立体几何综合大题专题一、线面角1. （2018学年杭十四中4月月考19）如图，三棱柱111ABC A B C -所有的棱长均为2，1A B =1A B AC ⊥．（1）求证：111A C B C ⊥；（2）求直线AC 和平面11ABB A 所成角的余弦值．2. （2018学年浙江名校协作体高三上开学考19）如图，在三棱锥P ABC -中，PAC △和ABC △均为等腰三角形，且90APC BAC ∠=∠=︒，4PA AB ==． （1）判断AB PC ⊥是否成立，并给出证明； （2）求直线PB 与平面ABC 所成角的正弦值．3. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考19）四棱锥P ABCD -的底面为菱形，4AB =，60ABC ∠=︒， M 为PB 的中点，N 为BD 上一点，且13BN ND =．C 1B 1A 1CBABCPA（1）求证：MN 平面PAC ；（2）求证：PN ⊥平面ABCD ；（3）若5PA PC ==，PB =PN 与平面PCD 所成角的正弦值．4. （2018学年浙江重点中学高三上期末热身联考19）如图，等腰直角ABC △中，B ∠是直角，平面ABEF ⊥平面ABC ，2AF AB BE ==，60FAB ∠=︒，AFBE ．（1）求证：BC BF ⊥；（2）求直线BF 与平面CEF 所成角的正弦值．5. （2019届超级全能生2月模拟19）如图，在三棱锥P ABC -中，2BAC π∠=，2AC =，BC BP ==，PC =，APC △的面积等于（1）求证：AC PB ⊥；PNMDCB A BCEFA（2）求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值．6. （2019届杭二仿真考19）如图，矩形ADFE 和梯形ABCD 所在平面互相垂直，AB CD ∥，90ABC ADB ∠=∠=︒，1CD =，2BC =． （1）求证：BE ∥平面DCF ；（2）当AE 的长为何值时，直线AD 与平面BCE 所成角的大小为45︒．7. （2019届湖丽衢9月质检19）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，且ADBC ，BC CD ⊥，60ABC ∠=︒，22BC AD ==，3PC =，PAB △是正三角形，E 是PC 的中点．（1）求证：DE平面PAB ；（2）求直线BE 与平面PAB 所成角的正弦值．PBCAFEDC BA8. （2019届湖州三校4月模拟19）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且DE =，平面ABCD ⊥平面ADE ，二面角A CD E --为30︒．（1）求证：AE ⊥平面CDE ；（2）求AB 与平面BCE 所成角的正弦值．9. （2019届湖州中学仿真考19）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为边长为2的菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点，PA AB =． （1）证明：AE PD ⊥；（2）若F 为PD 上的动点，求EF 与平面PAD 所成最大角的正切值．PBCD E AEDCBA10. （2019届稽阳联谊4月模拟19）在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，BC AD ∥，BC AB ⊥，2PB AD ==，1AB BC ==，E 为棱PD 上的点．（1）若13PE PD =，求证：PB ∥平面ACE ；（2）若E 是PD 的中点，求直线PB 与平面ACE 所成角的正弦值．11. （2019届嘉丽4月模拟19）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，点E ，F 分别是线段DC ，BC的中点，分别将DAE △沿AE 折起，CEF △沿EF 折起，使得D ，C 重合于点G ，连结AF ． （1）求证：平面GEF ⊥平面GAF ；（2）求直线GF 与平面GAE 所成角的正弦值．FEDCBAEDCBA P12. （2019届嘉兴9月基础测试20）如图，ABC △时候边长为2的正三角形，ABD △是以AB 为斜边的等腰直角三角形．已知2CD =． （1）求证：平面ABC ⊥平面ABD ；（2）求直线AC 与平面BCD 所成角的正弦值．13. （2019届金华十校4月模拟20）在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，BC CD ⊥，1SC SD CD DA ====，2CB =，AD BC ∥，23SCB π∠=，E 为线段SB 上的中点． （1）证明：AE ∥平面SCD ；（2）求直线AE 与平面SBC 所成角的余弦值．14. （2019届金华一中5月模拟19）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，2AB =，1PA =，PA ABCD ⊥平面，E 是直线PC 的中点，F 是直线AB 的中点．（1）求证：BE ∥平面PDF ；（2）求直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值．FED CBABCDA SEDC BA15. （2019届金丽衢十二校第二次联考19）三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BCC B ，已知1BC =，1=3BCC π∠，12AB C C ==．（1）求证：1C B ⊥平面ABC ；（2）若E 在棱1C C (不包含端点1C C ，)上，且1EA EB ⊥，求1A E 与平面1AB E 所成角的正弦值．16. （2019届金丽衢十二校第一次联考19）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==，点M 、E 分别是PA ，PD 的中点．（1）求证：CE平面BM D ；（2）点Q 为线段BP 中点，求直线PA 与平面CEQ 为所成角的余弦值．FE DCBAPBCEA 1B 1C 1A17. （2019届临海新昌乐清4月模拟19）已知多面体ABCDE 中，AE 、CD 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，2AE CD =，AB BC CD ==，F 是BE 的中点． （1）求证：DF ∥平面ABC ；（2）求直线BD 与平面ABE 所成角的正弦值．18. （2019届宁波4月模拟19）中国古代数学经典《数书九章》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．在如图所示的阳马P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==，AB =AC 的中点O 为球心，AC 为直径的球面交PD 于M （异于点D ），交PC 于N （异于点C ）．（1）证明：平面AM PCD ⊥，并判断四面体MCDA 是否是鳖臑，若是，写出它每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（2）求直线ON 与平面ACM 所成角的正弦值．QEM PDCBABCDEFA19. （2019届宁波十校5月模拟19）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，3ABC π∠=，11B BA B BC ∠=∠，16B BD π=，1122AB A B ==，12B B =，E 是CD 的中点．（1）求证：直线AC ⊥平面11BDD B ；（2）求直线1ED 与平面11ABB A 所成角的正弦值．20. （2019届平湖5月模拟19）如图所示，在直角梯形ABCD 中，90ADC ∠=︒，CD AB ∥，4AB =，2AD CD ==，M 为线段AB 的中点，将ADC △沿AC 折起，得到几何体P ABC -． （1）求证：AC PM ⊥；（2）已知PM PB 与平面APC 所成角的正弦值．DB 1C 1D 1A 1ODCBA21. （2019届七彩阳光联盟第三次联考19）如图，在四棱锥P ABCD -中，BC ⊥平面PCD ，CD ∥AB ，22AB CD ==，BC PC ==PD AB ⊥． （1）求PD 的长；（2）求直线AD 与平面PAB 所成角的正弦值．22. （2019届七彩阳光联盟第一次联考19）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，且侧面PAD ⊥平面PBC ，侧面PAD平面=PBC l ，PDC △为正三角形，2CD =．（1）求证：lBC ；（2）求直线AB 与平面PAD 所成角的正弦值．23. （2019届衢州二中第二次模拟19）如图，正方形ABCD 所在平面外一点P 满足PE PF =，其中E 、F分别是AB 、CD 的中点． （1）求证：EF PC ⊥；MAPC BPDCBABCDPA（2）若4AB =，PE PF ==且二面角P EF C --，求BC 与平面PEF 所成角的正弦值．24. （2019届衢州二中第一次模拟20）如图，已知矩形BCDE 所在平面与ABE △所在平面互相垂直，且AB AE ⊥，AB AE >．（1）若M 为AC 的中点，N 为BE 的中点，求证：MN ∥平面ADE ； （2）若2BE =，1DE =，且DE 与平面DAC，求ABE ∠的大小．25. （2019届绍兴3月模拟19）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，且2PA AB ==，3AD =，E 是棱BC 上的动点，F 是线段PE 的中点． （1）求证：PB ⊥平面ADF ；PF ED CBAE（2）若直线DE 与平面ADF 所成角为30︒，求EC 的长．26. （2019届绍兴柯桥区5月模拟19）如图，在RT △ABC 中，90C ∠=︒，2CA =，CB =△ABC 的中位线DE 将△ADE 翻折至A DE '，使得二面角A DE A '--为60︒． （1）求证：A C ED '⊥；（2）求直线BA '与平面A DE '所成角的正弦值．27. （2019届嵊州5月模拟19）如图，已知四棱锥P ABCD -，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，135ADP ∠=︒，AB =，22BC AD ==，2PB PD ==（1）求证：AB PD ⊥；（2）求直线PD 与平面PBC 所成的角的正弦值．BCDPF EAA'ED CBA28. （2019届台州4月模拟19）如图，棱锥P ABCD -的底面是菱形，2AB =，3DAB π∠=，侧面PAB垂直于底面ABCD ，且PAB △是正三角形． （1）求证：PD AB ⊥；（2）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值．29. （2019届温州2月模拟19）在三棱锥D ABC -中，AD DC ⊥，AC CB ⊥，222AB AD DC ===，且平面ABD ⊥平面BCD ，E 为AC 的中点． （1）证明：AD BC ⊥；（2）求直线DE 与平面ABD 所成角的正弦值．30. （2019届温州5月模拟19）如图，四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，AB ∥CD ，90BAD ∠=︒，24AB CD ==，PA CD ⊥，在锐角．．PAD △中，E 是边PD上一点，且3AD PD ED ===（1）求证：PB ∥平面ACE ；（2）当PA 的长为何值时，AC 与平面PCD 所成的角为30︒？P DCBABCDPABCDEA31. （2019届温州8月模拟19）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，12AA AC AB ==，90ABC ∠=︒，侧面11A ABB 为矩形，1=120A AC ∠︒．将111A B C △绕11A C 翻折至121A B C △，使2B 在平面11A ACC 内．（1）求证：1BC 平面121A B B ；（2）求12C B 与平面11A ABB 所成角的正弦值．32. （2019届温州九校第一次联考19）如图，将矩形ABCD 沿AE 折成二面角1D AE B --，其中E 为CD的中点，已知2AB =，=1BC ，11BD CD =，F 为1D B 的中点． （1）求证：CF平面1AD E ；（2）求AF 与平面1BD E 所成角的正弦值．BACDEPBCAB 1C 1B 2A 133. （2019届永康5月模拟20）已知在等腰梯形ABGH 中，AB GH ∥，22AB GH HA ==，E ，F 分别为线段AH 和BG 的中点，现将四边形EFGH 沿直线EF 折成一个五面体AED BFC -．（1）在线段BC 上是否存在点M ，使FM ∥平面ADE ，若存在，找出点M 的位置，若不存在，说明理由； （2）若二面角C EF B --的大小为60︒，求直线AC 与平面ABFE 所成角的正弦值．34. （2019届浙江百校联考19）如图，已知△PAD 为等边三角形，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，90DAB ∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD ，2AB AD CD ==，E 为PB 的中点． （1）求证：CE ∥平面PAD ；（2）求PB 与平面PCD 所成角的正弦值．BCDED 1FACDF EHGA35. （2019届浙江名校联盟第二次联考19）在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PB PD =，E F M 、、分别是棱AD PD PC 、、上的点，且=PF FD λ，AE ED λ=，若对任意()0,1λ∈，都有EF 平面DBM ．（1）求PMMC的值；（2）若DM M DB C --的大小为30︒，求直线PD 与平面BDM 所成角的正弦值．36. （2019届浙江名校联盟第三次联考19）在所有棱长都相等的三棱柱111ABC A B C -中，1=60B BC ∠︒．（1）证明：1AB BC ⊥；（2）若二面角1A BC B --的大小为60︒，求1BC 与平面ABC 所成角的正弦值．PEDC BAE FBC D PM A37. （2019届浙江名校联盟第一次联考19）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，4CD =，2PA AB BC AD ====，Q 为棱PC 上的点，且13PQ PC =．（1）证明：平面QBD ⊥平面ABCD ；（2）求直线QD 与平面PBC 所成角的正弦值．38. （2019届浙江三校第二次联考19）在斜三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是边长为2的正三角形，1A B =，1160A AB A AC ∠=∠=︒．（1）证明：1平面平面A BC ABC ⊥；（2）求直线1BC 与平面11ABB A 所成角的正弦值．C 1B 1A 1CBAQPDC BA39. （2019届浙江三校第四次联考19）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，D ，E 分别为BC ，AD 的中点，延长CE 交AB 于点F ，现将ACD △沿AD 折起，使二面角B AD C --的平面角大小为30︒． （1）求证：AD CF ⊥；（2）求直线AB 与平面ACD 所成角的正弦值．40. （2019届浙江三校第一次联考19）如图，已知四棱锥A BCDE -中，2AB BC ==，120ABC ∠=︒，AE =CD BE ∥，24BE CD ==，60EBC ∠=︒．（1）求证：EC ABC ⊥平面；（2）求直线AD 与平面ABE 所成角的正弦值．B 1C 1A 1CBA FEDCBAEFDCBA41. （2019届镇海中学5月模拟19）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，点M 是棱PC 的中点，PA ⊥平面ABCD ．（1）证明：PA ∥平面BMD ；（2）当PA 长度为多少时，直线AM 与平面PBC所成角的正弦值为7．42. （2019届镇海中学考前练习19）如图，在四棱锥P ABCD -中，60APB BPD APD ∠=∠=∠=︒，2PB PD BC CD ====，3AP =．（1）证明：AP BD ⊥；（2）求PC 与平面PAB 所成角的正弦值．43. （2019届知行联盟5月模拟19）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为正方形，AE CDE ⊥平面．已知1AE =，DE（1）证明：ADE ABCD ⊥平面平面；CDEAMPDCBAPDCBA（2）求直线BE 与平面ACE 所成的角的正弦值．44. （2019届舟山中学5月模拟19）如图所示多面体EF ABCD -，其底面ABCD为矩形且AB =2BC =，四边形BDEF 为平行四边形，点F 在底面ABCD 内的投影恰好是BC 的中点．（1）已知G 为线段FC 的中点，证明：BG ∥平面AEF ；（2）若二面角F BD C --的大小为3π，求直线AE 与平面BDEF 所成角的正弦值．45. （2019届诸暨5月模拟19）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，PB PD =（1）证明：平面PAC ⊥平面ABCD ； （2）设H 在AC 上，13AH AC =，若PH =．求PH 与平面PBC 所成角的正弦值．二、二面角46. （2018学年杭高高三下开学考19）如图（1），已知ABC △是边长为6的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足2AD CE ==．如图（2），将ADE △沿DE 折成四棱锥1A BCED -，且有平面1A DE ⊥平面BCED ．EDCBAFEDCBAHPDCBA（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）记1A E 的中点为M ，求二面角1M DC A --的余弦值．47. （2019届杭二热身考20）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，PC ⊥平面ABCD ，且2AB =，PC =，F 是PA 的中点．（1）求证：CF ⊥平面PDB ；（2）求平面ADP 与平面BCP 所成锐二面角的余弦值．48. （2019届杭四仿真考19）在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥底面，BAD ∠为直角，AB CD ∥，2AD CD AB ==，E 、F 分别为PC 、CD 的中点．（1）证明：APD BEF 平面∥平面；（2）设()0PA kAB k =>，且二面角E BD C --的平面角大于60°，求k 的取值范围．BCDEAMCBEDA 1FPDCBA图１图２49. （2019届杭州4月模拟19）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，90BAF ∠=，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上．（1）证明：AF ⊥平面ABCD ． （2）若二面角D AP C --，求PF 的长度．50. （2019届嘉兴一中5月模拟20）在四边形ABED 中，AB DE ∥，AB BE ⊥，点C 在AB 上，且AB CD ⊥，2AC BC CD ===，现将ACD △沿CD 折起，使点A 到达点P 的位置，且PE 与平面PBC 所成角为45︒． （1）求证：平面PBC ⊥平面DEBC ； （2）求二面角D PE B --的余弦值．51. （2019届绿色联盟5月模拟19）如图，圆的直径2AC =，B 为圆周上不与A ，C 重合的点，PA 垂直于圆所在的平面，45PCA ∠=︒． （1）求证：PB BC ⊥；（2）若BC =B PC A --的余弦值．FEDCBAPPF EDC BAPE DCBA52. （2019届绿色联盟12月模拟19）在三棱锥P ABC -中，ABC △和ABP △均为等边三角形，2AB =，点P 在平面ABC 上的射影在ABC △内，已知直线PB 与平面ABC 所成角的正弦值为34． （1）求证：AB PC ⊥；（2）求二面角B AP C --的余弦值．53. （2019届七彩阳光联盟第二次联考19）如图，已知平行四边形ABCD ，满足45A ∠=︒，BC =，又H 为边DC 上一点，且满足BH DC ⊥，现将CBH △沿BH 翻折至PBH △处，使得PD PB ⊥． （1）求证：PD ⊥平面PBH ；（2）若1PD =，求钝二面角A PB H --的余弦值．54. （2019届上虞5月模拟19）已知等腰直角三角形ABC ，90C ∠=︒，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，沿DE 将ADE △折起（如图），连接AC 、AB ．（1）设点P 为AC 的中点，求证：DP ⊥平面ABC ；（2）设Q 为BE 的中点，当ADE △折成二面角A DE B --为60︒时，求CQ 与面ABC所成角的正弦CABCPA BCHPD值．55. （2019届余高、缙中、长中5月模拟19）如图，在三棱锥P ABC -中，G 是棱PA 的中点，PC AC ⊥，且2PB AB AC BC ====，1PC =． （1）求证：直线BG ⊥平面PAC ； （2）求二面角P AC B --的正弦值．56. （2019届浙江五校联考19）如图，已知ABC △中，AB BC =AC =，点A α∈平面，点B ，C 在平面α的同侧，且B ，C 在平面α上的射影分别为E ，D ，22BE CD ==． （1）求证：平面ABE ⊥平面BCDE ；（2）若M 是AD 中点，求平面BMC 与平面α所成锐二面角的余弦值；57. （2019届镇海中学最后一卷19）如图，在AOB △中，2AOB π∠=，6BAO π∠=，4AB =，D 为线段AB 的中点．若AOC △是AOB △绕直线AO 旋转而成的．记二面角B AO C --的大小为θ． （1）当平面COD ⊥平面AOB 时，求θ的值；PQCDEBABCDEAGPCBAαME DCBA（2）当2,23ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求二面角C OD B --的余弦值的取值范围．三、距离、存在性等58. （2019届慈溪中学5月模拟19）在四面体D ABC -中，122AB AD CD ===，BD =，AC =BC AC ⊥．DBCOA（2）设P 是AB 中点，点Q 在线段PD 上，若直线CQ 与平面BCDPQ PD的 值．59. （2019届衢州五校联考19）如图，ABC △的外接圆O，CD ⊥圆O 所在的平面，BE CD ，4CD =，2BC =，且1BE =，tan AEB ∠=（1）证明：平面ADC ⊥平面BCDE ；（2）试问线段DE 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面ACD 所成角的正弦值为27？若存在，确定 点M 的位置；若不存在，请说明理由．60. （2019届绍兴一中4月模拟19）如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB CD ∥，2AB DC ==且PAD △与ABD △均为正三角形，E 为AD 的中点，G 为PAD △重心．C QDPBABEA（2）求三棱锥G PCD -的体积．61. （2019届浙北四校12月模拟19）如图，三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，侧面11BCC B ⊥底面ABC ，侧棱1BB 与底面ABC 所成角为60︒． （1）求直线1A C 与底面ABC 所成的角；（2）在线段11A C 上是否存在点P ，使得平面1B CP ⊥平面11ACC A ？若存在，求出1C P 的长；若不存在，请说明理由．62. （2019届浙大附中5月模拟19）等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足12AD CE DB EA ==（如图1）．将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使二面角1A DE B --成直二 FG EPDCBAB 1C 1BA 1CA面角，连结1A B ，1A C （如图2）． （1）求证：1A D BCED ⊥平面；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60？若存在，求出PB 的长，若不存在，请说明理由．63. （2019届浙江省模拟19）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PAD △为等边三角形，E ，M 分别是AD ，PD的中点，PB = （1）求证：平面PBE ⊥平面ABCD ； （2）求点P 到平面ACM 的距离．64. （2019届浙江十校4月模拟19）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，1AD =,2PA AB BC ===，M 是棱PB 的中点．E DCBA 1EDCBA图2图1MPEDCBA（1）已知点E 在棱BC 上，且平面AME ∥平面PCD ，试确定点E 的位置，并说明理由；（2）设点N 是线段CD 上的动点，当点N 在何处时，直线MN 与平面PAB 所成角最大？并求最大角的正弦值．NBCDPMA。