1
5
2 0 2
3
则
A
0ห้องสมุดไป่ตู้
2 3
0
2
3
0
2
5
11
（2）求 f(x)1与xx2 g(x的)内1 积4。x5x2
方法一：利用定义，直接计算
f(x)g ,(x)1f(x)g(x)dx 1
方法二：利用基的度量矩阵及向量在基下的坐标可求两
个向量的内积。
f (x),g(x)在基1，x，x2的坐标分别为 (1 , 1 ,1 )T, (1 , 4 , 5 )T,
7
二、度量矩阵及性质
设 1,2,,n 为n维欧氏空间V的基，令
A1n2, ,,111
1,2 2,2
n,2
12,,nn
n,n
矩阵A也常常称为度量矩阵（或Gram矩阵），因为许 多与向量度量有关的量可以用A来描述。
8
定理1 设A为n维欧氏空间V的基1,2,的,度n 量矩阵，则
(1)矩阵A为实对称正定矩阵；
的度量矩阵为A和B，C是1,2,到,n 1,的2, 过,渡n 则 BCTAC
矩阵，
注：即同一欧氏空间不同基的度量矩阵是相合矩阵。
（证明详见P27）
10
例5 设欧氏空间 P[x]3 中的内积为 f(x)g ,(x)1f(x)g(x)dx 1
（1）求基1，x,x2的度量矩阵；
（2）求 f(x)1与xx2 g(x的) 内1积4。x5x2
a1,a2,,anT b 1 ,b 2 , ,b nT R n
定义 , a ib iTT
i
可以验证 , 满足内积的定义，称之为Rn中的标准内积。
例2 在向量空间Rn，设
a1,a2,,anT
b 1 ,b 2 , ,b nT R n
定义 ,iaibi
可以验证
,
i
也是Rn中的内积。
P26 例2.1.2 A-内积
i
说明：
在有些教材上酉空间的定义与本教材有所不同，主要是定义
中的（3），可采用：(3) k ,k,
这样，在例（7）中的内积为：
,Haibi
i
15
定理3 设A为n维酉空间V的基1,2,的,度n 量矩阵，则
(1)矩阵A为Hermite正定矩阵；
(2), V, x 1 1 x 2 2 x n n . y 1 1 y 2 2 y n n ,
(2), V, x 1 1 x 2 2 x n n , y 1 1 y 2 2 y n n ,
则
y1
n n
, xiyj i,j
i1 j1
x1,x2,,xnAyy n2xTAy
即抽象的向量的内积可通过他们在基下的坐标及度量矩阵
的双线性函数来计算。
（证明详见P26）
9
定理2 设 1,2, 与,n 为1,n2,维欧,n氏空间V的基，它们
则
y1
n n
, xiyj i,j
i1 j1
x1,x2,,xnAyy n2xHAy
定理4 设 1,2,与,n 为1,n2,维,酉n空间V的基，它们
的度量矩阵为A和B，C是1,2,到,n 1,的2,过渡,n
矩阵，则 BCHAC.
练习P38 1;2;3
即同一酉空间不同基的度量矩阵是复相合矩阵。
16
第二节 内积空间的度量 主要内容： 一、向量长度及性质 二、向量的正交性 三、标准正交基与与施密特正交化方法
空间，但其维数无限。
例4 在实线性空间中，对于任意两个n阶矩阵A，B，定 义
nn
A,Btr(AB T) aijbij i1 j1
则 ( A, B是)内积，向量空间 是R欧nn氏空间。
6
内积的性质
对于欧氏空间的向量 ,,
1. (0,)(,0)0,V; 2. (,) (,)(,); 3. (,k) k(,).
第二章 内积空间
主要内容 一、欧氏空间与酉空间 二、内积空间的度量 三、正交变换 四、正交子空间与正交投影 五、最小二乘问题
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总体概述
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2
第一节 欧氏空间与酉空间
在线性空间中，向量之间仅有加法与数乘两种代数运 算，而无向量长度、向量夹角等度量概念。向量内积 正是适应这种要求而引入的。内积空间是3维向量空 间的自然推广，故称实内积空间为欧氏空间，称复内 积空间为酉空间。
说明（1）同一线性空间可定义不同的内积，从而形成
不同的欧氏空间。
（2）不论如何定义内积，不会改变线性空间的维
数。
5
例3 在实线性空间C[a,b]中，对于任意两个连续函数， f (x),g(x) 定义
f(x)g ,(x)a bf(x)g(x)dx
利用定积分的性质，可以验证 f(x)g ,是(x内)积， C[a,b]是欧氏
17
一、向量长度及性质
1、向量长度的定义： 设V是酉（欧氏）空间， V,
定义向量长度（模或范数）为 ,.或 ()
3
一、欧氏空间
定义 在实线性空间V中，若任意两个向量 , 按某种法则有实数与之对应，记作 (, )并满足公理，
(1 ), ,;
(2) , , ,;
(3) k , k ,;
(4) ,0当且仅当 0 时等式成立.
则称实(数, ) 为向量 ,的内积.
定义了内积的实线性空间叫做欧氏空间。
4
例1 在向量空间Rn，设
解：设基1，x，x2的度量矩阵为A(aij)33 ,
a11(1,1)
1
11dx2,
1
1
a12 a21 (1,x)11 xdx0,
a13a31(1,x2)111
x2dx
2 3
,
a22(x,x)
1 x2d
1
x
2 3
,
a23a32(x,x2)11xx2dx0,
a33(x2,x2)
1 x4dx 2 ,
则
2 0 2
3 1
(f,g)TA(1,1,1) 0
2 3
0 4 0
2
3
0
2 5
5
12
三、酉空间 定义 在复线性空间V中，若任意两个向量 , 按某种法则有复数与之对应，记作 (, )并满足公理，
(1 ),(,)
( 2 ) , , ,
3 k , k ,
(4),0当且仅当 0 时等式成立
则称复数(, 为)向量 的, 内积。
定义了内积的复线性空间叫做酉空间。
13
酉空间内积的性质
对于酉空间的向量 ,,
1.(,k)k(,);
2 .( , ) ( ,) ( ,); 3 .(, ) ( ,) 0 , V .
14
例7 在向量空间Cn，设
a 1,a2, ,anT, b 1 ,b 2, ,b nT C n 定义 ,Haibi则Cn成为酉空间。