习 题12–1 一刚度系数为k 的弹簧，放在倾角为θ的斜面上。

弹簧的上端固定，下端与质量为m 的物块A 相连，图12-23所示为其平衡位置。

如使重物A 从平衡位置向下沿斜面移动了距离s ，不计摩擦力，试求作用于重物A 上所有力的功的总和。

图12-23))((2sin 2st 2st s k s mg W +-+⨯=δδθ 2st 2sin s ks k mgs --=δθ22s k -=12–2 如图12-24所示，在半径为r 的卷筒上，作用一力偶矩M=a ϕ+b ϕ2，其中ϕ为转角，a 和b 为常数。

卷筒上的绳索拉动水平面上的重物B 。

设重物B 的质量为m ，它与水平面之间的滑动摩擦因数为μ。

不计绳索质量。

当卷筒转过两圈时，试求作用于系统上所有力的功的总和。

图12-24322π40π364π8d )+ (d b a b a M W M +===⎰⎰ϕϕϕϕ mgr r mg W F π4π4μμ-=⨯-=)3π16π6π(34π4π364π8232mgr b a mgr b a W μμ-+=-+=∑12–3 均质杆OA 长l ，质量为m ，绕着球形铰链O 的铅垂轴以匀角速度ω转动，如图12-25所示。

如杆与铅垂轴的夹角为θ，试求杆的动能。

图12-25x x l mx x l m v m E d )sin 2()sin )(d (21)(d 21d 2222k θωθω===θωθω2220222k sin 61d )sin 2(ml x x l m E l ⎰==12–4 质量为m 1的滑块A 沿水平面以速度v 移动，质量为m 2的物块B 沿滑块A 以相对速度u 滑下，如图12-26所示。

试求系统的动能。

图12-26])30sin ()30cos [(212122221k ︒++︒+=u v u m v m E)30cos 2(212122221︒+++=uv v u m v m)3(212122221uv v u m v m +++=12–5 如图12-27所示，滑块A 质量为m 1，在滑道内滑动，其上铰接一均质直杆AB ，杆AB 长为l ，质量为m 2。

当AB 杆与铅垂线的夹角为ϕ时，滑块A 的速度为A v ，杆AB 的角速度为ω。

试求在该瞬时系统的动能。

图12-27AB A E E E k k k +=22222221)121(21])sin 2()cos 2[(2121ωϕωϕωl m l l v m v m A A ++++= )121cos 41(212122222221ωϕωωl lv l v m v m A A A ++++=)cos 31(2121222221ϕωωA A A lv l v m v m +++=12–6 椭圆规尺在水平面内由曲柄带动，设曲柄和椭圆规尺都是均质细杆，其质量分别为m 1和2m 1，且OC=AC=BC=l ，如图12-28所示。

滑块A 和B 的质量都等于m 2。

如作用在曲柄上的力偶矩为M ，不计摩擦，试求曲柄的角加速度。

图12-28ωl v C = ωω=AB ϕωωϕcos 2cos 2l l v AB A =⨯= ϕωsin 2l v B = B A AB OC E E E E E k k k k k +++=)(21])2)(2(121[21)2(21)31(2122222121221B A C v v m l m v m l m ++++=ωω 2222212212214213161ωωωωl m l m l m l m ⨯+++=2221243ωl m m +=ϕM W =∑动能定理ϕωM l m m =+2221243 221)43(l m m M+=α12–7 曲柄导杆机构在水平面内，曲柄OA 上作用有一力偶矩为M 的常力偶，如图12-29所示。

若初始瞬时系统处于静止，且∠AOB =2π，试问当曲柄转过一圈后，获得多大的角速度？设曲柄质量为m 1，长为r 且为均质细杆；导杆质量为m 2；导杆与滑道间的摩擦力可认为等于常值F ，不计滑块A 的质量。

图12-2901k =E2221222212k )3(61)(2161ωωωr m m r m r m E +=+=Fr M W 4π2-=∑动能定理)2(π2)3(612221Fr M r m m -=+ω 212213)2(π32)3()2(π12m m Fr M r r m m Fr M +-=+-=ω12–8 半径为R 质量为m 1的均质圆盘A 放在水平面上，如图12-30所示。

绳子的一端系在圆盘中心A ，另一端绕过均质滑轮C 后挂有重物B 。

已知滑轮C 的半径为r ，质量为m 2；重物B 质量为m 3。

绳子不可伸长，不计质量。

圆盘作纯滚动，不计滚动摩擦。

系统从静止开始运动，试求重物B 下落的距离为h 时，圆盘中心的速度和加速度。

图12-3001k =E23222212k 21))(21(2143v m r v r m v m E ++=2321)23(41v m m m ++=gh m W 3=∑动能定理gh m v m m m 32321)23(41=++ 3213234m m m ghm v ++=3213232m m m gm a ++=12–9 图12-31所示链条传运机，链条与水平线的夹角为θ，在链轮B 上作用一力偶矩为M 的力偶，传运机从静止开始运动。

已知被提升重物A 的质量为m 1，链轮B 、C 的半径均为r ，质量均为m 2，且可看成均质圆柱。

试求传运机链条的速度，以其位移s 表示。

不计链条的质量。

图12-3101k =E2))(21(2121222212k ⨯+=r vr m v m E221)(21v m m +=rs gr m M gr m M W )sin (sin 11θθϕϕ-=-=∑ 动能定理rs gr m M v m m )sin ()(211221θ-=+)()sin (2211m m r s gr m M v +-=θ )(sin 211m m r gr m M a +-=θ12–10 如图12-32所示，质量为m 1的直杆AB 可以自由地在固定铅垂套管中移动，杆的下端搁在质量为m 2、倾角为θ的光滑的楔块C 上，楔块又放在光滑的水平面上。

由于杆的压力，楔块向水平向右方向运动，因而杆下降，试求两物体的加速度。

图12-32θtan C AB v v =01k =E22212k 2121CAB v m v m E += 2222121tan 21CC v m v m +=θ 2221)tan (21C v m m +=θθtan 1gs m W =∑动能定理θθtan )tan (2112221gs m v m m C =+2211tan tan m m g m a C +=θθ22121tan tan tan m m g m a a C AB+==θθθ12–11 如图12-33所示，均质细杆长为l ，质量为m 1，上端B 靠在光滑的墙下，下端A 用铰链与圆柱的中心相连。

圆柱质量为m 2，半径为R ，放在粗糙的地面上，自图示位置由静止开始滚动而不滑动。

如杆与水平线的夹角θ=45°，不计滚动摩擦，试求A 点在初瞬时的加速度。

图12-33分析任意位置 01k =Eθωsin l v A AB = θωsin 22AAB C v lv ==22121222k )sin )(121(21)sin 2(2143θθl v l m v m v m E A A A ++=θ22122sin 643A A v m v m += 2212)9sin 2(121Av m m +=θ )sin 45(sin 21θ-︒=∑glm W动能定理)sin 45(sin 2)9sin 2(12112212θθ-︒=+gl m v m m A 对时间求导，注意 ABωθ-=θθθθθθcos 2)sin cos 2(612)9sin 2(1211321212 gl m v m a v m m A A A -=-++ θθθθθθcos sin 2)sin sin cos 2(61)9sin 2(611321212l v gl m l v v m a v m m A A A A A ⨯=⨯++ θθθθcot 2)sin cos (31)9sin 2(611421212g m l v m a m m A A =++ 初瞬时(︒=45θ)， v A =0故2)94(61121g m a m m A =+ 211943m m gm a A +=12–12 如图12-34所示，绳索的一端E 固定，绕过动滑轮D 与定滑轮C 后，另一端与重物B 连接。

已知重物A 和B 的质量均为m 1；滑轮C 和D 的质量均为m 2，且均为均质圆盘，重物B 与水平面间的动摩擦因数为μ。

如重物A 开始时向下的速度为v 0，试求重物A 下落多大距离时，其速度将增加一倍？图12-3420120222022011k )2(21)2)(21(214321v m r v r m v m v m E +++= 20214710v m m +=1k 2k 4E E =gh m m h g m gh m gh m W ])21([221121+-=⨯-+=∑μμ动能定理gh m m E ])21([3211k +-=μ gh m m v m m ])21([4)710(3212021+-=+μ ])21([4)710(3212120m m g m m v h +-+=μ12–13 如图12-35所示，均质直杆AB 重100N ，长AB =200mm ，两端分别用铰链与滑块A 、B 连接，滑块A 与一刚度系数为k =2N/mm 的弹簧相连，杆与水平线的夹角为β，当β=0o时弹簧为原长。

摩擦与滑块A 、B 的质量均不计。

试求：（1）杆自β=0°处无初速地释放时，弹簧的最大伸长量。

（2）杆在β=60°处无初速地释放时，在β=30°时杆的角速度。

图12-35(1) 01k =E 02k =E)0(222max maxδδ-+=∑k GW 动能定理 0222max max =-δδk Gmm 502100max ===k G δ(2) 01k =Eω2l v C =222222k 61)121(2121ωωml ml mv E C =+=])30sin ()60sin [(2)30cos 60(cos 222︒-︒+︒-︒=∑l l kl mg W24431l kmgl +-=动能定理 222443161l k mgl ml +-=ω mkl g 464)31(6+-=ω)31(23mg kl l g +-= )100200231(2.028.93⨯+-⨯⨯= rad/s 50.1519.240==12–14 在图12-36所示的系统中，物块M 和滑轮A 、B 的质量均为m ，且滑轮可视为均质圆盘，弹簧的刚度系数为k ，不计轴承摩擦，绳与轮之间无滑动。