立方晶系的晶体可以有简单立方（P）、面心立方（F）和 体心立方（I）三种点阵型式，其中面心立方和体心立方的单 胞为复单胞，分别包含了4个和2个点阵点。
7种晶系共有14 种空间点阵型式，图 3.2如左。
3.2 确定晶体结构的方法
晶体结构的基本要素是点阵和基本结构单元。目前， 确定晶体结构主要利用衍射方法，包括X射线衍射、中子 衍射和电子衍射。
不对称单位中的结构基元与点阵点包含的基本结构单元 不同。点阵点代表的体积可以用VA=Vuc/n表示，因此，点阵 点的基本结构单元可能包含一定数目的不对称结构基元。
在实际工作中，常用不对称单元的结构基元描述晶体结 构的基本特征。
• 国际空间群表列出了空间群中的对称操作集合（ sysmmetry operations）。Fm-3m空间群共有192种对称 操作，利用这些对称操作可以产生空间群的等效点系。
划分空间点阵单胞的平行六面体可以有任意种方式 ，根据约定，单胞所具有的对称性应该与晶格点阵的对称 性一致，同时要求单胞体积应尽可能小。
以NaCl 晶体为例，来说明晶胞选取的基本原则。 NaCl具有面心立方结构，在立方单胞中有4个Na原子和4个 Cl原子。如图3.1 a给出了一个单胞的结构。沿3个相互垂 直的基轴分别进行平移操作，可以在三维空间中得到整个 面心立方结构。
Fm-3m表示这是一个面心格子，属于立方晶系，在c方向 上分别有四重轴和镜面。在a+b+c方向上有三重反轴，在a+b方 向上存在有二重轴和镜面等。
国际表还标明了Shönflies（熊夫利）符号（O5h）、所属 点群（m-3m）、晶系（cubic）、空间群序号（No.225）和 Patterson符号（Fm-3m）。
• 等效点系是空间群的对称操作作用于空间某一点（或坐 标）而产生的一组对称性关联的空间点（或坐标）。对 称操作可以用矩阵表示。
例如，Fm-3m空间群共有192个对称操作，一般等效 点位置的多重度是192。如果选取的初始点位于某种对称 元素上，那么这种对称操作作用在这一点时，只能重复自 身，并不能产生新的等效点。
表3.2C 晶体学国际表中的空间 群Fm-3m
• Fm-3m空间群有12组等效点系，等效点系(上表3.2C)的第 一列数目表示等点效点系的多重度。一般等效点的多重度 等于空间群对称操作数目。特殊等效点的多重度等于空间 群对称操作数目除以通过该点的对称操作的阶的乘积。
• 第二列的字母是等效点系的符号，按对称性从高到低的顺 序排列。
本章重点是分析一些典型的结构类型。
满足平移对称操作的结晶学点群只有32种。从32种 点群所包含的对称操作类型出发，可以进一步把晶体分成 7个晶系。
人们将立方晶系称作高级晶系，六方、四方和三方 晶系称作中级晶系，而把正交、单斜和三斜晶系称作低级 晶系。
表3.1 7个晶系的特征对称元素和晶胞类型
在晶体中，原子或分子按一定周期排列。晶体的这 种周期特征可以用晶格点阵（平移对称性）来描述。在三 维晶格点阵中，每个点阵点都代表结构中最小的重复单位 ，称作基本结构单元，简称结构单元。晶格点阵和基本结 构单元是构成晶体结构的两个最基本要素。
• 第三列符号表示等效点系的点对称性，即晶体中等效点所 处环境的对称性。
• 最后一列是晶体的衍射条件，即系统消光条件。
表3.3 国际符号中3个位置所代表的方向
空间群的最大不同构子群
国际表还给出了空间群在不同方向上投影的对称性， 即投影所属的二维空间群。
可分为两类最大不同构子群。第一类是平移同构子群 （Ⅰ),这类子群与原空间群具有相同的平移对称操作，但 是子群中的点群对称性降低，这类子群叫做t- 子群（tsubgroup）。
国际表中的不对称单位（asymmetric unit）是指单胞中 的一部分体积，从不对称单位的结构基元出发，利用空间群的 对称操作可以得到单胞中其他部分的结构基元。因此，不对称 单位包含了单胞的全部结构信息。
不对称单位的体积可以表示为：
VA=Vuc/nh Vuc是单胞的体积，n是单胞中的点阵数目，而h则代表空间 群对应的点群的对称操作数目。
第三章 无机材料的晶体结构
本课大纲
• 3.1 晶体结构的对称性 • 3.2 确定晶体结构的方法 • 3.3 空间群 • 3.4 单质和金属间化合物 • 3.5 无机非金属材料的结构
材料的组成和晶体结构是决定材料性质的基 本因素。只有认识材料晶体结构和成键特征，才 能真正理解材料的化学和物理性质的起因。其次 ，随着科技的进步和知识的累积，寻找新材料的 研究也更加具有定向性。
确定晶体结构包含两个步骤：从衍射方向得到晶格点 阵类型和尺寸信息；从衍射强度得到结构基本单元中原子 位置的信息。
3.3 空间群
• 结晶学点群描述了晶体的宏观对称性。平移对称操作不影 响晶体的宏观对称性。但考虑微观结构时，就必须考虑其 平移操作。
• 空间群的简短国际符号为Fm-3m 。符号的第一个大写字 母表示点阵型式，F表明这个空间群属于面心格子。3个 小写字母分别表示在3个方向的对称操作。对于不同的晶 系，这3个位置所代表的方向不同（表3.3）。
另一类子群是保持点对称操作不变，但平移对称性 降低（Ⅱ），这类子群可以进一步分为3种， Ⅱa子群保 持了原有的晶胞； Ⅱb子群的晶胞大于原来的晶胞； Ⅱc 子群与原空间群同构，但细胞改变。
Fm-3m空间群有8种Ⅱa子群和一种 Ⅱc子群，没有 Ⅱb子群。
3.4 单质和金属间化合物
• 3.4.1 • 3.4.2 • 3.4.3 • 3.4.4 • 3.4.5
NaCl面心立方单胞中包含了4个点阵点，分别位于立 方体的顶点和面心位置。如3.1 b是面心立方点阵。
图3.1 NaCl晶体
图b所示的三方格子可以作为NaCl的单胞，这个单胞中只 含有一个点阵点，称作三方素格子。三方格子保留了一个三重 轴，因而并没有保持面心立方点阵所具有的全部对称性。
单胞中只含有一个点阵点的格子称作简单格子（P），在 很多情况下需要有2个及以上的点阵点，才能符合表3.1关于单 胞对