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牛顿法的几何意义
由（1）式知 xk1 是点 (xk , f (xk )) 处 y f (x) 的切线
y f (xk ) x xk

f (xk ) 与X轴的交点的横坐标（如图）。也就
是说，新的近似值xk1 是用代替曲线y=f(x)的切线与x
轴相交得到的。继续取点 (xk1, f (xk1)) ,再做切线与x轴相
mgxk xk x* gxk mgxk xk x* gxk
lim k
xk1 x* xk x*
= lim k
mgxk xk x* gxk mgxk xk x* gxk
m 1g x* = mg x*
Tailor展开
1 m h
f ( x*) hf ( x*) h m f (m) ( x*) O(h m1 ) m!
f ( x*) hf ( x*) h m1 f (m) ( x*) O(h m )
(m 1)!
1 m h
h m f (m) ( x*) O(h m1 ) m! h m1 f (m) ( x*) O(h m )
x1 x0 x1
，当... x1
c时。
的控制常数，一般可取c=1。
步四、修改。如果迭代次数达到预定指定的次数N，或者
f1 0 则方法失败；否则以 (x1, f1, f1)代替(x0 , f0 , f0)转
步二继续迭代。
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6
例题
例1:用牛顿法求下面方程的根f (x) x3 2x210x 20 解 因 f (x) 3x2 4x 10 ,所以迭代公式为
m 1 0 m
此时，Newton 法具有线性敛速。
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2)修正Newton法求m重根迭代公式
xk 1

xk
m
f (xk ) f (xk )
注：若 x* 是方程 f (x) 0 的m重根，而 f (m)(x)在 x* 的 某一邻域内连续，则修正 Newton法是局部收敛的，并具
k0
1
2
3
xk 0.880000 0.884688 x n 1 x n f ( x n ) / f ( x0 )
0.884675
0.884675
满足了精度要求 0.7826上5 一页=0.8下84一67页5
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8
1）当用 Newton 法求ｍ重根时，不妨设
f（x）= x x* mgx
交，又可得xk2 ,。由图可见，只要初值取的充分靠
近 ,这个序列就会很快收敛于 。
Newton迭代法又称切线法
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3
y
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4
牛顿迭代法的步骤

步一、准备。选定初始近似值
x
，计算f
0
0

f (x0 )
f0 f (x0 )

步二、迭代。按公式 x1 x0
( f (x) 0)
在 f(x)=0的根 的某个邻域 R( x ) 内, f (x) 0
f (x) f (x)
(x) f (x)2 L 1
在 的邻域R 内，对任意初值 x0 ，应用由公式（1）来解方程的方
法就称为牛顿迭代法。它是解代数方程和超越方程的有效方法之一.
g x* 0
f （x）=m x x* m1gx x x* m gx
= x x* m1mgx x x *gx
xk1 x* xk

f f
x k x k


x
*
=
xk
x*
四次迭代就得到了较满意的结果.
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例2 计算 0.78265 的近似值。 =10-6 x0=0.88
解： 令x= 0.78265 问题转化为求ƒ(x)= x2-0.78265=0的正根
由牛顿迭代公式
迭代结果
xk+1= xk-ƒ(xk)/ƒ'(xk)= xk/2+0.78265/2xk
f0 f 0
迭代一次，得到新的
近似值x1 ，计算f1 f (x1), f1 f (x1)
步三、控制。如果x1 满足 1 。 则终止迭
代，x1以 作为所求的根；否则转步四。此处1
是允
许误差,
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5
而



x1 x0 ,当.. x1 c时；。其中c是取绝对值或相对误差
NewtonLeabharlann 代法的基本思想设 XK
是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在X K
处作泰勒展开
f (x)

f
(xk )
f
(xk )(x xk )
f
(xk ) (x 2!
xk )2

若取前两项来近似代替f(x)(称为f(x)的线性化)，则得近似的线性
方程
f (x) f (xk ) f (xk )(x xk ) 0
设 f (xk ) 0 ,令其解为xk1
,得

xk 1
xk

f (xk ) f (xk )
这称为f(x)=0的牛顿迭代格式。
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（1)
1
它对应的迭代方程为 x x f (x) 显然是f(x)=0的同解方程， f (x)
故其迭代函数为
(x) x f (x) f (x)
有至少二阶的收敛速度。
因为：考察函数 (x) 用定义求导
xm
f (x) f (x)
在x * 处的导数
x * h m f (x * h) x *
(x * h) (x*)
f (x * h)
h
h
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1 m f (x * h) h f (x * h)
xn1 xn (xn3 2xn2 10xn 20) /(3xn2 4xn 10) 选取x0 1,计算结果 列于下表
n
1
2
3
4
xn
1.411764706 1.369336471 1.368808189 1.368808108
从计算结果可以看出,牛顿法的收敛速度是很快的,进行了