第五章 长期聚合风险模型习题课【知识要点】1、 盈余过程的基本模型()()(), 0U t u ct S t t =+-≥ u 为初始资本c 为单位时间收取的保费（保费率）()()1N t i i S t X ==∑为时间[]0,t 内的理赔总额()Nt 为理赔次数过程2、 破产概率的定义破产时间：(){}m in 0;0Tt t U t =≥<终极破产概率：()()(){}0,0u P T P U t t ψ=<∞=<∃≥有限时间破产概率：()()()[]{},0, 0,u t P T t P U t t t ψ=<=<∃∈3、 破产概率的性质 （1）()()2112, u u u u ψψ≤∀≤；（2）()()()1212,,, 0; 0u t u t u ut t ψψψ≤≤∀≥≤≤<+∞；（3）()()lim ,t u t u ψψ→∞=。

4、泊松过程的定义 泊松过程的定义：（1） 全局性方法：如果()N t 在长度为h 的任意时间段内满足()()(){}(),, 0, 0, 0,1,2...!khP N t h N t k N x x t h et h k k λλ-+-=∀≤=∀≥>=则称(){},0N t t ≥为泊松过程。

由此定义可知，()()Nt h Nt +-服从参数为h λ的泊松分布。

（2） 等待时间间隔法：如果理赔事件发生的等待时间间隔随机变量123,,,...W W W 独立同分布，且分布函数服从参数为λ的指数分布，则称(){},0N t t ≥为泊松过程。

（3） 局部性方法：如果理赔次数满足下列三个条件，则称为泊松过程： （Ⅰ）当0t =时，理赔次数为零，即()00N =；（2）在(,]t tt +∆内是否发生理赔与t 时刻以前的理赔事件无关，并与时间的起始位置无关，但与区间长度有关。

因此,泊松过程是一个平稳增量过程。

（3）在充分小的时间间隔内，至多发生一次理赔，且发生一次理赔的概率与区间长度h 有如下关系：()()()()1P Nt h Nt h h λο+-==+5、 复合泊松过程的定义()()12...N t S t X X X=+++其中i X 独立同分布，且与理赔次数过程()N t 相互独立, 理赔次数过程为泊松过程。

复合泊松过程的均值、方差和矩母函数：()()()()()()()112,,Xt Mr S t E S t t V a r S t t Mr eλλμλμ⎡⎤-⎣⎦⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦6、 连续时间模型破产概率的计算（1） 微分方程方法定理5-2-3 对于泊松盈余过程，终极破产概率()u ψ满足()()()()()()0'1101u u u u x d F x F x cccλλλψψψψθ⎡⎤=----⎣⎦=+⎰例5-2-1 当泊松盈余过程中的理赔额服从参数为β的指数分布时，其破产概率为为：()()1exp 011R uu u eβθψψθθ-⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭。

（2）最大损失过程方法最大损失随机变量：(){}m a x 0L S t ct t =-≥，事件{Lu >}等价于“破产”，因此 破产概率可定义为：()()()()P r 1P r 1L u L u L u F u ψ=>=-≤=-最大损失随机变量L 可表示为：12...ML L L L =+++，其中：随机变量()1,2,...j L j =代表()Ut 的第j 个最低记录低于第1j -个最低记录的额度，且是独立同分布的；最低记录个数M服从参数为()10ψ-的几何分布，所以最大损失L 服从复合几何分布，其参数也为()10ψ-。

（1）破产时刻亏量的分布：()[]{}()()11P r ,,11U t y dy y T Py dy θμ⎡⎤∈---<∞=-⎣⎦+（2）盈余首次低于初始准备金的额度1L 的密度函数：()()()()()11111110LPy Py f y θμψμ--==+其中()1, P y μ分别是个别索赔额的数学期望和分布函数。

盈余首次低于初始准备金的额度1L 的矩母函数： ()()(){}1111111ryL XM r ePy dyM r rμμ∞⎡⎤=-=-⎣⎦⎰()()111, 1,2,... kj k E L k k μμ+⎡⎤=+=⎣⎦（3）最大损失随机变量L 的矩母函数：()()()()1ln 11,LML XM r MMr Mr θθ=⎡⎤-⎣⎦=+推论5-2-2 泊松盈余过程(){},0U t t ≥的破产概率满足() 01()11-11(1)()XruXMr e d u rp Mr θψθθ∞-⎡⎤⎣⎦=+++-⎰（5.2.17）当理赔额X 为指数分布或混合指数分布时，通过求解上述微积分方程可得到破产概率的解析表达式。

例题5-2-5 若个别理赔额X 的分布服从参数为β的指数分布，根据（5.2.17）式，可求得()()11exp 11uu p θψθθ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭。

例5-2-7当理赔额分布为()()()()12121xxf x p ep eββββ--=+-时，其破产概率可由()121212rue d u k k rrααψαα∞-=+--⎰解得：()1212uuu k ek eααψ--=+，其中12,αα是（调节系数）方程()()111Xrp M r θ++=的非零解，而12,k k 由下面联立方程确定：()()12121210,1k k k k E L ψθαα+==+=+（3）调节系数方法定义5-4-1 对泊松盈余过程，若方程()X cr M r λλ+= （5.4.1） 或 ()()111X p r M r θ++= （5.4.2）存在正数解，则其最小正数解R ，被称为这个过程的调节系数。

调节系数的其它等价形式：()()()()0110;1;1;ln R xR cR Sc SSe F x d x eE e M R cMR Rθ∞-⎡⎤⎡⎤-+-=⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-==⎣⎦⎰例 5.4.1 设理赔额X 服从均值为μ的指数分布，则由（5.4.2）式，可求得其调节系数R 为：()1R θμθ=+。

定理5.4.4：设初始资本金0u≥，则破产概率为()()(5.4.11)R uR U Teu E e T ψ--=⎡⎤<∞⎣⎦（1）若T <∞，则()0U T <，故（4.18）式中的分母大于或等于1，因此()R uu eψ-≤（破产概率的指数型上界）。

（2）如果个体理赔额X 不超过b ， 则()U t b≥-，因此有()R U t R bE e T e -⎡⎤<∞≤⎣⎦，从而()()R u b u eψ-+≥（破产概率下界）。

例5-4-5 若X 服从指数分布时，则()1exp 11u u θβψθθ-⎛⎫= ⎪++⎝⎭7、 离散时间模型破产概率计算12..., 0,1,...n n U u G G G n =++++=式中n U 代表理赔总量，n G 代表时间点[]1,n n -之间的收益，12,,...G G 是独立同分布的。

破产时刻T ~、破产概率()u ψ~和调节系数0R ~>：{}()m in 0; P r ; 1nG T n U u T M R ψ~~~~⎡⎤⎛⎫=<=<∞-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭索赔按复合泊松分布：R R ~=索赔按正态分布：22R μσ~=【例题】设某险种承保的损失只发生一次，并已知： （1） 该损失发生在时刻t 的概率为()211t +； （2） 理赔额的分布为()()1000.6, 3000.4X X f f ==； （3） 盈余过程方程()()6020U t t S t =+-计算破产概率。

解：设理赔发生时刻为T ，则()()()i i ii i iP u cT S T P u cT x P X x x u P T P X x c ⎡⎤+<=+<=⎡⎤⎣⎦⎣⎦-⎡⎤=<=⎢⎥⎣⎦∑∑代入相关数值后，计算得()()()()()()()21222100603006010030020200.620.4120.60.4112120.60.40.7692313P u cT S T P T PX P T PX d td tP T P T t t ⎡⎤+<⎣⎦--⎛⎫⎛⎫=<=+<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯<+⨯<=+++=⨯+⨯=⎰⎰假设泊松盈余过程的破产概率()()4,03ueu u ψ-=≥，个体索赔额X 服从指数分布()exp λ，求个体索赔额X 的数学期望μ1和()2L M 。

解：当索赔额X 服从指数分布时，()1exp 11u u θλψθθ-⎛⎫= ⎪++⎝⎭，根据题意，有13,41θλθθ+==+，由此解得2, 6θλ==。

因此，索赔额X 服从参数6λ=的指数分布，其数学期望()1116E Xμλ===，个体索赔额的矩母函数为()()()66X M r r r λλ=-=-，将其与112,2,6,6r θλμ====代入方程求得()423L M =。

()()()()1111111XLXMr Mr r Mr θθθθθμ⎡⎤-⎣⎦=+++++-12μ=的指数分布，保费收取费率4c =，求破产概率。

解：由保费公式()11cθλμ=+，得1411112cθλμ=-=-=⨯，故()()1141112uu u eeθθμψθ--+==+。

13μ=的指数分布，保费收取费率8c =，已知()0.5P L u >=，求初始准备金u 。

解：由保费公式()11c θλμ=+，得18111233cθλμ=-=-=⨯，故()()111210.751uu u eeθθμψθ--+==+，由()()0.5u P L u ψ=>=，得120.750.5u e-=，3ln 2ln 312ln4.8656122u u -=-⇒==。

考虑泊松盈余过程()()U t u ct S t =+-，个别理赔额的分布如下表：设1L 为首次降到初始准备金u 以下的部分损失，计算()1V a r L 。

解：110.520.330.140.1 1.8μ=⨯+⨯+⨯+⨯=，222223333310.520.330.140.14.210.520.330.140.112μμ=⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯=从而得()()23211114.271220, 22 1.8633 1.89E L E L μμμμ======⨯⨯，()()()222111207310.86119636V a r L E L EL ⎛⎫∴=-=-== ⎪⎝⎭。

某保险公司的理赔过程是复合泊松过程，泊松参数2λ=，个体理赔额的分布为已知调节系数0.5R =，计算()0ψ。