习题集
第一章
1. 考虑理性偏好关系。
证明若意味着意味着，则是一个代表的效用函数。
2. 证明如果X是有限的，是X上的理性偏好关系，则存在一个代表的效用函数。
[提示：首先考虑个人在X中的任何
两个元素之间的排序是严格的情形（即不存在任何无差异）构造一个效用函数来代表这些偏好；然后将你的论点扩展到一般情形。
3. 证明弱公理（定义1.C.1）等价于下述性质成立：
假定。
若，我们必然有。
4. 证明若X是有限的，则任何理性偏好关系都生成一个非空的选择规则；也就是说，对于任意。
第二章
1. 假定是满足弱公理、瓦尔拉斯定律和零次齐次性的可微需求函数。
证明若对是一次齐次的[即对
于所有和，有则需求法则即使对非补偿价格变化也成立。
可以只证明这一结论
的无穷小形式，即对于任意，有，如果这样做更为容易的话。
2. 证明若是满足弱公理的瓦尔拉斯需求函数，则一定是零次齐次的。
3. 考虑一个的经济环境，以及消费集为的一个消费者。
假定其需求函数为
,,
（a）证明在上是零次齐次的，并且满足瓦尔拉定律。
（b）证明违反弱公理。
（c）证明对于所有，有。
第三章
1. 证明若是代表的连续效用函数，则是连续的。
2. 假定在一个两种商品的世界里，消费者的效用函数为。
这一效用函数叫作常替代弹性（CES）效用函数。
(a)证明当时，无差异曲线是线性的。
(b)证明当时，这一效用函数代表的是和（广义）科布一道格拉斯效用函数一样的偏好。
(c)证明当时，无差异曲线是一个“直角”；也就是说，该效用函数在极限处具有里昂惕夫效用函数
的无差异图。
3. 令代表消费集，并假定偏好是严格凸的和拟线性的。
标准化。
(a) 证明对商品的瓦尔拉斯需求函数与财富无关。
对于商品1的需求的财富效应（参见
2.E节）而言，这意味着什么？
(b) 证明对于某一函数，间接效用函数可以写成的形式。
(c) 为简化起见，假定，并把消费者的效用函数写成。
但是，令消费集为，从而对本位
商品的消费有一个非负性约束。
固定价格，考察当财富变化时，消费者的瓦尔拉斯需求如何变化。
在什么情况下
，对本位商品的非负性约束是无关紧要的？
第四章
1. 证明若是一次齐次的，则和在u上是一次齐次的[即它们可以写成
和的形式]。
2. 考虑效用函数：
（a）找出依赖于价格和财富的对商品1和商品2的需求函数。
（b）找出补偿需求函数。
（c）找出支出函数，验证。
（d）找出间接效用函数，验证罗伊恒等式。
第五章
1. 利用ULD和WA的（充分的）微分形式证明命题4.C.1的一种形式。
（回忆一下
2.F节的小体字部分，就WA而言的充分条件是
：只要v不是与p成比例的，就有
2. 证明若是一次齐次的，从而是位似的，则对于所有，有为命题4.C.3所定义的商]。
第六章
1. 证明：如果Y是闭的、凸的，且，那么自由处置性质成立。
2. 阿尔法公司（AI）使用两种投和品生产单一产出q。
要求你来决定AI的技术。
你有100个月的观测数据，其中有两个月的观测数据列表如下：
根据这两个月观测数据，你认为你在完成任务过程中会遇到什么问题？
3. 推导单一产出技术的利润函数和供给函数（或对应）。
该技术的生产函数为
第七章
1. 下面有三种规模报酬不变的单一生产技术，请分别推导其成本函数和条件要素需求函数（或对
应）。
这三种技术的生产函数分别为
2. 有两种生产物品和劳动。
投入——产出矩阵为。
其中代表生产1单位物品k所需要的物品l的数量。
(a) 令，并假设劳动的系数向量为，其中是生产1单位的物品1（或物品2）所需要投入的劳动
量。
在可获得的劳动总量为10的情况下，绘制出两种物品的生产可能性集合（即可能的生产轨迹）。
(b) 对于（a）中的和b值，由利润最大化条件（假设两种物品产量为正）计算均衡价格
（把工资标准化为1）。
(c) 对于（a）中的和b值，计算生产1单位物品1的净产出（即可用于消费）过程中直接或间接投入的劳动数量。
这一
数量与你在（b）的回答有什么关系？
(d) 假设生产物品2有第2种技术。
对于
现在我们加上
把两种技术都考虑在内，用图描述生产1单位物品2所需要的物品1和劳动的数量的轨迹。
（假设可以自由处置。
）
（e）在（d）的内容中，非替代定理是怎么说的？当值为多少时，存在最优技术转换？
第八章
1. 假定偏好关系是局部非饱和的，而且是集合{中对而言的最大值。
证明下面的性质成
立：“如果，那么。
”
2. 假定对每个人人来说有一个仅仅只依赖于他自己消费的“快乐函数”，该函数由给出。
根据效用函数每个人的效用都正向地依赖于他自己和其他每个人的“快乐”。
证明：如
果是相对于的帕累托最优，那么它也是相对于的帕累托最优。
这是否意味着一个利他主义者
的社会可以经由竞争性市场来达到帕累托最优呢？你的结论依赖于或的凹性吗？
3. 假定有一个具有连续且强单调偏好的经济（消费集是）。
还假定一个严格为正的生产是可能的；也就是说
，有使得。
证明任何有转移的价格准均衡也一定是有转移的价格均衡。
4. 证明：一个有着凸生产和消费集以及凹效用函数的经济，其效用可能性集U是凸的。
5. 在一种特定经济中有两种商品，教育(e)和食品（f）,根据生产函数
通过使用劳动（
L）和土地（T）来进行生产。
只有一个消费者，其效用函数为和禀赋。
为了便于计
算，我们投以及。
(a) 从生产性用途来说，找出禀赋的最优配置。
(b) 认识到教育的生产体现了递增规模报酬，该经济的政府决定控制教育行业，并且通过向消费者征收总额税来资助其运
作。
从消费者可以在现行价格上选择教育和食品的任何想要的数量这一意义上说，教育的消费是竞争性的。
食品行业则在
生产和消费两方面保持着竞争性。
假设教育行业最小化了成本，找着了在最优时的教育的边际成本。
证明：如果宣布了教
育的某种价格以及对当教育部门以这种价格上生产了其最优数量的产品而产生赤字必须进行融资时所需的总额税，那么消费者
对教育的选择将处在最优水平。
(c)以（b）中描述的方式来分散这一最优时所必需的总额税水平是什么？
现在假定有两个消费者，而且他们的偏好与上面所假设的相同。
一个消费者拥有全部的土地，另一个则拥有全部的劳动。
在这个社会
中，任意的总额税是不可能的。
法律规定由公共企业造成的任何赤字都要通过对工地价值的增税来弥补。
（d）请用合适的符号把从土地所有者处得来的转移写作政府计划生产的教育的一个函数。
（e）为该经济找着一个边际成本价格均衡，其中的转移与（d）中规定的转移函数相容。
它是帕累托最优的吗？。