ｐ
是 数， Ｉ 其 ｐ 一 ≥） 不 的 素 则 ＝＿ ，中 ，（ ２ 同 奇 Ｉ ｐｎ 为
素数，－￣ ） ＝， ，”。 Ｈ０－ ｌ ９１ ２ １ 凡 但事实上， … ） 是复合
数， １ ， ４ ‘ 此， １只是猜想而已。 ６ ｌ 但６０ ２。因 式（） ４ ｆ
本 文将 给 出费 马数 为 素数 的 四个充要 条 件 。
定理１ ＝ ‘ １ 素数 的充 要 条件是 ２＋为
节长 为
的因数 的充 要 条件 是 。
Ｐ ± “ ｏ４ ） 中 ０１ ，） ３（ ｄ ０（ ｏ ｒ ＝ ，， ３ ． ２
证明： 参见 文 献 。
引理４ 设ｍ≥２ 则 兰１ （ ｏ ４ ） ， ７ｒ ｄ ０。 ｏ
证 明 ：用 数 学 归 纳 法 。 当ｍ＝ 时 ， ２ １ １ ２ Ｆ＝７ ７ （ ｏ ４ ）结论 成立 。 ｏ ｒ ｄ ０，
２ 关 键 性 引 理
引理 １ （ ｌ ｎ Ｗｉ ｏ 定理 Ｊ 为素 数 的充要 条件 是 ｓ ｎ
。
（－ ） － （ ｏ ｎ ｎ ｉ！ ｌ ｄ） ｍ 证 明 ： 见 文献 ［】 参 ２。
（） ２
引理２ 设 ｎ ＋ ，＞ ． 为素数 的充要 条件是 ＝ １ｋ １则ｎ
出 了－ ￣
定理１ 的证 明 ： （ ） 在 ２ 中令 ｎ 即得 。 ＝ 定 Ｎ２ 的证 明 ： （ ） 在 ３ 中令 即得 。 ＝
走成数的环长 。 化小后循节为＿ １
收稿 日期 ： ０ ９ ｌ— ２ ２０ 一 ｌ ｌ
定理 ３ 的证 明 ： 们 有 我
作 者简 介 ： 训 贵 （ ９ ３ ） 男 ， 苏 兴化 人 ， 教 授 ， 究 方 向 为基 础 数 论 。 管 １６ 一 ， 江 副 研
１ 主 要 理 论
形 如 ： ‘ ｌ 为 非 负整 数 ） 的数称 为 Ｆ ｒ ａ ２ ＋ ｅｍ ｔ 数。 Ｎｍ＝ ， ， ， ， 时 ， 均 为 素数 。 了１ Ｘ ５ 素 ０ １２３４ 除 ， ＝个 ２
数 ， 今 尚未 找 到第 六 个 这 种 形状 的素 数 。文献 给 至
（ 一 １ － （ ｏ Ｆ ） ！ １ｍ ｄ
定 理２Ｆ ＝ ｌ 素数 的充 要 条件是 ａ２ ＋ 为
Ｆ
． ． ． ． ． ． －
假设ｍ＝ （ ｉ２ 时结 论成 立 ， ｋ ） ＞ 即 则 当ｍ＝ ＋ 时 ， ｋ ｌ 有
１（ｏ４） ７ｍ ｄ ０ ，
１
—
—
＋ ２ １（ ） １（ １＋ （７ １＋ 。 ＋ ：２ ： 一 ） １ｉ１— ） １ ： ＋ ２
，
） １ …（
Ｐ３
）１ ＜
ｐ２
Ｐ
由引理４ ， 知 ｍ≥２ 有Ｆ １（ｏ４）故２／ ， 时， ７ ｄ０， １ ｏ ｒ
第 ｌ ２卷 第 ４期
重 庆科 技学 院学 报 （ 自然 科学 版 ）
２１ ０ ０年 ８月
费马数 为素数 的充要条件 证 明
管 训 贵
（ Ｉ 师 范 高等 专科 学校 ，泰 州 ２ ５ ０ ） 秦‘ ｌ ｉ ２ ３ ０
摘
要 ： 用 数 论 巾 的一 些 简 单结 果 ， 立 费 马 数 为 素 数 的 四个 充 要 条 件 。 运 建
Ｆ＝ ｌ ２ ＋ 为素 数 的充 要条 件 ：
Ｈ —ｌ
∑ ＋ ０。 ） １ （ｄ ＝ －ｍＦ
（ １ ）
３ － （ ｏ ｎ １ ｄ） ｍ 证 明 ： 见文 献［］ 参 ３。
（） ３
其 必要 性 证 明是错 误 的 。文献 中提 到 ，若 不 “
引 理３ 若 ｐ 为奇 素 数 ， 一 成 小数 后 的循 环 则 １化
・
１ ・ ８１
管训 贵 ： 费马教 为素数 的 充要 条件 证 明
假设 为合 数 ， 令 的标准 分解式 为
∑ （ ） （ ） （ ） ．（一） ３） ＝ １ ＋２ ＋・ ３（一１］ ！ ｌ ２ － １ １ ‘ ＋ ［Ｔ ｍ
，
ｌ
２
１ …Ｐ Ｐ２
由
两边 同取模 ， 并结 合定 理 ｌ ， ＝ １ 素数 知 ２＋为
的充要条 件是
１ ．１
－， １ 即 （ ＜ １ ） 一 若ｓ １ 由ｐ ３ …， 均 为素数知 ＞ ， Ｐ， ｐ （－ １） １－ ０
一
’
！） ０ｍｏＦ ） （ ｄ￣
以下是 定理４ 的证 明 。首 先证 明其 必要性 。
一
（ 去一 ＿ｓ （１去 （ ＝１）２１） ＿（ 一 ｐｐ 去 卜Ｐ １
若ｓ ｌ 有 ＝，
（） ５
２！ （ ３！］（ ２！ １ ） 一 一 ） ＝ 一 ） 一
即
１
（ １ 一 ）
！）Ｇ －Ｆ 一 ） １ ＋ （， １！＋ ｏ （
由 为合 数 知 。 ２ 故ｐ ＞ ， ＞ Ｉ ， ｌ 因此 由式 （ ） ５ 知
一１ｍｏ Ｆ ） （ ｄ
３
定 理３
、
＝ ｌ 素数 的充 要条 件是 ２＋ 为
§１ （ ｄ ０ ７ｍｏ４ 、
这 说 明ｍ＝ ＋ 时结论 也成 立 。 ｋｌ
！ －０ｍ ＋ 为素数 的充 要条件是 ： １
３ 定 理 证 明
关 键 词 ： 马数 ； 数 ； 要 条件 ； ｌ ｎ定 理 ； ｅｍ ｔ ￣ 理 ； ｕｅ 定 理 ； 环 节 长 费 素 充 Ｗｉ ｏ ｓ Ｆ ｒ ａｄ 定 Ｅｌ ｒ 循
中图 分 类 号 ： ５ ０１ １
文 献 标 识 码 ： Ａ
文章 编 号 ：６ ３ １ ８（０ ００ — １ １０ １７ — ９ ０２ １）４ ０ ８ — ２
其 中ｐ， …， 为互 不相 同的素 数 ，ｐ￣…， ｐ Ｐ Ｏ Ｏ 为 ／
后后 ： １ ！－ ！＝后 １ （！）（＋ ） ｋ （＋ ） ！ ！一 正 整数 ， 则
可 得
Ｆ 一 ，３
（！＝２ 一 ！＋３ — ）（ — ＋． ［ ）（１ ｌ ）（１ ２ ＋４ ３ ．＋ （ １ １ １） ‘