,求AD AB的长。
练习2: （2009年衢州）如图，四边形ABCD!矩形，△ PBC^A QCDTE是等边三角形，且点P在矩形上方, 点Q在矩形内.
求证：（1）Z PB/=Z PCQ30。
；
2) PA=PQ.
考点二：面积法
例1 :如图，在矩形 ABCD 中, AB= 3, BC = 4, BE 丄AC 于E .试求出 BE 的长.
练习1 :如图，矩形ABC ［中, E 点在BC 上，且AE 平分 BAC 若BE =4, AC =15,贝U AEC 面积为(
)
B. 30
C. 45
D. 60 。
练习2:如图：在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC BD 相交于点 O, AB=4cm ,AD=4-_3cm.
(1)判定△ AOB 的形状.
(2)计算△ BOC 勺面积
. P
D
C
练习3:如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠使点C落在点C/处，BC交AD于E, AD=8 AB=4 BE=5,
求厶BED的面积。
C'
考点三：矩形对角线平分且相等
例1 :矩形的两条对角线相交成60°角，较短边与一条对角线之和为15cm，则矩形的对角线长为__________ cm 。
练习1 :矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是( )•
A • °
B • °
练习3 :如图，矩形ABCD勺对角线相交于点O / AOB= 120°,AD= 5cm,则AC= _______________________________ 考点四：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例1 :如图，△ ABC中，/
1 A=2/ B,。
是厶ABC的高，E是AB的中点，求证：DE^ AC.
练习1 :如图，矩形ABCD勺对角线AC交BD于D, E为CB延长线上一点，连接AE, M为AE中点且BML DM 于点M,
(1)连接OM若AD=8 CD=6求OM的长。
(2)求证：AD+BE=2A0
考点四：角平分线例1 :已知，四边形ABCD是矩形，CH L BD, H为垂足，AE是/ BAD的平分线，交HC的延长线于E。
求证：CE=BD
例2 :矩形ABCD AC BD相交于点O, AE平分/ BAD交BC于E,若/ CAE=15，求/ B0E的度数;
例3: (2009年佳木斯中考卷第25题)如图，将矩形纸片ABCD&对角线AC折叠，使点B落到点B'的位置，AB与CD交于点E
(1)试找出一个与△ AED全等的三角形，并加以证明.
(2)若AB=8, DE=3, P为线段AC上的任意一点，PGL AE于G PH L EC于H,试求PGPH的值，并说明理由•练习1 :如图，E为矩形ABCD边AD上一点，BE=DE P为BD上一点，PF L BE于F, PGL AD于G
求证：PF+PG=AB
课后练习：
1矩形的两条对角线的夹角为60 ° , ?一条对角线与短边的和为15, ?对角线长是_____________ ，两边长分别等于________
2、矩形周长为36cm, —边中点与对边两顶点的连线所夹的角是直角，则矩形各边长是
3、____________________________________________________________________ 如图，矩形ABCD中, E 是BC中点，/ BAE=30 , AE=4,贝U AC= ________________________________________ :
4、如图，矩形ABCD中, AB=2BC在CD上取上一点M 使AM=AB则/ MBC= ________________
5、已知：如图，矩形ABCD中, EF丄CE EF=CE DE=2,矩形的周长为16,求AE的长.
6、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF若AB= 3,贝U BC的长为（）
A. 1 B . 2
C. 2 D . ■ 3
A E B
7、如图1,在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC, CD , DA 运动至点A 停止.设点P 运动的路程为x , △ ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图
A. 10
B. 16
C. 18
D. 20
8、（2009年遂宁）如图，已知矩形 ABCDK AB=4cm, AD=
10cm 点P 在边BC 上移动，点E 、F 、G H 分别 是AB AP DP DC 勺中点.
⑴求证：EF +G 片5cm
⑵求当/ APD 90。
时，1L 的值.
GH 2所示，则△ ABC 的面积是（ ） 图1 图2。