双曲线的定义、方程和性质
执教：钱如平班级：高二(3) 地点：本教室时间：2000．4．6
一、学习目标：
掌握双曲线的定义、方程和性质，注意与椭圆的区别和联系。
二、知识要点：
1．定义
（1）第一定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：
①||PF1|-|PF2||=2a（2a<|F1F2|）是双曲线；
若2a=|F1F2|，轨迹是以F1、F2为端点的射线；2a>|F1F2|时无轨迹。
②设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则|MF1|>|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a；
若M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|，|MF1|-|MF2|=-2a，故|MF1|-|MF2|=±2a，这是与椭圆不同的地方。
（2）第二定义：平面内动点到定点F的距离与到定直线L的距离之比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L叫相应的准线。
3．几个概念
（1）等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。
等轴双曲线的渐近线为y=±x，离心率为2。
（2） 共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴
双曲线，例：12222=-b
y a x 的共轴双曲线是122
22-=-b y a x 。
① 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。
但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共
轴双曲线；②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。
三、 解题方法指导：
例1．设双曲线方程为12
22
=-y x ，则中心坐标为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 ，渐近线方程 ，对称轴方程为 ，实轴方程为 ，共轴双曲线方程为 。
解：中心（0，0），焦点坐标（±3 ，0），顶点坐标（±2 ，0），实轴长为22，虚轴
长为2，离心率为
26，准线方程为332±=x ，准线间距离为3
3
4，渐近线方程为x y 2
2
±
=，对称轴方程x=0，y=0，实轴方程y=0，
（22≤≤-x ），共轴双曲线1222-=-y x ，即12
22
=-x y 。
说明：根据双曲线的方程熟练地写出其性质，是学习双曲线基本要求，也是一项重要基本功，对知识要点中的性质部分要熟记。
例2．设曲线C 的方程为Ax 2+By 2=|（A·B ≠0），则
① C 表示椭圆的充要条件是
②C 表示焦点在X 轴上的椭圆的充要条件是 ③C 表示焦点在Y 轴上的椭圆的充要条件是 ④C 表示双曲线的充要条件是
⑤C 表示焦点在X 轴上的双曲线的充要条件是 ⑥C 表示焦点在Y 轴上的双曲线的充要条件是 ⑦C 表示圆的充要条件是
解：C 的方程可化为)0(1112
2≠=+AB B
y A x 则①C 表示椭圆的充要条件是B 1
A 1
,0B 1
,0A 1
≠>>，即B A ,0B ,0A ≠>>，
②B ＞A ＞0， ③A ＞B ＞0， ④AB ＜0， ⑤A ＞0，B ＜0， ⑥A ＜0，B ＞0， ⑦A ＝B ＞0，
说明：方程Ax 2+By 2=1，可表示圆、椭圆、双曲线，而圆、椭圆、双曲线是有心曲线，故Ax 2+By 2=1表示有心曲线。
例3．求以2x ±3y=0为渐近线，且经过点（1，2）的双曲线方程 解法一，当x=1时，代入渐近线方程x y 3
2
=
，得232y <=。
∴ 点（1，2）一定在2x-3y=0的上方，∴ 双曲线的实轴所在的坐标轴一定是y 轴
可设方程为12222=-b x a y ，其渐近线方程为0,02222=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-a y b x a y b x b x a y
∴
2
3
=a b ∴a b 23= ①
又 ∵（1，2）在双曲线上，∴
11
422=-b
a ② ① 代入② 8,932,14
91422
2
2==∴=-b a a a
∴ 所求双曲线方程为1893222=-x y 解法二：方程4x 2
-9y 2=λ，是所有渐近线方程为032=±y x 的双曲线系方程，即共渐近线
方程，因为（1，2）点适合此方程 ∴ 4-36=λ，∴ λ=-32
∴ 方程为4x 2
-9y 2
=-32，即
189
322
2=-x y 说明：双曲线是具有渐近线的曲线，学习时要注意如下两个问题 （1） 已知双曲线方程，求出它的渐近线方程。
（2） 求已知渐近线的双曲线方程；已知渐近线方程为0=±by ax 时，可设双曲线方程为
a 2x 2-
b 2y 2=)0(≠λλ，再利用其它条件确定入的值，这求法实质上是待定系数法。
例4．设动点P （x ，y ）到定点A （5，0）的距离与它到定直线X=3的距离之比为3，求其轨迹方程。
错解：根据双曲线的第二定义A （5，0）为焦点，∴C=5，又32
=c
a ∴ a 2
=15 b 2=c 2-a 2
=25-15=10 ∴ P 点的轨迹方程为双曲线
110
y 15x 2
2=-
而此双曲线的离心率应为
331515
5≠==a c ∴所以双曲线的中心不在坐标原点。
正确解答：由动点运动的条件可得：
33
)5(2
2=++-x y x 化简后得：2x 2- y 2-8x+2=0
说明：错解错误地按曲线中心为原点得出焦点从标F （C ，0）和准线方程为c
a x 2
=的结论，
四、练习题 （一） 选择题
1．双曲线14
22
=-y x 的离心率e 为（ ） A 、
25 B 、2
3
C 、21
D 、23
2．已知双曲线以椭圆19252
2=+y x 的焦点为焦点，且它的离心率为2，则该双曲线的方程。
A 、
141222=+y x B 、112422=-y x C 、127922=-y x D 、19272
2=-y x 3．双曲线的渐近线方程为4
3
±=y ，则它的离心率e 为（ ） A 、35 B 、45 C 、45或35 D 、3
4
（二） 填空题
4．与双曲线
12052
2=-y x 有共同的渐近线，且经过点（15,5-）的双曲线方程 5．双曲线19
42
2
=-x y 的渐近线方程是 6．双曲线
19
252
2=-y x 的两焦点为F 1、F 2，此双曲线上一点P 到F 1的距离为12，则点P 到F 2的距离
7．双曲线116
92
2=-y x 上有一点P 到左准线的距离4.5，则点P 到右焦点的距离为
8．以椭圆x 2+4y 2=64的焦点为顶点，一条渐近线方程为03=+y x 的，双曲线方程
（三） 解答题： 给定双曲线12
2
=-
p
x ，过点B （1，1）能否作直线m ，使m 与所给双曲线交于两点Q 1及Q 2，且点B 是线段Q 1Q 2的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在说明理由。
参考答案
（一） 选择题
（1）A （2）B （3）C （二） 填空题
（4）
1401022=-y x （5）x y 61±= （6）22或者2 （7）13.5 (8)116
482
2=-y x （三） 解答题
解：假设所求的直线m 存在，其方程为y=k （x-1）+1代入双曲线方程整理得：
032)22()2(2222=-+--+-k k x k k x k ①
设Q 1(x 1y 1),Q 2(x 2y 2),则21,x x 必是方程①的两根 即2222
221--=+k k
k x x 若B 是Q 1、Q 2的中点，就有
1221=+x x ，而221=+x x ∴应有22
2222=--k k
k ∴ k 应满足
0)32)(2(4)22(2
2
2
2
≥-+----k k k k k ②
22
222
2=--k k
k ③ 由③⇒k=2代入②得，－8＜0，即k=2不满足 ∴①无解，故这样的直线M 不存在。