❖
xij≥0(i=1,2；j=1,2,3）
一、运输问题模型及其求解思路
❖ 2、产销平衡运输问题模型的特点 ❖ 从模型的建立可知： ❖ 列数为2（产地数）×3（销地数）＝6； ❖ 行数为2（产地数）+3（销地数）＝5；
❖ 再观察模型的系数矩阵：
一、运输问题模型及其求解思路
1 1 1 0 0 0 200 0 0 0 1 1 1 300 1 0 0 1 0 0 150 0 1 0 0 1 0 150 0 0 1 0 0 1 200
B1
B2
B3
B4 产量
A1 3
11
3 5 10 3 8
A2 1
39
2 08
3
A3 7
4
10
6
5
9
3
销量 3
6
5
6
20
二、确定初始基本可行解
B1
B2
B3
B4 产量
A1 3
11
3 4 10 0 4
A2 1
39
2 18
4
A3 7
4
10
6
5
9
3
销量 3
6
5
3
17
三、最优性检验
❖ 检验数的意义：非基变量增加一个单位， 使目标函数值增加的数量。
4
A3 7
4
10 5
9
3
6
销量 3
6
5
6
20
二、确定初始基本可行解
➢这样得到的初始基本可行解为： x11=3, x12=4, x22=2, x23=2, x33=3, x34=6，其 余均为0。 对应的总运费为： 3×3+4×11+2×9+2×2+3×10+6×5＝135
二、确定初始基本可行解
❖ 2、最小元素法
三、最优性检验
A1 A2 A3 销量
B1 3
1 3
7
3
B2 11
9
4 6
6
B3 3
二、确定初始基本可行解
❖ 为保证基变量的个数有m+n-1个，注意： ❖ 1、每次填完数，只能划去一行或一列，只有
最后一个格子例外。 ❖ 2、用最小元素法时，可能会出现基变量个数
还差两个以上但只剩下一行或一列的情况， 此时不能将剩下行或列按空格划掉，应在剩 下的空格中标上0。（退化的基本可行解）
二、确定初始基本可行解
B3
产量
4
6
200
5
5
300
150 200
销量和＝产量和 产销平衡
一、运输问题模型及其求解思路
❖ 为建立模型，设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的 运输量，得到下表：
B1
B2
B3
产量
A1
x11
x12
x13
200
A2
x21
x22
x23
300
销量 150
150
200
运量表
一、运输问题模型及其求解思路
B1
B2
B3
B4 产量
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
销量 3
4
10
5
9பைடு நூலகம்
6
5
6
20
二、确定初始基本可行解
❖ 1、西北（左上）角法
❖ 每次找最西北角的元素，让其运输量尽 可能的满足一个约束条件。
二、确定初始基本可行解
B1
B2
B3
B4 产量
A1 3 3 11 4 3
10
7
A2 1
9 22 2 8
150
150
200
产量 200 300
一、运输问题模型及其求解思路
❖ 表上作业法的总体思路和单纯形法类似：
基本可行解
是否最优解 是 结束
否
每个步骤
都充分利
换基
用运输表
的特点
一、运输问题模型及其求解思路
❖ 例：某食品公司下属的A1、A2、A3 ，3个厂 生产方便食品，要运输到B1、B2、B3、B4 ， 4个销售点，数据如下表，求最优运输方案。
直接使用线性规划单纯形法求解计算， 则无法利用这些有利条件。 ❖ 人们在分析运输规划系数矩阵特征的基 础上建立了针对运输问题的表上作业法。
一、运输问题模型及其求解思路
❖ 我们关心的量均在运价表和运量表中， 故将两表和为作业表：
A1
A2 销量
B1
B2
B3
6
4
6
x11
x12
x13
6
5
5
x21
x22
x23
❖ 运输问题中目标函数值要求最小化，因 此，当所有的检验数都大于或等于零时 该调运方案就是最优方案；否则不是。
❖ 下面介绍两种计算检验数的方法：
三、最优性检验
❖ 1、闭回路法 ❖ 闭回路：在已给出基本解的运输表上，从一
个非基变量出发，沿水平或竖直方向前进， 只有碰到基变量，才能向右或向左转90o (当 然也可以不改变方向）继续前进。 ❖ 这样继续下去，总能回到出发的那个非基变 量，由此路线形成的封闭曲线，叫闭回路。
前2行之和＝后3行之和
一、运输问题模型及其求解思路
❖ 对于产销平衡的运输问题，若产地为m 个，销地为n个，
❖ 则变量个数为m×n个，线性无关的约束 条件个数为m+n-1，
❖ 故基本解中的基变量个数为m+n-1。
一、运输问题模型及其求解思路
❖ 3、运输问题求解思路——表上作业法 ❖ 由于运输规划系数矩阵的特殊性，如果
❖ 每次找到剩下的最小运价，让其对应的 运输量尽可能的满足一个约束条件。
二、确定初始基本可行解
B1
B2
B3
B4 产量
A1 3
11
3 4 10 3 7
A2 1
39
2 18
4
A3 7
4
10
6
5
9
3
销量 3
6
5
6
20
二、确定初始基本可行解
➢用最小元素法求出的初始基本可行解为： x21 =3, x22 =1, x13 =4, x32 =6, x34=3, x14 =3, 其余均为0。 对应的总运费为： 3×1+1×2+4×3+6×4+3×5+3×10＝86
三、最优性检验
❖ 每一个非基变量都有唯一的闭回路
A1 A2 A3 销量
B1 3
1 3
7
3
B2
B3
11
3
4
9
2
1
4
10
6
6
5
B4 10
3 8
5 3
6
产量 7 4 9 20
三、最优性检验
❖ 观察x24的闭回路： ❖ 若让第一个顶点非基变量x24的取值变为1，
为了保持产销平衡，其闭回路上的顶点运量 都要调整，基数顶点+1，偶数顶点-1。 ❖ 上述调整使总的运输费用发生的变化为 8 – 10 + 3 – 2 ＝ -1 ，这就说明原方案还不是最优 方案，需要进行调整。
❖ 据题意，可建立线性规划模型：
❖ Min f = 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23
❖ s.t. x11+ x12 + x13 = 200
❖
x21 + x22+ x23 = 300
❖
x11 + x21 = 150
❖
x12 + x22 = 150
❖
x13 + x23 = 200
一、运输问题模型及其求解思路
❖ 1、问题的提出： ❖ 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三
个销地B1、B2、B3。 ❖ 各产地的产量、各销地的销量和各产地
运往各销地每件物品的运费如下表所示。 ❖ 问：应如何调运可使总运输费用最小？
一、运输问题模型及其求解思路
B1
A1
6
A2
6
销量 150
运价表
B2