收敛, 但级数 1 1 1 1 却是发散的.
推 论 如 果 加 括 弧 后 所 成 的 级 数 发 散 ,则 原 来 级 数 也 发 散 .
性质4 （级数收敛的必要条件）
当 n无限,它 增的 大u 一 时 n趋般 于 ,即 项 零
级数收敛 ln im un 0.
证 s un 则 u nsn sn 1, n1 ln i u m nln i s m nln i s m n 1 ss0.
当q1时, ln i m qnln i m sn
如果q 1时
收敛 发散
当q1时, snn a 级数发散 当q1时,级a 数 a a a 变 为
ln im sn不存在 级数发散
综上 aqn
当q 1 时,收敛;
n0
当q 1 时,发散.
例2 讨论数项级数
11 1
(* )
1223 n (n 1 )
1 1 1 . m mp m
因此, 对 任 意 0,可 取 N1, 当m>N及任意正
整数 p,由上式可得 u m 1u m 2 u m pm 1,
依 级 数 收 敛 的 柯 西 准 则 , 知 级 数 n 1 2收敛.
1
注 级数 n 1 n ( n 1 ) 的收敛性已由例2的证明过程所
( c u n d v n ) cu n dv n . 根据级数收敛的柯西准则, 级数 un 的收敛与否与
级数前面有限项的取值无关.从而可得到以下定理. 定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变 级数的敛散性.
性质3 若级数 un收敛,则 un也收敛
n1
nk1
(k1).且其逆亦真.
Chapt 12 数项级数
级数是数学分析三大组成部分之一， 是逼近理论的基础，是研究函数、进行近 似计算的一种有用的工具. 级数理论的主要 内容是研究级数的收敛性以及级数的应用.
教学目标：
1.熟练掌握级数的收敛性； 2.熟练掌握正项级数收敛的判别； 3.掌握一般项级数收敛的判别.
则结果是1.两个结果的不同向我们提出了两个基本 问题:“无限个数相加”是否存在“和”;如果存在, “和”等于什么? 由此可见,“无限个数相加”不能 简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新 的理论.
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
n0
的收敛性.
解 q 1时
s n a a a q 2 q a n 1 q
a aq n a aqn , 1 q 1q 1q
当q1时, lim qn0 n
ln im sna 1qnn 2n1 2
,
2n1
n1 2n 1
1 ,n 2
,
因 而 ( 1) n 1 1 .
i 1
2
无穷级数收敛性举例：1904年，瑞典数学家科赫 （Koch）做出一雪花曲线.
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，就得到 “Koch雪花曲线”．
A1;
依次类推
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3 ,
面积为
A1
3; 4
第一次分叉：
周长为P2
4 3
P1,
面积为A2
A1
3
1 9
A1;
依次类推
第 n次分叉： 周长为 Pn(4 3)n1P1 n1,2, 面积为 A nA n13{4n2[1 9 ()n1A 1]}
A 1 3 1 9 A 1 3 4 ( 1 9 ) 2 A 1 3 4 n 2 ( 1 9 ) n 1 A 1 A 1 { 1 [1 3 1 3 (9 4 ) 1 3 (9 4 )2 1 3 (9 4 )n 2 ]}
n1
n1
写成s u1 u2 u3
即 常数项级数收敛(发散)nl im sn存在(不存在)
余项 rnssn u n 1 u n 2 un i
i1
即 sn s 误差为 rn (ln im rn0)
上述定义很自然，和人们的直观认识是一致的． 它的不足之处是一些很简单的级数，在此意义下 却没有和.例如级数
定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号, 既不改变 级数的收敛性,也不改变它的和.
证 设 u n 为 收 敛 级 数 , 其 和 为 S .下 面 证 明 u n加
括号后的级数 (u nk11 unk )收敛, 且其和也是 k1
S . 为 此 ， 记 v 1 u 1 u n 1 , v 2 u n 1 1 u n 2 ,,
总存在正整数N,使得当m N以及对任意的正
整数p,都有 | um1 um2 ...ump |.
级数发散的充要条件是：存在某正数0，对任何
正整数N,总存在正整数m0( N)和p0,有
| um01 um02 ...um0p0 |0.
Cauchy收敛准则是一个普遍的原则,它 适用于一切级数,而不考虑某些级数的特殊 规律.正因为如此,用它去判别某些具体级 数的敛散性并不方便.因此,我们必须针对 某些级数的特殊规律,给出相应的判别法.
的收敛性.
解 级数(*)的第n个部分和为
Sn11 2213
1 n(n1)
11 2 1 21 3 n 1n 1 1
1
n
1
1
.
由于 lni m Snlni m 1n1 11,
因此级数 (*) 收敛,且其和为 1.
例 3 判别无穷级数
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解 un(2n1)1(2n1)12(2n112n11),
sn 1 1 3 3 1 5 (2 n 1 )1 (2 n 1 )
1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 (11) 2 32 35 2 2 n 12 n 1
1(1 1 ), 2 2n1
lni m snlni m 1 2(12n11)
(常数项)无穷级数
n
snu1u2 un ui
i1
部分和数列 s1 u1, s2u1u2,
s 3 u 1 u 2 u 3 , ,
s n u 1 u 2 u n ,
2 级数的收敛与发散
当n无限增大时,如果级数 un 的部分和
n1
数列 sn 有极限 s ,
即
lim
n
sn
s
则称无穷级数
un 收敛,这时极限 s叫做级数 un 的和.并
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 面积为
P1 3 ,
A1
3; 4
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3 ,
面积为
A1
3; 4
第一次分叉：
周长为P2
4 3
P1,
面积为A2
A1
3
1 9
A1;
依次类推
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3 ,
面积为
A1
3; 4
第一次分叉：
周长为P2
4 3
证 u k 1 u k 2 u k n n u k 1 u k 2 u k n
snksk,
则 ln im n ln i s m n k ln i s m kssk .
类似地可以证明在级数前面加上有限项不
影响级数的敛散性.
注 去掉、增加或改变级数的有限项虽不改变该级
n2,3,
于是有
ln im Pn
1
lim
n
An
A1
(1
1
3
4)
A1(153)253.
9
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界． “Koch雪花曲线”的性质：
面积有限而周长无限.
不要以为雪花曲线仅仅是人脑想出来的一 种“病态”曲线，科学家们发现，这类曲线能 应用于研究自然界的许多现象，例如地球大陆 的海岸线等.这门新兴的数学学科称为分形．
u n a 1 ( a 2 a 1 ) ( a 3 a 2 ) ( a n a n 1 ) .( 5 )
n 1
这时数列{ a n } 与级数 (5) 具有相同的敛散性, 且当
{ a n } 收敛时,其极限值就是级数(5)的和.
定理(级数收敛的柯西准则）
级数un收敛的充要条件是：任给正数， n1
{ S n } 收 敛 , 且 l n i m S n S . 故 由 子 列 性 质 ， { S n k } 也 收 敛 ，
且 l k i m S n k S , 即 级 数 v k 收 敛 , 且 它 的 和 也 等 于 S .
注 从级数加括号后的收敛,不能推断它在未加括号
时也收敛. 例如 ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 0 0 0 0 ,
例4 运用级数收敛的柯西准则证明级数
1 n2
收敛.
证 由于
u m 1 u m 2 u m p
1
1
1
(m1)2 (m2)2 (mp)2
1 1
1
m (m 1 ) (m 1 )(m 2 ) (m p 1 )(m p )
m 1 m 1 1 m 1 1 m 1 2 m 1 p 1 m 1 p
数的敛散性，但在收敛时，其和一般还是要变的.
由定理12.3知, 若级数un收敛, 其和为S,则级数 n1
u n 1 u n 2
( 8 )
也 收 敛 , 且 其 和 R n S S n . ( 8 ) 式 称 为 级 数 u n 的
第 n 个余项(简称余项), 它表示以部分和 Sn 代替S 时所产生的误差.
1 2
,
级 数 收 , 和敛 为 1. 2
注 由于级数(1)的收敛或发散(简称敛散性),是由它