Ax
偏导数的儿何意义
实验目的:通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二 阶混合偏导数相等的条件
背景知识:
一偏导数的定义
在研究一无函数吐我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论 它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变最的关系要比一元函数复杂的多. 所以我们首先考虑多元函数关于其中一-个自变量的变化率,以二元函数z= /(了疗)为例, 如果只有自变量工变化,而自变量y 固定(即看作常量),这时它就是X 的一元函数,这函数 对X 的导数,就称为二元函数Z 对于才的偏导数,即有如下定义
定义设函数z= *')在点的某一•邻域内有定义,当y 固定在V 。
,而工在工。
处有增量• A*时,相应的函数有增量
/(x 0 4-Ax,^) _ /(x 0,^0)
f(x 0 +Ax,y 0)-f(x 0,y 0) lim ---------------------------------
如果 Ax (1)
存在,则称此极限为函数z=在点”°疗°)处对汗的偏导数,记做
例如,极限(1)可以表为 f(x 0 +Ax,y 0)-f(x 0,y 0) hgy°)蚣。
类似的,函数z= ,(兀、)在点(冲疗°)处对歹的偏导数定义为
尚 栈尚九(%必)
dz
lim 敏T O Rxo,Vo +Ay)・地,
dz
记做分5 X■命
如果函数2= 了3疗)在区域D内每一点(&')处对工的偏导数都存在,那么这个偏导数就是工溜的函数,它就称为函数Z = /(工1)对自变量式的偏导函数,记做 & 堂
凯瓦,气或九(")类似的,可以定义函数z= /(兀力对自变量W的偏导函数,记做dz
山偏导数的概念可知,/3'力在点(如儿)处对工的偏导数九成。
/)显然就是偏导函数九3',)在点成°疗°)处的函数值,就像-•元函数的导函数-•样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数.
至于求z=的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在变动,另外
dz
一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求欲时,只要把*暂时看
作常最而对工求导;求莎时,则只要把式智时看作是常量,而对V求导数.
偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数〃 = /(兀MZ)在点(、,yz)处对式的偏导数定义为
岫Rx +Ax, y ,z)・Rx ,y ,z)
九(X'V’z) = A XT O A X
其中(X'W'Z)是函数〃 = /3,V,z)的定义域的内点,它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题
例求z = / sin 2y的偏导数
dz
解瓦=2xsin 2〉,
dz
dy _ 2/COS2〉
二偏导数的几何意义
二元函数z= '3,)在点3o,Wo)的偏导数的几何意义
疗° J3o,〉o)) u o77*(工疗)[心r、』y-y^\耳口
设为曲面z = J、…上的一点,过°点作平面/ 气截此
曲面得•曲线,此曲线在平面^=^0上的方程为Z = /(X,%),则导数小/3'")"・命即偏导数兀(%必),就是这曲线在"。
点处的切线M。
乌对式轴的斜率.同样,偏导数)的几何意义是曲而被平面x = x°所截得的曲线在点"。
处的切线"。
弓对 *的斜率
三偏导数的几何意义
我们知道,如果•无函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点P 沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时,函数值 E 趋于/(%),但不能保证点P按任何方式趋于P 0时,函数值都趋于/(*).例如,函数
X +y
z= /(") = { =0
在点(0,0)对才的偏导数为
£(。
,。
)=岫/(0+&'01(0'°)=蜘=。
八AiO & M T O
4 (0,0) = Inn /(0,0 +皈K0,0)=蜘=0
同样有Ay
但是我们在前而的学习中知道这函数在点(0,0)并不连续
四二阶混合偏导数
设函数z= /3痹)在区域D内具有偏导数
dz &
态_ 九(")逾 _ fyk^y)— 5 —
那么在D内力5), Jy{x,y)都是工淑的函数.如果这里两个函数的偏导数也存在, 则它们是函数z=的二阶偏导数,按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数:
d dz d2z 3 /初、d2z
—(—)=-r = J XK("))= 'o ct ~ =扃(")
& dx 源逾冰dxdy
9 必、_ 3"z d dz _
云(云)=心■ = A(工、)H (亲)=TT = 扃(兀、)
ox dy dydx cy dy dy
J
其中第二,第三个偏导数称为混合偏导数
击Z 导 8七一z
例2 设z = _3寸3_勺;+ 1,求奇,泌X , dxdy , M
^ = 3x2y2 -3y3-y CtV
—=2x3y- 9xy2 -x
d2z莉
d2z d2z
从例子中,我们看到两个二阶混合偏导数相等,即,机 =次分'
我们再看用maple作求的图形
d2z
第一个图形为办莎
d2z
第二个图形为泌x 从图中我们看到两个连续的偏导函数,它们是相等的这不是偶然的,事实上我们有下述定理
d2z d2z
定理如果函数z= /(工痹)的两个二阶混合偏导数泌x及dxdy在区域D里连续, 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必定相等
换句话说,二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关
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