模块综合检测卷(一)(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(每小题共12个小题，每小题共5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知集合M ＝{x |x 2<4}，N ＝{x |x 2－2x －3<0}，则集合M ∩N 等于( )A ．{x |x <－2}B ．{x |x >3}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |2<x <3}解析：M ＝{x |－2<x <2}，N ＝{x |－1<x <3}， 故M ∩N ＝{x |－1<x <2}． 答案：C2．某人投资10 000万元，如果年收益利率是5%，按复利计算，5年后能收回本利和为( )A ．10 000×(1＋5×5%)B ．10 000×(1＋5%)5C ．10 000×1.05×（1－1.054）1－1.05D ．10 000×1.05×（1－1.055）1－1.05解析：注意与每年投入10 000万元区别开来． 答案：B3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝ 30°，c ＝5，a ＝8，则cos A 等于( )A.35 B ．±35 C ．－35 D.45解析：由正弦定理得5sin 30°＝8sin A ，所以sin A ＝45.又a ＝8>c ＝5，所以A >30°.所以cos A ＝±35，故选B.答案：B4．若a <b <0，d >c >0，则不等式①ad >bc ；②c a >cb ；③a 2>b 2；④a －d <b －c 中正确的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：①错，②③④正确．将a <b <0转化为－a >－b >0，可得(－ad )>(－bc )，即ad <bc ，故知①错；由a <b <0⇒1a >1b ，c >0，故②正确；因为函数y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，故③正确；由d >c >0，得－d <－c <0，故知a －d <b －c ，故④正确．答案：C5．设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y )＝1，下列结论中正确的是( ) A ．x ＋y ≥22＋2 B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥22＋2解析：因为1＋x ＋y ＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，所以(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0，即x ＋y ≥2(1＋2)(当x ＝y ＝1＋2时等号成立)，x ＋y 的最小值为2(1＋2)．答案：A6．数列{a n }的通项公式为a n ＝n cosn π2，其前n 项和为S n ，则S 2 015等于()A ．1 006B ．1 008C ．－1 006D ．－1 008 解析：由a n ＝n cosn π2可得 S 2 015＝1×0－2×1＋3×0＋4×1＋…－2 014×1＋2 015×0＝－2＋4－6＋…－2 010＋2 012－2 014＝2×503－2 014＝－1 008.答案：D7．已知方程x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋5＝0有两个正实根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－4]C ．(－5，＋∞)D ．(－5，－4]解析：方程两根为正，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－（m ＋2）>0，⇒－5<m ≤－4m ＋5>0.答案：D8．已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，172 B.⎝⎛⎭⎪⎫－72，112 C.⎝⎛⎭⎪⎫－72，132D.⎝⎛⎭⎪⎫－92，132 解析：用待定系数法可得 2a ＋3b ＝52(a ＋b )－12(a －b )，由⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＋b ＜3，2＜a －b ＜4⇒⎩⎪⎨⎪⎧－52＜52（a ＋b ）＜152，－2＜－12（a －b ）＜－1.两式相加即得－92＜2a ＋3b ＜132.答案：D9．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0， 即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0，得a 2＋b 2－c 22ab ＝12，即cos C ＝12，所以C ＝π3.答案：B10．已知x ＝a ＋1a －2(a >2)，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2(b <0)，则x 、y 之间的大小关系是( )A ．x >yB ．x <yC ．x ＝yD ．不能确定解析：x ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥4(a >2)，当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时取“＝”． y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2.因为b <0，所以b 2－2>－2.所以y <4.所以x >y . 答案：A11．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A．0 B.98C．2 D.94解析：因为x2－3xy＋4y2－z＝0，所以z＝x2－3xy＋4y2，又x，y，z为正实数，所以zxy＝xy＋4yx－3≥2xy·4yx－3＝1(当且仅当x＝2y时取“＝”)，即x＝2y(y＞0)，所以x＋2y－z＝2y＋2y－(x2－3xy＋4y2)＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.所以x＋2y－z的最大值为2.答案：C12．在△ABC中，若三边a，b，c的倒数成等差数列，则边b所对的角为()A．锐角B．直角C．钝角D．不能确定解析：因为2b＝1a＋1c≥21ac，所以b2≤ac.所以cos B＝a2＋c2－b22ac≥a2＋c2－ac2ac≥ac2ac＝12.所以B为锐角．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin2B ＋sin2C－sin2A＋sin B sin C＝0，则tan A的值是______．解析：依题意及正弦定理可得，b2＋c2－a2＝－bc，则由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，又0<A<π，所以A＝2π3，tan A＝tan 2π3＝－ 3.答案：－314．观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…，照此规律，第n 个等式可为_______________．解析：当n 为偶数时，(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n （n ＋1）2；当n 为奇数时，(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－（n －1）n 2＋n 2＝n （n ＋1）2.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n （n ＋1）215．(2015·课标全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：在平面直角坐标系中画出可行域如图中阴影部分所示，易得在点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，12处z 取得最大值，且z max ＝32.答案：3216．在R 上，定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则a 的取值范围是______．解析：(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝(x －a )·(1－x －a )． 则(x －a )⊗(x ＋a )<1⇒(x －a )(1－x －a )<1.又(x －a )(1－x －a )<1对x ∈R 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对x ∈R 恒成立，所以Δ＝1－4(1＋a －a 2)<0，即4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32三、解答题(本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，BC ＝7，AB ＝3，且sin Csin B ＝35. (1)求AC ； (2)求角A .解：(1)由正弦定理，得AC sin B ＝ABsin C .所以AB AC ＝sin C sin B ＝35. 所以AC ＝AB ·sin B sin C ＝5×33＝5.(2)由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋25－492×3×5＝－12.又0°<A <180°， 所以A ＝120°.18．(本小题满分12分)若a <1，解关于x 的不等式axx －2>1. 解：不等式axx －2>1可化为（a －1）x ＋2x －2>0. 因为a <1，所以a －1<0.故原不等式可化为x －21－ax －2<0.故当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2<x <21－a .当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪21－a <x <2. 当a ＝0时，原不等式的解集为∅.19．(本小题满分12分)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知13S 3，14S 4的等比中项为15S 5；13S 3，14S 4的等差中项为1，求数列{a n }的通项公式．解：设等差数列{a n }的首项a 1＝a ，公差为d ，则S n ＝na ＋n （n －1）2d ，依题意，有 ⎩⎨⎧13⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3×22d ×14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋4×32d ＝125⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ＋5×42d 2，13⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3×22d ＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋4×32d ＝1×2，整理得⎩⎨⎧3ad ＋5d 2＝0，2a ＋52d ＝2.所以a ＝1，d ＝0或a ＝4，d ＝－125. 所以a n ＝1或a n ＝325－125n ， 经检验，a n ＝1和a n ＝325－125n 均合题意．所以所求等差数列的通项公式为a n ＝1或a n ＝325－125n .20．(本小题满分12分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物、42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解：法一：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.z 在可行域的四个顶点A (9，0)，B (4，3)，C (2，5)，D (0，8)处的值分别是z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，z B 最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．法二：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出可行域如下图所示．让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移，由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4，3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．21．(本小题满分12分)如右图所示，某观测站C 在城A 南偏西20°的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A 城？解：根据题意，可得下图，其中BC＝31千米，BD＝20千米，CD＝21千米，∠CAD＝60°.设∠ACD＝α，∠CDB＝β.在△CDB中，由余弦定理得：cos β＝CD2＋BD2－BC22CD·BD＝212＋202－3122×21×20＝－17，sinβ＝1－cos2β＝43 7.sin α＝sin(180°－∠CAD－∠CDA)＝sin(180°－60°－180°＋β)＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－cos βsin 60°＝437×12＋17×32＝53 14.在△ACD中，由正弦定理得：AD＝CDsin A·sin α＝21sin 60°×5314＝15.此人还得走15千米到达A城．22．(本小题满分12分)数列{a n}中，a1＝8，a4＝2且满足a n＋2＝2a n＋1－a n，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求S n；(3)设b n ＝1n （12－a n ）(n ∈N *)，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n (n ∈N *)，是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *，均有T n ＞m 32成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ⇒a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，可知{a n }成等差数列，d ＝a 4－a 14－1＝－2， 所以a n ＝8＋(n －1)·(－2)＝10－2n (n ∈N *)．(2)由a n ＝10－2n ≥0得n ≤5，所以当n ≤5时，S n ＝－n 2＋9n .当n ＞5时， S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝n 2－9n ＋40.故S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋9n ，1≤n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥5. (3)因为b n ＝1n （12－a n ）＝1n （2n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋ ⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝n 2（n ＋1）＞n －12n＝T n－1＞T n－2＞ (1)所以要使T n＞m32总成立，需m32＜T1＝14恒成立，即m＜8(m∈Z)．故适合条件的m的最大值为7.。