全国卷-数学本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|10}2101,{}A x x B =->=--，，，，则A ．{21}--，B ．{2}-C ．{101}-，，D ．{01}， 2．设复数1z i =-+（i 是虚数单位），z 的共轭复数为z ，则11zz+=- A ．1255i +B ．1255i -+ C ．1255i - D ．1255i -- 3．若1sin()43πα-=，(0,)2πα∈，则cos α的值为 A ．426- B ．426+ C ．718D ．23 4．已知双曲线22221y x a b-=(0,0)a b >>的一个焦点为(0,2)F -，一条渐近线的斜率为3，则该双曲线的方程为A ． 1322=-y xB ．1322=-y x C. 1322=-x y D ．1322=-x y 5．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．356 B ．5683π-C ．364D ．6483π-6．中国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果=nA ．2B ．3C ．4D ．57．已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面垂直，12AA =，AB AC ==2BC =，则三棱柱111C B A ABC -外接球的表面积为A ．π4B ．π6C ．π8D ．π12 8．函数1()ln ||1xf x x-=+的大致图像为A俯视图正视图侧视图9．已知 151x e dxn e =-⎰，其中 2.718e =…，e 为自然对数的底数，则在4(2)n x x--的展开式中2x 的系数是 A ．240B ．80C ．80-D ．240-10．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+>||<的最小正周期为4π，且其图像向右平移23π个单位后得到的图像关于y 轴对称，则ϕ= A ．6π- B ．3π- C ．6π D ．3π11．已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>的对称轴与准线的交点，过点A 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,P Q ，若APQ ∆的面积为4，则p 的值为 A ．12 B ．1 C ．32D ．2 12．若函数()xe f x （ 2.718e =，e 为自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质．给出下列函数：①()ln f x x =；②2()1f x x =+； ③()sin f x x =；④3()f x x =．以上函数中具有M 性质的个数为A ． 1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．已知向量(4,2)a =，向量(2,1)b k k =--，若||||a b a b +=-，则k 的值为 ；14．已知实数y x ,满足110x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22x y x ++的最小值为 ；15．已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，在[4,4]-上随机地取一个数x ，则事件“不等式(1)(1)f x f -≥”发生的概率是 ； 16．如图所示，在四边形ABCD 中，2AB BC ==，23ABC π∠=，6ADB π∠=，则CD 的取值范围为 ．ABDC三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知等差数列{}n a 的公差为2，等比数列{}n b 的公比为2，且nn n n b a 2⋅=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令231log n n n c a b +=⋅，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 与38的大小．18．（12分）如图，圆柱H 横放在底面边长为1的正六棱锥ABCDEF P -的顶点P 上，1O 和2O 分别是圆柱左和右两个底面的圆心，正六棱锥ABCDEF P -底面中心为O ，1PO =，N M 、分别是圆柱H 的底面1O 的最高点和最低点，G 是圆柱H 的底面2O 的最低点，P 为NG 中点，点P G D O A N O M 、、、、、、、1共面，点D P O 、、1共线，四边形ADGN 为矩形． （1）证明：//MG 平面PCD ； （2）求二面角M CD A --大小． 注：正棱锥就是底面是一个正多边形， 顶点在底面上的正投影为底面的中心的棱锥．19．（12分）某校高三年级的500名学生参加了一次数学测试，已知这500名学生的成绩全部介于60分到140分之间（满分150分），为统计学生的这次考试情况，从这500名学生中随机抽取50名学生的考试成绩作为样本进行统计．将这50名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组[60,70)，第二组[70,80)，第三组[80,90)，……，第八组[130,140]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分． （1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；BM（2）估计该校高三年级的这500名学生的这次考试成绩的中 位数；（3）若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机 抽取2名，记这2名学生 中属于第一组的人数为ξ，令21ηξ=+，求ξ的分布 列及期望()E η．20．（12分）已知O 为坐标原点，点B A 、在椭圆12:22=+y x C 上，点3030(,)510E - 在圆)0(:222>=+r r y x D 上，AB 的中点为Q ，满足O E Q 、、三点共线．（1）求直线AB 的斜率；（2）若直线AB 与圆D 相交于N M 、两点，记OAB ∆的面积为1S ，OMN ∆的面积为2S ，求12S S S =+的最大值．21．（12分）已知函数2()x x xf x ae ae xe =--（0a ≥， 2.718e =，e 为自然对数的底数），若0)(≥x f 对于R x ∈恒成立． （1）求实数a 的值；（2）证明：)(x f 存在唯一极大值点0x ，且02ln 211()244f x e e +≤<．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修44-：坐标系与参数方程（10分） 已知曲线12cos :sin 1x t C y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，24cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，在以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线3:(R)4C πθρ=∈.（1）求曲线12,C C 的普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若2C 上的点P 对应的参数2πα=，Q 为1C 上的点，求PQ 的中点M 到直线3C 距离d 的最小值．23．选修45-：不等式选讲（10分）设函数()|1||21|f x x x =-+-． （1）解不等式()34f x x >-；（2）若2()|1|65f x x m m +-≥-对一切实数x 都成立，求m 的取值范围．2018年高三统一质量检测数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． C C A C D C C B B A D B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14．4 15．1416．(0,4] 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答． （一）必考题：共60分． 17. （本题满分12分） 解：（1）2n n n a b n =⋅,112228a b a b =⎧∴⎨=⎩11112(2)28a b a b =⎧⇒⎨+⋅=⎩解之得:1211==b a ， ………………………………………………………………………4分 所以22(1)2n a n n =+-=…………………………………………………………………5分12n n b -=………………………………………………………………………………………6分（2）2n a n =，12n n b -=∴2311111()log 2(2)42n n n c a b n n n n +===-⋅++ ………………………………………8分123451n n n T c c c c c c c -=+++++++111111111111[(1)()()()()()]43243546112n n n n =-+-+-+-++-+--++ 1111(1)4212n n =+--++ 31113()84128n n =-+<++ 38n T ∴< ……………………………………………………………………………………12分18．（本题满分12分）（1）证明：因为P 为NG 中点，1O 为MN 中点，所以MG PO //1，…………………1分 又因为D P O 、、1共线，所以MG PD //，………………………………………………3分PD ⊂面PCD ，MG ⊄面PCD ，所以//MG 平面PCD ………………………………………………………………………5分（2）O 正六棱锥ABCDEF P -底面中心，PO ∴⊥底面ABCDEF取BC 中点W ，连接OW ,AD ，则OW AD ⊥．分别以OP OW OA 、、为z y x 、、轴建立空间直角坐标系xyz O -. …………………6分P 为NG 中点, 四边形ADGN 为矩形，O 为AD 的中点，1PO =， //NA PO ∴，1NA PO ==，从而NA ⊥底面ABCDEF ，N M 、分别是圆柱H 的底面1O 的最高点和最低点，∴1O N ⊥底面ABCDEF ，从而1,,,M O N A 共线正六棱锥ABCDEF P -的底面边长为1，2AD ∴=， 四边形ADGN 为矩形，//NG AD ，且2NG AD ==P 为NG 中点，//NP AD ，且112NP AD == ∴在AD O 1∆中，NP 为AD O 1∆的中位线，从而N 为A O 1中点，所以11O N AN ==…………………………………………………………………………7分 故)3,0,1(M ,)0,23,21(-C ,)0,0,1(-D1(2DC =，(2,0,3)DM =-设平面MCD 的法向量为),,(z y x m =由0020230x m DC m DM x z ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩+=⎩令1x =，则3y =-，23z =- 所以)32,33,1(--=m ……………………………………………………………………10分 平面ABCDEF 的法向量为)1,0,0(==OP n ， 设二面角MCD A --的平面角为θ，则1cos cos()cos 2||||m n m n m n m n θπ⋅=-<⋅>=-<⋅>=-=⋅，因此3πθ=…………………………………………………………………………………12分19．（本题满分12分）解：（1）由频率分布直方图知第七组的频率71(0.0040.0120.0160.030.020.0060.004)100.08f =-++++++⨯=.…………2分直方图如图． …………………………3分 （2）成绩落在第一组的频率为0.004100.04⨯=；成绩落在第二组的频率为0.012100.12⨯=；成绩落在第三组的频率为0.016100.16⨯=；成绩落在第四组的频率为0.03100.3⨯=； 由于0.040.120.160.320.5++=<；0.040.120.160.30.620.5+++=>设该校的500名学生这次考试成绩的中位数为x ，则90100x <<……………………………………………………………………5分∴0.040.120.160.03(90)0.5x +++⨯-=，96x =……………………………………7分 （3）第六组有学生：500.006103⨯⨯=人；第一组有学生：500.004102⨯⨯=人．ξ可能的取值为0，1，223253(0)10C P C ξ===，1132253(1)5C C P C ξ===，22251(2)10C P C ξ===∴ξ的分布列为ξ 012P31035110…………………………………………10分3314()012105105E ξ=⨯+⨯+⨯= 21ηξ=+，413()2()12155E E ηξ∴=+=⨯+=……………………………………12分 20．（本题满分12分）解：（1）设),(),,(2211y x B y x A ,AB 的中点00(,)Q x y 点B A 、在椭圆C 上221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩⇒12121212()()()()02x x x x y y y y -++-+=∴12121212()2()AB y y x x k x x y y -+==--+121200,22x x y y x y ++==，002AB x k y ∴=- …………………………………………3分30(510E -，12OE k ∴=- 又因为O E Q 、、三点共线12OQ OE y k k x ∴==-=，所以1200=-=y x k AB …………………………………………5分（2）点(E 在圆D 上2223(2r ∴=+= ∴圆D 的方程为2232x y +=………………………………………………………………6分 设直线AB 的方程：m x y +=，2212y x m x y =+⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩0224322=-++m mx x 由0∆>得32<m所以21212422,33m m x x x x -+=-= 则2212213344)(2m x x x x AB -=-+⨯=…………………………………………8分 设O 到直线AB 的距离为d ，2m d =， …………………………………………………9分22322222m d r MN -=-=∴ (10)分∴121111||||2222S S S AB d MN d =+=⋅+⋅=⨯3||6m +===∴当2332m =<时，即2m =±时，max 333624S ++=⨯=………………12分21．（本题满分12分）解：（1）由()()0x x f x e ae a x =--≥可得：0)(≥--=x a ae x g x…………………1分 因为0)0(=g ，所以)0()(g x g ≥,从而0x =是()g x 的一个极小值点，由于1)(-='xae x g ,所以(0)10g a '=-=⇒1=a ……………………………………4分 当1=a 时,，x e x g x --=1)(1)(-='x e x g , (,0),()0,()x g x g x '∈-∞<在(,0)-∞上单调递减；(0),()0,()x g x g x '∈+∞>，在(0)+∞，上单调递增；∴0)0()(=≥g x g ，故1=a ………………………………………………………………5分（2）当1=a 时，,)(2x x x xe e ex f --=)22()(--='x e e x f x x . 令()22x h x e x =--，则()21x h x e '=-(,ln 2),()0x h x '∈-∞-<，()h x 在(,ln 2)-∞-上为减函数；(ln 2,),()0x h x '∈-+∞>，()h x 在(ln 2,)-+∞上为增函数由于0)2(,0)1(>-<-h h ,所以在(2,1)--上存在0x x =满足0)(0=x h()h x 在(,ln 2)-∞-上为减函数，∴0,)x x ∈-∞（时，()0h x >，即()0f x '>，()f x 在0,)x -∞（上为增函数；0,ln 2)x x ∈-（时，()0h x <，即()0f x '<，()f x 在0,ln 2)x -（上为减函数 因此)(x f 在(,ln 2)-∞-上只有一个极大值点0x ， ……………………………………7分 由于(0)0h =，且()h x 在(ln 2,)-+∞上为增函数∴ln 2,0)x ∈-（时，()0h x <，即()0f x '<，()f x 在0,)x -∞（上为减函数； 0,)x ∈+∞（时，()0h x >，即()0f x '>，()f x 在0,)+∞（上为增函数因此)(x f 在(ln 2,)-+∞上只有一个极小值点0，综上可知：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且0(2,1)x ∈--………………………………8 分0()0h x =，00220x e x ∴--= 所以0002220000000222()()()(1)224x x x x x x x f x e e x e x +++=--=-+=-，0(2,1)x ∈--，(2,1)x ∈--时，22144x x +-<，∴41)(0<x f ；……………………………………10分1ln(2,1)2e ∈--，∴021ln 21()(ln )224f x f e e e≥=+； 综上知：02ln 211()244f x e e +≤<…………………………………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程解：（1）由题曲线1C 的普通方程为22(2)(1)1x y -++= ∴1C 是以(2,1)-为圆心，半径为1的圆 ………………………………………………2分曲线2C 的普通方程为22116x y += ∴2C 是以原点为中心，焦点在x 轴上长轴为8短轴为2的椭圆………………………4分（2）当2πα=时，P 点坐标为(0,1)………………………………………………………5分设(2cos ,sin 1)Q t t +-，所以PQ 中点M 的坐标为2cos sin (,)22t t + 又直线3C 的直角坐标方程为y x =………………………………………………………6分2cos sin |||2)|t t t d π+--∴===∴当sin()14t π-=时，d ……………………………………………10分 23．（本题满分10分）选修45-：不等式选讲解：（1）由()34f x x >-可得：|1||21|34x x x -+->- ①当12x ≤时，原不等式可化为(1)(21)34x x x ---->-，………………………1分 解得：1x >，∴不等式无解； ②当112x <≤时，原不等式可化为(1)2134x x x --+->- 解得：35x >，∴不等式解为315x <≤……………………………………………3分 ③当1x >时，原不等式可化为(1)2134x x x -+->- 解得：57x >，∴不等式解为1x >…………………………………………………4分 综上，原不等式解集为3{|}5x x >………………………………………………………5分 （2）令()()|1|g x f x x =+-为使2()|1|65f x x m m +-≥-对一切实数x 都成立必须有2min ()65g x m m ≥-……………………………………………………………6分 ()()|1|2|1||21|g x f x x x x =+-=-+-|22||12|x x =-+-|2212|1x x ≥-+-= …………………………………8分 2651m m ∴-≤ 解得：116m -≤≤ ……………………………………………………………………10分。