v l
F 3 l
3 Fp Fm3 300 20 2400000 N 2400 kN l
5.按雷诺准则和佛劳德准则导出的物理量比尺表 比尺
名称
λυ=1 长度比尺λl 流速比尺λv λl λl-1
雷诺准则 λυ≠1 λl λυλl-1
弗劳德准则 λl λl1/2
加速度比尺λa
取m个基本量，组成(n－m)个无量纲的π项
F 1 , 2 ,, nm 0
例：求有压管流压强损失的表达式 解：步骤
a.找出物理过程中有关的物理量，组成未知的函数关系
f p, ,, l , d , , v 0
b.选取基本量
n7
常取：几何学量l（d），运动学量v，动力学量ρ
vp vm

up um
v λv——速度比尺
l t tm lm vm v
tp lp vp
时间比例尺 加速度比尺
v 2 a v t l
qV p qVm
流量比例尺 q 运动粘度比例尺 角速度比例尺
3 3 l 2l v lm tm t
Re
vl

雷诺数——粘性力的相似准数
（2）佛劳德准则——重力是主要的力
FGP FIP FGm FIm
改成
FIm FIP FGP FGm
FG mg gl 3
FI l 2v 2
2 vm g p l p g m lm
v2 p
无量纲数
v2 Fr gl
佛劳德数——重力的相似准数 （3）欧拉准则——压力是主要的力
20 vm v p 300 6000km / h lm 1 lp
难以实现，要改变实验条件
（2）改用水
水 1.007106 m2 / s
空气 15.7 106 m2 / s
v pl p vmlm
p
m
201.007106 vm v p 300 385km / h 6 lm p 115.7 10
FE El 2
FI l 2v 2
改成
FIP FIm FEP FEm
E——弹性模量
Pv2 p
Ep

2 m vm
Em
（*）
无量纲数
Ca
v 2
E
柯西数——弹性力的相似准数
气体：将 a
E
v P vm a P am
无量纲数

代入（*）式，得
v M a
马赫数——弹性力的相似准数
p l f1 , , 2 v vd d d
p l f1 , , 2 v vd d d
实验结果表明：压力损失与相对管长成正比
p 1 l f2 , 2 v Re d d
2 l l v p f 2 Re, v 2 d d d 2
1
2
LT

1 a1
L ML
比较两边系数
1 c1 1 a1 b1 3c1 2 a1
得a1=2，b1=0，c1=1 同理 2
p 1 2 v
4 d

vd
l 3 d
e.整理方程式
p l F 1 , 2 , 3 , 4 F v 2 , vd , d , d 0
k f 2 Re, d
（2）瑞利法 有关物理量少于5个
f q1 , q2 , q3 , q4 0
3个基本量，只有一个π项 小结：变量的选取——对物理过程有一定程度 的理解是非常重要的
谢谢!
成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相似 流动中应该是相等的 （1）雷诺准则——粘性力是主要的力
FTP FIP FTm FIm
改成
FIP FIm FTP FTm
dv FT A lv lv dy
FI ma l 2v 2
v pl p
p

vmlm
m
无量纲数
第四章 相似原理和量纲分析
§4-1相似原理
1.力学相似的基本概念 （1）几何相似
lp lm

dp dm
l
p m
λl——长度比尺
Ap Am

2 lp
l
2 m

2 l
vp vm

l l
3 p 3 m
3 l
几何相似只有一个长度比尺，几何相似是力学 相似的前提
（2）运动相似
高为10/5=2m，风口直径为0.6/5=0.12m
原型是空气υp=15.7×10-6m2/s
Re vd

3 107
属阻力平方区（自模区）
因此采用粗糙度较大的管子，提前进入自模区 （Re=50000）
vm 0.12 Re 50000 vm 6.5m / s 6 15.7 10
FT FG FP FE FI 0
动力相似→对应点 上的力的封闭多边 形相似
动力相似是运动相似的保证
动力粘度的比例尺
l v
无量纲系数的比例尺
C 1
相同介质重力加速度的比例尺
g 1
2.相似准则
常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比，组
基本量独立条件：指数行列式不等于零
m=3
dim v LT 1
dim d L
a1 0，b1 1 ，c1 1
a2 0，b2 1 ，c2 0
dim ML3
a3 1 ，b3 3，c3 0
0
1
1 0 1 0 0
0 1 1 3
c.基本量依次与其余物理量组成π项，共n－m=7－3=4个
如 dim Re dim
vd

LT L M
1
0 0
L2T 1
L T 0 1
无量纲物理量的意义： （1）客观性；
（2）不受运动规模的影响；
（3）清楚反映问题实质（如一个系列一条曲线）；
（4）可进行超越函数的运算
3. 量纲分析法
（1）π定理（布金汉法）
f q1 , q2 ,, qn 0
Q vA vl 2
Q vl2
佛劳德准则： v l
2 Q 5 l 2 52 3 Qp Qm5 300 20 537000 L / s 537 m /s l
F ma v2l 2
2 F 2 v l
密度不变的水： 1 由佛劳德准则
FPP FIP FPm FIm
改成
FPP FPm FIP FIm
2
FP l
FI l v
2 2
Pm PP 2 2 P v P m vm
p 无量纲数 Eu 2 v
p v 2
欧拉数——压力的相似准数
（4）柯西准则——弹性力是主要的力
FEP FIP FEm FIm
（5）其它准数
W
v 2l

惯性力 表面张力
韦伯数——表面张力的相似准数
Sr
l
v
vt l
时变惯性力 位变惯性力
斯特洛哈尔数——脉动角频率的相似准数
gd0 T0 Ar 2 v0 Te
浮力与重力之差（有效 重力） 惯性力
此时 v 8 1.23 6.5
例2：弦长为3m的机翼以300km/h的速度在温度为20℃、
压强为1at的静止空气中飞行，用λl=20的模型在风洞中 作试验：（1）如果风洞中空气的温度和压强不变，风 洞中空气速度应为多少？ 解：风洞实验中粘性力是主要的——雷诺准则 υ相同
v pl p vmlm
l pm
（3）改变压强（30at），温度不变
等温过程p∝ρ，且μ相同
vl Re pvl
p p v pl p pmvmlm
20 1 vm v p 300 200km / h lm Pm 1 30 lp pp
例3：溢水堰模型，λl=20，测得模型流量为300L/s，水 的推力为300N，求实际流量和推力 解：溢水堰受到的主要作用力是重力，用佛劳德准则
l3 p tp
l v
v l
运动相似只有一个速度比尺，运动相似是实验 的目的 （3）动力相似
p 密度比例尺 m
pVp 质量比例尺 m 3 l mm mVm
mp
力的比尺
F
Fp Fm
ma l22 v
力多边形法则：
§4-2 量 纲 分 析
1.量纲 量纲的和谐性 基本量纲——相互独立的 不可压缩流体的基本量纲——M、L、T
a b c dim A M LT 物理量A的量纲
2 dim F MLT 如
a0 a0 a0
b0
c0 c0
——几何学量 ——运动学量 ——动力学量
2.无量纲的物理量
abc0
阿基米德准数——温差、浓差射流的轴线弯曲的相似准数
3.准则的选择 很难实现同时满足两个以上准数相等 例：若同时满足Re数相等和Fr数相等 （1）同种介质（υp=υm） Re：v pl p vmlm
2 v Fr（gp=gm）： m l p lm
v
1
l
v2 p
v l

1
l
l
l 1 失去模型实验的价值
（2）不同介质（υp≠υm）
v pl p vmlm Re：
p
m
v l
v l
Fr：