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湖南城市学院随机过程讲稿(18).pptx
(t)]W () mW ()]d
t t0
e(t
)
W
2
t
(t)d2来自W2t
VX (t) 2E [ X (t) mX (t)]2 2E [ X (t) mX (t)]W (t) mW (t)]
2VX
(t
)
2
2 W
(t
)
初始条件VX(0)已知即可确定VX(t)。
7.4 独立增量过程的基本概念
是否和马尔可夫序列一样也 为零?
❖X(t)的方差函数:
对所有t>t0所,X(t0)与W(t)不 相关,故该项为零
E[ X (t) mX (t)]W (t) mW (t)]
e(tt0 ) E[ X (t0 ) mX (t0 )]W (t) mW (t)]
t e(t) E
t0
[ X (t) mX
X (t) X (t) W (t) mX (t) mX (t) mW (t) 上式为简单的常系数一阶微分方程,只要初始条件mX(0)已知, 就可以确定mX(t)。
❖X(t)的方差函数:
VX (t) 2X (t) K X (t,t) E[ X (t) mX (t)]2
对该式两边微分可得:
tn
etn X (tn ) etn1 X (tn1) eW ()d
tn 1
tn
X (tn ) etn tn1) X (tn1 ) etn )W ()d
tn 1
X(tn)的概率密度只与tn-1 时刻的值有关,而与tn-1 以前的值无关,因此X(tn)
为马尔可夫过程。
❖X(t)的均值函数:
❖如何求高斯-马尔可夫序列X(n+1)的自协方差KX (n, s)?
KX (n, s) E{[ X (n) mX (n)][ X (s) mX (s)]}
E
Ans
X
(s)
ns i1
Ai1W
(n
i)
Ans mX
(s)
ns i1
Ai1mW
(n
i)
X (s) mX (s)
E
Ans
X (s) mX (s)
ns i1
Ai1W
(n
i)
ns i1
Ai1mW
(n
i)
X (s) mX
(s)
E Ans X (s) mX (s) X (s) mX (s)
Ans2X (s)
马尔可夫序列的一般形式:
X (n 1) A(n) X (n) B(n)W (n)
① 高斯-马尔可夫序列X(n+1)的条件均值:
E[ X (n 1)X (n)] E( AX (n)) E[W (n)] AmX (n) mW (n)
② 高斯-马尔可夫序列X(n+1)的条件方差:
X (n 1) n
E({X (n 1) E[ X (n 1) xn]}2 ) E{[W (n) mW (n)]2} W (n)
独立 增量 过程
泊松过程 维纳过程
7.5 泊松过程 7.5.1 计数过程
[定义7.19] 在(0,t)内出现事件A的总数所组成的过程 N t , t 0
称为计数过程。
[定义7.20] 在计数过程中,如果在不相交叠的时间间隔内出现事 件A的次数是相互统计独立的,则该计数过程为独立增量过程。
W (n)
X (n 1) AX (n) W (n)
高 斯
高斯-马尔可夫序列
X (n 1)
A X (n) 延迟
高斯
A为常数 W(n)为均值为 mW (n) ,方差为 2W (n)的白噪声
❖如何求高斯特性的状态转移概率密度 f (xn1;tn1 xn ;tn ) ?
为了确定高斯概率密度,只需要知道给定X(n)的X(n+1) 的条件均值和条件方差就够了。
A(n), B(n)为确知的随时间变化的矩阵
W (n)
X (n 1)
A X (n) 延迟
7.3.2 连续的马尔可夫过程
[定义7.15] 状态和时间都是连续的马尔可夫过程称为连续的马尔可夫过程。
X (t) X (t) W (t) X (t) tX (t) (t)W (t)
Ito过程
股票预期收 益率
VX (t) 2E [ X (t) mX (t)][ X (t) mX (t)]
2E [ X (t) mX (t)][X (t) W (t) mX (t) mW (t)]
2E [ X (t) mX (t)] X (t) mX (t)] W (t) mW (t)]
2E [ X (t) mX (t)]2 2E [ X (t) mX (t)]W (t) mW (t)]
有
E X t2 X t1 X t4 X t3 0
则称这类随机过程X(t)为正交增量过程。
[定理7.13] 对于独立增量过程 X t ,t T ,如果它还满足
E
X
t
0,
E
X
t
2
,则该过程也是正交增量过程。
[定义7.18] 如果独立增量过程的增量X(tk)-X(tk-1)的分布仅与时 间差(tk-tk-1)有关,而与tk,tk-1本身无关,则称它为齐次的独立增 量过程。
第七章 马尔可夫过程
7.1 马尔可夫过程的一般概念 7.2 马尔可夫链 7.3 状态连续马尔可夫过程特性 7.4 独立增量过程的基本概念 7.5 泊松过程 7.6 维纳过程
1
7.3状态连续马尔可夫过程特性
7.3.1 马尔可夫序列
[定义7.14]状态连续,时间离散的马尔可夫过程称为马尔可夫序列。
在实际中,一般的马尔可夫序列 是对连续的马尔可夫过程进行抽 样得到的,例如,在对运动目标 (导弹,飞机)的轨迹测量中, 信号的模型常采用以下的一阶差 分方程,即:
[定义7.16] 如果在参数集T上任意选取t1<t2<t3<…<tn的n个时间 点,随机过程X(t)的增量X(t2)-X(t1), X(t3)-X(t2), …, X(tn)-X(tn-1) 是相互统计独立的随机变量,则称这类随机过程X(t)为独立增 量过程。独立增量过程是一种特殊的马尔可夫过程。
[定义7.17] 设随机过程X(t)的二阶矩存在,当 t1 t2 t3 t4时,T
股票 价格
股票价格波 动率
❖为什么说X(t)是一个马尔可夫过程?
dX (t) X (t) X (t) W (t) dt d [et X (t)] etW (t) dt
取任意两个时刻tn和tn-1,对上式两边进行tn-1到tn的积分,则
tn
[e
t
X
(t
)]tn tn1
etW ()d
tn 1