yYy .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
只讨论 f (x) 的两种类型.
用待定系数法求解.
12
1、 f(x)erxPm(x)型 其 中 r 是 一 个 实 数 , P m ( x ) 是 m 次 多 项 式 . 设 y Q ( x ) e r x , 其 中 Q ( x )是 多 项 式 , 则
定理2 设 y (x )是 方 程 ( 1 ) 的 一 个 特 解 , Y (x)是 (2)的 通 解 ,那么方程(1)的通解为
yYy .
11
三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y a y b y f(x ) (1)
对应齐次方程 yayb y0 (2) 定理2 设 y (x )是 方 程 ( 1 ) 的 一 个 特 解 , Y (x)是 (2)的 通 解 ,那么方程(1)的通解为
(y ) Q (x )e rxQ (x )e rx
( y ) Q ( x ) e r x 2 Q ( x ) e r x 2 Q ( x ) e r x
代 入 方 程 y a y b f y ( x ),
整 理 并 约 去 erx,得 Q ( 2 r a ) Q ( r 2 a b ) Q r P m ( x )( * )
1,2 i
可以证明, y1excox s, y2exsin x
是(2)的解，且线性无关， 所以方程(2)的通解为
y e x (C 1co x s C 2six n )
7
小结
yayb y0 2ab0
特征根的情况
实根 r1 r2 实根 r1 r2
复根 r1,2 i
通解的表达式
yC1er1xC2er2x y(C1C2x)er1x
因 为 1 是 方 程 2 a b 0 的 二 重 根 ,
故 有 1 2 a 1 b 0 , 2 1 a 0 ,
u0, 取 特 解 ux,即得y2 xe1x,
于 是 (2)的 通 解 为 y(C 1C 2x)e1x.
6
情形3 若0,则 特 征 方 程 ( 3 ) 有 一 对 共 轭 复 根
而2ra0,则Q 令 (x )x Q m (x ),即
yxQ m(x)erx
14
Q ( 2 r a ) Q ( r 2 a b ) Q r P m ( x )( * ) 情形3 若 r 是特征方程的二重根, 即 r2a rb0,
13
Q ( 2 r a ) Q ( r 2 a b ) Q r P m ( x )( * )
情形1 若 r 不是特征根, 即 r2a rb0, 则 可 设 Q ( x ) 为 次 数 与 P m ( x ) 次 数 相 同 的 多 项 式 :
Q(x)Qm(x), 即 yQm(x)erx 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r2a rb0,
二阶常系数齐次线性方程解的性质 回顾
一阶齐次线性方程 yP (x )y0( 1 )
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
2
二阶常系数齐次线性方程解的性质 yayb y0 (2)
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解； 2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
定理1 如 果 y 1 ( x ) y 2 ( , x ) 是 方 程 ( 2 ) 的 两 个 解 , 则
y C 1y 1 (x ) C 2y 2 (x )
也是(2)的解.
如果y1(x) 常数(称线性无关), 则上式为(2)的通解. y2(x)
3
二、二阶常系数齐次线性方程的解法 yayb y0 (2)
1,2
a 2
,
得 到 方 程 ( 2 ) 的 两 个 特 解 y 1 e 1 x , y 2 e 2 x ,
而 y1(x)/y2(x)e(12)xC,故它们线性无关,
因此(2)的通解为
yC1e1xC2e2x
5
情形2 若0, 则 特 征 方 程 (3 )有 两 个 相 等 的 实 根
1,2
a 2
,
只 得 到 方 程 ( 2 ) 的 一 个 特 解 y 1 e 1 x ,
需要求另一个特解 y2,使 y2/y1常 数 .
设 y2/y1u (x),即y2 u(x)e1xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 代 入 方 程 (2 ), 并 约 去 e 1 x , 得
u ( 2 1 a ) u (1 2 a 1 b ) u 0 ,
下 面 来 寻 找 方 程 ( 2 ) 的 形 如 y e x 的 特 解 .
将 yex代 入 方 程 (2 ), 得 (2ab)ex0,
而 ex0,于 是 有
2ab0 (3)
代数方程(3)称为微分方程(2)的特征方程, 它的根称为特征根(或特征值).
4
2ab0 (3)
记a24b,
情形1 若0,则 特 征 方 程 (3 )有 两 个 相 异 的 实 根
故所求通解为 y e x (C 1c2 o x s C 2si2 x n )
9
例3 求 微 分 方 程 d d t2 2 s 2d d s ts0满 足 初 始 条 件 s ( 0 ) 4 ,s ( 0 ) 2 的 特 解 .
解 特征方程为 2210
特征根为 121
故通解为 s(C 1C2t)et s(0)C14, s (C 2 C 1 C 2 t)e t,
s (0 ) C 2 C 1 2 ,C22, 所 以 所 求 特 解 为 s ( 4 2 t)e t.
10
三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y a y b y f(x ) (1)
对应齐次方程 yayb y0 (2)
1、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个 解是(1)的解； 2、方程(1)的任意两个解之差是(2)的解 .
y e x (C 1 co x s C 2 six n )
8
例1 求 微 分 方 程 y 2 y 3 y 0 的 通 解 .
解 特征方程为 2230 特征根为 11,23
故所求通解为 yC 1exC2e3x 例2 求方 y 2y程 5y0 的.通解
解 特征方程为 2250
解得 1， 212i,