节点 节点
振源 振源 振源 振源 振源 振源 振源 振源 振源
接收 接收 接收 接收 接收 接收 接收 接收 接收
f(Hz)
1182 1180 1178 1176 5 10 20 30 40
(33.0,1177.0)
x(mm)
通过以上两种方法测量获得基频固有频率之后，代入到 原理公式即可获得杨氏模量。 l 3m 2 E 1.6067 4 f d 但是原理公式的成立是有条件的。 （l >> d）
6．改变试样,分别测量细铜棒和细钢棒的固有频率。
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注意事项
1．因换能器为厚度约为0.1~0.3mm的压电晶体,用胶粘 在0.1mm左右的黄铜片上构成,故极其脆弱,放置测试棒时一 定要轻拿轻放,不能用力, 2．调节支撑点保证测试棒在竖直方向上振动。 3．信号源——换能器(放大器)——示波器均应共“地”。
静态法（拉伸法）
动态法（共振法）
实验简介
所谓 “动态法”就是使测试棒（如铜棒、钢棒）产生弯 曲振动，并使其达到共振，通过共振测量出该种材料的杨 氏模量值。 “动态法”通常采用悬挂法或支持法。（本次实验采用）
振源
接收
特殊点
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特殊点
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特殊点
特殊点
特殊点
一次谐频振动
特殊点
特殊点
特殊点
特殊点
径长比的d/L 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
修正系数K
1.002
1.008
1.019
1.033
1.051
实验数据：
实验温度 试样质量 试样直径 铜棒 , g， 试样长度 mm , mm， 节点位置（距端面）
0
C ， 试样种类
mm
表1．测量试样直径： 次数 直径 D(mm) 表2. 共振频率测量 悬挂点与端 点的距离 X(mm） 共振频率 f(Hz) 1 2 3 4 5 6 平均值
课题引入
杨氏模量的物理意义：在外力的作用下，当物体的长度 变化不超过某一限度时，撤去外力之后，物体又能完全恢复 原状。在该限度内，物体的长度变化程度与物体内部恢复力 之间存在正比关系。（弹性材料的一种最重要、最具特征的力学性质。是
物体弹性变形难易程度的表征。 ）
杨氏模量：反映材料应变(即单位长度变化量)与物体内 部应力(即单位面积所受到的力的大小)之间关系的物理量。
动态法测量金属的杨氏模量
实验目的 实验内容
课题引入 注意事项
实验简介 数据处理
实验原理 课后作业
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实验目的
1、了解动态法测杨氏模量的原理。 2、掌握如何用外推法或近似法测量测试棒的固有频率。 3、掌握判别真假共振（即：是否是测试棒共振现象）基本方法。
4、能够正确处理实验数据和正确表示实验结果。
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常用的处理方法：近似法和推理法。
近似法：阻尼越小，共振频率与固有频率之间的偏移将 越小。虽然阻尼为零的情况在现实不能存在，但尽可能减小 阻尼是可以存在的。因此只要实验中找到节点位置，然后再 节点附近测量其共振频率即可近似为固有频率。 推理法：如果在节点附近等间距分别测量不同位置的共 振频率，那么这些测得的共振频率将遵循某个规律，然后根 据该规律通过作图法获得节点处的共振频率（即固有频率）
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数据处理
1．因为多次测量频率值，故计算A类不确定度。因为 仪器本身有系统误差，故计算B类不确定度。 2．正确表示固有频率值。 3．因为l,d,m,f都有误差，故计算E的间接误差。 4．正确表示杨氏模量值
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课后作业
1．讨论测量时为何将支撑点放在测试棒的节点附近？ 2．讨论如何判断是否是铜棒发生了共振？
在一定条件下（l >> d）,试样振动的固有频率取决于它的几何形状、 尺寸、质量以及它的杨氏模量。
现实情况不太可能达到 l >> d 的条件，故对原理公式需 要作些适当的修正，即原理公式基础上再乘以一个修正量。
l 3m 2 E 1.6067 4 f T ( N / m 2 ) d T 的大小由查表获得，本实验统一近似取 T =1.008 。
f共 f
2 2 固
2
近似法：阻尼越小，共振频率与固有频率之间的偏移将 越小。虽然阻尼为零的情况在现实不能存在，但尽可能减小 阻尼是可以存在的。因此只要实验中找到节点位置，然后在 节点附近测量其共振频率即可近似为固有频率。
节点 节点
振源 振源
接收 接收
面对理论要求与现实困难的冲突，该如何处理？
因此，此时材料中：
应变为单位长度的变化量: 应力为单位面积受到的力:
E F S ES F L F kx L L L
L L
F S
k
所以：E ES L NhomakorabeaF S L L
总结：杨氏模量是反映材料的抗拉或抗压能力。
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据美国连线杂志报道，钻石并不是世界上最坚硬的材料，目 前，1月份出版的《自然》杂志撰文指出一种最新材料已超越 了钻石的硬度。来自芝加哥大学等多所高校科学家组建的一 支研究小组指出，超硬材料立方氮化硼是将氮化硼微粒压缩
特殊点
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基频振动形式
特殊点
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实验原理
动态法测量杨氏模量的原理：在一定条件下（l >> d）,试样
振动的固有频率取决于它的几何形状、尺寸、质量以及它的杨氏模量。
l 3m 2 E 7.887010 f J 如果实验中测出一定温度下（如室温）测试棒的固有频率、尺寸、 质量、并知道其几何形状，就可以计算测试棒在此温度时的杨氏模量。
2
公式中Ｊ表示测试棒的惯量距,主要与金属杆的几何形状有关, 其惯 量距公式为： 2
J s y ds
圆形棒的杨氏模量： 圆管棒的杨氏模量： 矩形棒的杨氏模量：
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l 3m 2 E 1.6067 4 f d l 3m 2 E 1.6067 4 f 4 d1 d 2 l m 2 E 0.9464 ( ) 3 f h b
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课题引入
• 杨氏模量，它是沿纵向的弹性模量，也是材料力学中的名词。 1807年因英国医生兼物理学家托马斯· 杨(Thomas Young, 1773-1829) 所得到的结果而命名。根据胡克定律，在物体的弹 性限度内，应力与应变成正比，比值被称为材料的杨氏模量， 它是表征材料性质的一个物理量，仅取决于材料本身的物理性 质。杨氏模量的大小标志了材料的刚性，杨氏模量越大，越不 容易发生形变。 • 杨氏弹性模量是选定机械零件材料的依据之一，是工程技术设 计中常用的参数。杨氏模量的测定对研究金属材料、光纤材料、 半导体、纳米材料、聚合物、陶瓷、橡胶等各种材料的力学性 质有着重要意义，还可用于机械零部件设计、生物力学、地质 等领域。 • 测量杨氏模量的方法一般有拉伸法、梁弯曲法、振动法、内耗 法等，还出现了利用光纤位移传感器、莫尔条纹、电涡流传感 器和波动传递技术（微波或超声波）等实验技术和方法测量杨 氏模量。
固有频率是金属棒本身固有的属性，一旦金属棒做好之后，其固有 频率也同时确定。不会因外部条件改变而轻易改变。 共振频率是指当驱动力振动频率非常接近系统的固有频率时，系统 振动的振幅达到最大时的振动频率。
（为什么不是两者相等时达到振幅最大，是因为现实情况不可能是无阻尼的自由振动）
区别：
固有频率只与测试棒本身有关； 共振频率不仅与测试棒本身有关，还与振动时的阻尼有关。
二次谐频振动
根据振源的振动频率在不同范围内时，其振动形式相 应的有所不同，当振源频率在一定范围内时，其振动形式 为第一种情况（基频振动形式）， 随着振动频率的增加，将 逐渐过渡到第二种（1次谐频振动形式）、第三种（2次谐频振动 形式） … … 固有频率不至一个，而是有多个。分别对应着不同的振 动形式，分别为基频固有频率（通常所说的固有频率），1阶 固有频率，2阶固有频率，... ... 本实验采用基频振动形式，因为该振动形式相对简单。
因为节点处的阻尼为零，无阻尼自由振动的 共振频率就是测试棒的固有频率。
但是现实情况是，当支撑点真的 指到节点处时，金属棒却无法继续激 发测试棒振动，即使能振动亦无法接 收到振动信号（即观察不到共振现象）， 最终也无法得到节点处共振频率 。
面对理论要求与现实困难的冲突，该如何处理？
常用的处理方法：近似法和推理法。
杨氏模量的测量方法：静态法(丝状)和动态法(棒状)。
静态法:
E
F S L L
缺点：①不能很真实地反映材料内部结构的变化； ②对于脆性材料不能用拉伸法测量； ③不能测量材料在不同温度下的杨氏模量。
动态法:
l 3m E 1.6067 4 f d
2
优点：①能准确反映材料在微小形变时的物理性能： ②测得值精确稳定； ③对软脆性材料都能测定； ④温度范围极广（−196 ℃ ~ +2600℃）。
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本实验测试棒都是圆形金属棒，所以原理公式改写为：
l 3m 2 E 1.6067 4 f d
公式中l 为金属杆的长度；m 为金属杆的质量；d 为金属棒的直径，
都较容易测量，f 是金属杆的固有频率。 （如何测量 f 成为实验的关键）
注：f 不是金属棒的共振频率，而是金属棒的固有频率。
固有频率与共振频率的区别和联系：
成一种超坚硬物质形式。
• 科学家最新人工合成纳米等级的立方氮化硼，其硬度已超 越钻石，成为世界上最硬的物质 • 科学家测试结果显示，这种透明的材料 甚至超越了钻石 的硬度，其维氏硬度达到108 GPa，而合成钻石的维氏硬 度为100 GPa，并且该材料是商用立方氮化硼硬度的两倍。 • 这种材料的最大秘密在于纳米结构，田永军(音译)和其它 研究人员开始使用类似洋葱结构的氮化硼微粒(像俄罗斯 套娃玩偶结构)在1800摄氏度高温下压缩至15GPa，大约 承受汽车轮胎压力值的68000倍，这种晶体材料将重组， 形成纳米结构。 • 在纳米晶体结构下，邻近的原子共享一个边界，这就像是 一些公寓住宅。为了使这种材料变得更加坚硬，科学家降 低了这些微粒的体积，从而使它变得更加坚硬，无法被刺 穿。 • 田永军解释称，这种纳米结构可以使物质变得更坚硬，难 以被刺穿，对于氮化硼而言，维持特征强度的平均尺寸是 4纳米，但相应的结果立方氮化硼在高温环境下非常稳定。 • 未来这种超硬材料与当前商用较低硬度的立方氮化硼价格 相当，或许未来可用于机械加工、碾磨、钻探、切削工具， 以及用于制造科学仪器。