一元二次方程与二次函数提高训练题1、已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 解：（1）由题意得，168(1)0k ∆=--≥． ∴3k ≤． ∵k 为正整数，∴123k =，，． （2）当1k =时，方程22410x x k ++-=有一个根为零； 当2k =时，方程22410x x k ++-=无整数根；当3k =时，方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根． 综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意．当3k =时，二次函数为2242y x x =++，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2246y x x =+-．（3）设二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴交于A B 、两点，则(30)A -，，(10)B ，．依题意翻折后的图象如图所示．当直线12y x b =+经过A 点时，可得32b =；当直线12y x b =+经过B 点时，可得12b =-．由图象可知，符合题意的(3)b b <的取值范围为1322b -<<．2、已知：关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+=（1）若0,m >求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若12＜m ＜40的整数，且方程有两个整数根，求m 的值． 证明： []22=2(23)-4414884m m m m ---++（）=0,m > 840.m ∴+>∴方程有两个不相等的实数根。
（2）=(23)x m -±∵方程有两个整数根，且m 为整数． 又∵12＜m ＜40， 252181.m ∴<+< ∴ 59．356,.27,24.638,.2m m m =∴==∴==∴=∴m=243、已知: 关于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2－bx+kc（c ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1. （1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；（2）求代数式akcabb kc +-22)(的值；（3）求证: 关于x 的一元二次方程ax2－bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根. 解：由 kx=x+2，得(k －1) x=2. 依题意 k －1≠0. ∴ 12-=k x . ∵ 方程的根为正整数，k 为整数, ∴ k －1=1或k －1=2. ∴ k1= 2, k2=3.（2）解：依题意，二次函数y=ax2－bx+kc 的图象经过点（1，0）， ∴ 0 =a －b+kc, kc = b －a .∴222222222a ab abb a ab b a b a ab b a b akc ab b kc -+-+-=-+--=+-)()()(=.122-=--a ab aba （3）证明：方程②的判别式为 Δ=(－b)2－4ac= b2－4ac. 由a ≠0, c ≠0, 得ac ≠0.( i ) 若ac<0, 则－4ac>0. 故Δ=b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数 根.( ii ) 证法一: 若ac>0, 由(2)知a －b+kc =0, 故 b=a+kc.Δ=b2－4ac= (a+kc)2－4ac=a2+2kac+(kc)2－4ac = a2－2kac+(kc)2+4kac －4ac =(a －kc)2+4ac(k －1). ∵ 方程kx=x+2的根为正实数，∴ 方程(k －1) x=2的根为正实数. 由 x>0, 2>0, 得 k －1>0. ∴ 4ac(k －1)>0. ∵ (a －kc)2≥0,∴Δ=(a －kc)2+4ac(k －1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 证法二: 若ac>0,∵ 抛物线y=ax2－bx+kc 与x 轴有交点, ∴ Δ1=(－b)2－4akc =b2－4akc ≥0. (b2－4ac)－( b2－4akc)=4ac(k －1). 由证法一知 k －1>0, ∴ b2－4ac> b2－4akc ≥0.∴ Δ= b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根.4、 已知：关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m -+++-=．（1）求证：不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根12x x ，满足12211m x x m +-=+-，求m 的值． （1）[]22(21)4(2)m m m ∆=-+-+-22441448m m m m =++--+ 90=>∴不论m 取何值，方程总有两个不相等实数根（2）由原方程可得12(21)32m x +±==，∴ 1221x m x m =+=-， －－ ∴ 123x x -=又∵ 12211m x x m +-=+- ∴ 2311m m +=+-∴ 4m = －经检验：4m =符合题意． ∴ m 的值为4．5\已知关于x 的一元二次方程22(4)0x a x a +++=．(1) 求证：无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2) 抛物线21:2(4)C y x a x a =+++与x 轴的一个交点的横坐标为2a，其中0a ≠，将抛物线1C 向右平移14个单位，再向上平移18个单位，得到抛物线2C ．求抛物 线2C 的解析式；(3) 点A (m ,n )和B (n ,m )都在(2)中抛物线C 2上，且A 、B 两点不重合，求代数式33222m mn n -+的值．（1）证明：∵22(4)4216a a a ∆=+-⨯=+， …………………………………1分 而20a ≥，∴2160a +>，即0∆>.∴无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根. …………2分 （2）解：∵当2ax =时，0y =，∴22()(4)022a aa a ⨯++⨯+=. ∴230a a +=，即(3)0a a +=.∵0a ≠，∴3a =-. ………………………………………………………… 3分∴抛物线1C 的解析式为22125232()48y x x x =+-=+-. ∴抛物线1C 的顶点为125(,)48--. ∴抛物线2C 的顶点为(0,3)-.∴抛物线2C 的解析式为223y x =-. …………………………4分（3）解：∵点A （m ，n ）和B （n ，m ）都在抛物线2C 上，∴223n m =-，且223m n =-.∴222()n m m n -=-.∴2()()n m m n m n -=-+. ∴()[2()1]0m n m n -++=. ∵A 、B 两点不重合，即m n ≠， ∴2()10m n ++=. ∴12m n +=-. ……………………………………………………… 5分 ∵223m n =+，223n m =+， ∴33222m mn n -+22222m m mn n n =⋅-+⋅n m mn m n ⋅++-⋅+=)3(2)3().(3n m += ………………………………………………………………6分32=-. ………………………………………………………………7分6、已抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y （m 为实数）。
（1）m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？（2）如果抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且△ABC 的面积为2，求该抛物线的解析式。
分析：抛物线与x 轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m 应满足的条件。
略解：（1）由已知有⎩⎨⎧>=∆≠-0012m m ，解得0≠m 且1≠m （2）由0=x 得C （0，－1）又∵1-=∆=m ma AB ∴2112121=⋅-⋅=⋅⋅=∆m m OC AB S ABC ∴34=m 或54=m ∴132312--=x x y 或156512---=x x y6、如图，抛物线4)(22c x b a x y ++-=，其中a 、b 、c 分别是△ABC 的∠A 、∠B 、∠C 的对边。
（1）求证：该抛物线与x 轴必有两个交点；（2）设有直线bc ax y -=与抛物线交于点E 、F ，与y 轴交于点M ，抛物线与y 轴交于点N ，若抛物线的对称轴为a x =，△MNE 与△MNF 的面积之比为5∶1，求证ABC 是等边三角形；（1）))(()(22c b a c b a c b a -+++=-+=∆∵0>++c b a ，0>-+c b a∴0>∆ （2）由a ba =+2得b a = 由⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=bcax y c x b a x y 4)(22得：0432=++-ac c ax x 设E （1x ，1y ），F （2x ，2y ），那么：a x x 321=+，ac c x x +=4221 由MNE S ∆∶MNF S ∆＝5∶1得：215x x =∴215x x =或215x x -=由021>⋅x x 知215x x -=应舍去。
由⎩⎨⎧==+212153x x a x x 解得22ax =∴ac c a +=⎪⎭⎫⎝⎛42522，即04522=--c ac a∴ c a =或05=+c a （舍去） ∴ c b a ==∴△ABC 是等边三角形。
7、 已知抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点C ，与x 轴交于点)0,(1x A ,)0,(2x B )(21x x <，顶点M 的纵坐标为-4，若21x x 和是方程222(1)70x m x m --+-=的两个根，且102221=+x x(1)求A ，B 两点的坐标（2）求抛物线的解析式和点C 的坐标（3）在抛物线上是否存在点P ，使△PAB 的面积等于四边形ACMB 面积的两倍？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由。
1、因为x1，x2是方程x^2－2(m－1)x＋m^2－7＝0的两个根所以x1＋x2＝2(m－1) ，x1*x2＝m^2－7又因为(x1)^2＋(x2)^2＝10所以(x1＋x2)^2－2x1*x2＝10即[2(m－1)]^2－2(m^2－7)＝10整理得：m^2－4m＋4＝0所以m＝2代入x^2－2(m－1)x＋m^2－7＝0 得x^2－2x－3＝0解得x1＝－1，x2＝3所以A、B的坐标为：A(－1，0)，B(3，0)2、把A、B坐标代入y＝ax^2＋bx＋c，得a－b＋c＝09a＋3b＋c＝0因为抛物线y＝ax^2＋bx＋c顶点M的纵坐标为－4所以(4ac－b^2)/(4a)＝－4上述三式组成方程组，解得a＝1，b＝－2，c＝－3 (a＝0不合，已舍去)所以抛物线的解析式是y＝x^2－2x－3当x＝0时，y＝－3所以C点坐标是(0，－3)3、抛物线y＝x^2－2x－3的顶点是M(1，－4)，AB＝3－(－1)＝4 设点P的坐标为(x，y)S△PAB＝AB*|y|/2＝4*|y|/2＝2|y|过M作MN⊥X轴，交X轴于N点，则S四边形ACMB＝S△AOC＋S△BNM＋S梯形MNOC＝1*3/2＋(3－1)*4/2＋(3＋4)*1/2＝9若S△PAB＝2S△PAB则有2|y|＝2*9＝18所以|y|＝9>4，所以P 在X 轴的上方所以y ＝9所以9＝x^2－2x －3即x^2－2x －12＝0解得x ＝1±√13所以存在点P 使三角形PAB 的面积等于四边形ACMB 的面积的2倍，坐标为：P1[(1＋√13)，9]，P2[(1－√13)，9]课后练习、1、已知关于x 的方程2(32)220mx m x m -+++= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x 的二次函数2(32)22y mx m x m =-+++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数，求抛物线的解析式.1）证明：①当0m =时，方程为220x -+=，所以 1x =，方程有实数根.…… 1分 ②当0m ≠时, []2(32)4(22)m m m ∆=-+-+ =22912488m m m m ++--=244m m ++ =2(2)0m +≥ ………………………………2分 所以,方程有实数根综①②所述，无论m 取任何实数时，方程恒有实数根 …………3分（2）令0y =，则2(32)220mx m x m -+++= 解关于x 的一元二次方程，得11x = ，222x m =+ ……………………5分 二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数，所以m 只能取1，2所以抛物线的解析式为254y x x =-+或2286y x x =-+………………7分 2、已知抛物线)6(2)8(222+++-=m x m x y 。