圣才学习网高中物理奥林比亚题库台北 张镇麟老师编辑 单元二：静力学1. [弹簧]： 如图所示，原长 LO 为 100 公分的轻质弹 簧放置在一光滑的直槽内，弹簧的一端固 定在槽的 O 端， 另一端连接一小球， 这一 ho 装置可以从水平位置开始绕 O 点缓缓地 转到铅直位置，设弹簧的形变总是在其弹 O 性限度内，试在下述(a)、(b)两种情况下， Lo 分别求出这种装置从原来的水平位置开 始缓缓地绕 O 点转到铅直位置时小球离开原水平面的高度 ho。

(a)在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现 40 公分的极大。

(b)在转动过程中，发现小球离原水平面的高度不断增大。

【答案】 (a)37.5cm (b)100cm＞ho＞50cm 2. [虎克定律]： 一很轻的水平金属丝在相距为 的两个支柱上，刚好张紧，但此时张力 可以忽略不计。

金属丝的弹力常数为 K，一个质量 m 的质点系于金属丝 中点，并令其下。

计算让质点开始回升前所下落之高度 h。

【答案】 2h=(mg 13 ) K3. [力平衡]：如图所示，AB,BC,CD 和 A DE 为质量可忽略的等长细线，长度 5m mv 均为 5 公尺，A、E 端悬挂在水平天 B 花板上，AE=14 公尺，B、D 是质量 均为 mo=7 公斤的相同小球，质量为 M 的重物挂于 C 点，平衡时 C 点离 天花板的垂直距离为 7 公尺， 则质量 M 若干？ 【答案】 M=18kg14m 7m mD D 5m C 5m ME 5m中华物竞赛网圣才学习网4. [弹力与张力]：如图所示，一半径为 R 的刚性光滑 球体静止放置，质量为 M 的圆环状均匀弹性绳水 平套在球体上，已知绳环原长时的半径为 a=R/2， 假设弹性 套在球体上时绳环的半径变为 b= 2a 。

绳满足虎克定律，求此弹性绳之弹力常数 K。

【答案】b M RK=2 + 1 Mg ( ) 2π2 Rαm5. [弹力与张力]：如图所示，静止的圆锥体铅直放 置， 顶角为 α ，有一质量为 m 并分布均匀的细 炼条圆环水平地套在圆锥体上。

忽略炼条与锥面 之间的摩擦力，试求炼条中的张力 T。

【答案】T=mg α cot 2π 26. [弹力与张力]： W 自然长度为 a 弹力常数为 k 重 的弹性圈放置在顶角为 2 α 的光滑垂直的正圆 锥体上， 如图所示。

试求平衡时圈面离圆锥顶点 的距离 h。

【答案】ααhh=cot α W ( cot α + a) 2π 2πk7. [张力]： 如图所示， 两垂直杆 MN 与 PQ 相 距 2 公尺，一根长 2.4 公尺的绳的两端拴 在这两杆上，第一次令两拴点等高，第二 次使两拴点不等高，用一光滑的钓子把一 重 50 牛顿的物体挂在绳子上， 请问那一次 绳子的张力较大？又绳子张力分别为若干 牛顿？ 【答案】 一样大，张力 T = 45N 8. [张力与力]： 如图所示为一平面支架， 由绳索 1、2、3 悬挂使它位于水平 平面。

杆 AD、BE、与 CF 的长度均 相等，D、E、F 分别位于杆 BE、CF 和 AD 的中点， F 端作用有铅直向 在 下之力 P，求绳索张力 T1 ， T2 及1 AMPNQ3 C B P D 2 F B中华物竞赛网圣才学习网T3 (杆重不计)。

【答案】T1 =4 2 1 P ， T2 = P ， T3 = P 7 7 7B C9. [张力与平衡]： 均质重炼的两端分别接连两 个小球 A 与 B，且 A、B 重量分别为 P 与 Q，置于半径为 R 的光滑半圆柱面上。

炼 的单位长度重为 μ ，炼长由图所示的已知 A 角 α 确定。

试求系统平衡时的位置(由垂直 于 AB 的直线 OC 与水平所成的 φ 角表示)。

【答案】Rαψtan φ =(P + Q) cos α－2μR sin α (P - Q) sin α10. [张力]：三个不相同的均质小球放在光滑水平 桌面上，用一根橡皮筋把三球束縳起来。

三个 小球的质量均为 m， 半径均为 R。

再如图所示， 将一个质量为 3m，半径也为 R 的均质小球放 在原三球中间正上方，因受橡皮筋约束，下面 三小球并未分离。

设系统处处无摩擦，试求放 置第四个小球后，橡皮筋张力的增加量。

【答案】O2 O1 O3 O46 mg 6y A Θ G O C C B11. [正向抗力]： 均质杆 AB， 长度为 a， 一端靠在光滑铅直墙上，另一端靠 在光滑固定的侧面上，侧面为柱 面， 柱轴垂直 Oxy 面。

如果要使杆 子在 Oxy 面内的任意位置均是平 衡位置，则侧面应是什么形状的柱 面？ 【答案】X椭圆柱面，椭圆方程为 x 2 + (2y－a)2 = a2R ＋r中华物竞赛网圣才学习网12. [正向力]：有三个光滑的圆柱体，重量相等，且半径均为 r，同置于一块 ＋ 曲率半径为 R 之光滑曲面上如图所示。

试证明下面两个圆柱体不致被压而分开 之条件为： R ≤ (1 + 2 7 )r【答案】 13. [正向力]： 四个相同的球静止在光滑的大半球形碗内， 它们的中心同在一 水平面内，今以另一相同的球放在四球之上，若碗的半径大于球的半径 K 倍时，则四球将互相分离。

求 K 值。

(所有的接触面都是光滑的) 【答案】K = 2 13 + 114. [力矩平衡]：如图所示，直径都是 d 质量都是 m 的金属球置于直径为 D 的筒内，已知 2d＞D＞d，试证筒的质量 M 至 少等于2(D－d)m ， 圆筒才能倒扣住两金属球 D而不 翻倒。

【答案】 15. [力矩与平衡]：有 6 个完全相同的刚 其两 性长条形薄片 AiBi(I=1,2……6)， 端下方各有一个小突起，薄片及突起 的重力均不计。

现将此 6 个薄片架在 一水平的碗口上，使每个薄片一端的 小突起恰在碗口上，另一端小突起位 于其下方薄片的正中央，由正上方俯 视如图所示。

若将一质量为 m 的质点 放在薄片 A 6B 6 上一点，这一点与此 薄片中点的距离等于它与小突起 A 6B4 B5 A6 m A1 A5 B3A4B6A2A3 B1B2的距离。

求薄片 A 6B 6 中点所受的(由另一小薄片的小突起 A 1 所施的)压 力。

【答案】 mg/42 16. [力矩与平衡]：一均匀圆桌面由三条相互等距的桌腿在圆桌边缘上支撑 着，桌腿重量忽略不计。

某人坐在正对着一条桌腿的圆桌边上，恰好使 圆桌以另两条桌腿着地点联机为轴而倾倒。

圆桌倾倒后他再坐到圆桌面 的最高点上，恰好又能使圆桌恢复过来。

求桌面半径与桌腿长度之比值。

【答案】2A中华物竞赛网圣才学习网17. [力矩与平衡]： 右图为一半径为 R 质量为 m1 的均匀圆球 O 与一质量为 m2 的重物 E 分别 用细绳 AD 和 ACE 悬挂于同一点 A， 并处于 平衡。

已知悬点 A 到球心 O 的距离为 ，不 考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆 球的绳 AD 与铅直线的夹角θ之正弦值 sin θ。

【答案】DOCEsin θ =m2R (m1 + m2 )18. [力矩与正向力]：如图所示，一质量为 m 的 均匀光滑圆棒，静止在瓷盆中，与铅直线成 60 o 角，棒的一端与盆底接触，另一端露在 盆口之外，盆口外部分占捧全长的601 求盆口 6处及盆底作用于棒的力的量值和方向。

【答案】F1 =37 3 3 3 3 mg ， F2 = mg ； tan θ = 10 10 1119. [力矩与正向力]：有一半球形的光滑碗，其上搁 置一长为 2 的均匀细棒，如碗的半径为 R，且6 R ，求细棒平衡时与水平方向 有 2R＞ ＞ 3的夹角 θ 为多少？ 【答案】RΘcosθ =8R± (8R)2 +1 2A20. [正向力与平衡]：如图所示，一光滑半球形容器，直 径为 a，其边缘恰好与一光滑垂直墙壁相切。

现有一 均匀直棒 AB，其 A 端靠在墙上，B 端与容器底相接 触，当棒倾斜与水平成 60角时棒恰好静止。

求棒的 长度。

【答案】B60 α1 (1 + )a 13中华物竞赛网圣才学习网21. [抗力与平衡]：如图所示，一根细棒，上端 A 处用 A 绞炼与天花板相连，下端 B 用绞炼与另一细棒相 连，两棒长度相等，两棒只限于图示的垂直面内 运动，且不计绞炼处的摩擦。

当在 C 端加一适当 B 的外力(在纸面内)可使两棒平衡在图标位置处， 即 两棒间夹角为 90， C 端正处在 A 端的正下方。

且 C (1)不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向的范围内？ (2)如果 AB 棒的质量 1 公斤，BC 棒的质量 2 公斤，求此外力的和方向。

【答案】 (1)在角 ACB 内向右上方 (2) F =5 3 58 [N] ； sin θ = 2 58y C(-2,0) B(0 23)22. [合力作用点]：如图所示，在正三角形 ABC 的三个顶点沿三边分别作用三个共平面力。

FA = 2 牛顿，FB = 4 牛顿，FC = 8 牛顿，则这三个力的合力的作用线与 y 轴的交点的坐 标为何？ 【答案】FA Fc O A(2,0)X3 323. [力矩与平衡]：如图所示，两完全相同的木板， 质量均为 m， 彼此以光滑铰链相接， 长度均为 ， 并通过光滑铰链与铅直墙相连， 为使两木板均呈 水平状态达到平衡， 试问应在何处施力？最小的 作用力是多少？ 【答案】1A23 mg 224. [刚体平衡]：轻质横杆 OB，其 O 端用铰链固定 A 在墙上，B 点用轻绳挂紧，使杆处于水平状态。

在 B 点挂重为 W 的物体，如图所示，AB 与 OB 的夹角为 θ 。

在把重物的悬点向 O 端移动的过 程中，求墙对杆的作用力的最小量值。

【答案】 Wcos θ 25. [抗力与平衡]：如图所示，薄均质三角板，三 边长 AB、BC、AC 分别为 2R、 3R 、R， 将此板板面垂直地放在光滑的、 半径为 R 的铅 直圆环中，在静止时，三角板的斜边 AB 与水0 OBB θ A C O中华物竞赛网圣才学习网 平的夹角 θ 为多大？【答案】θ = 30 o26. [力矩与平衡]：如图所示，代表某一铅直平 面， 在此面内有两根均匀细杆 AB 和 BC， 质 量相同， 长度分别为1,2 它们共同接触水 AιC ι2 ψ2 B平地面，端点记为 B，各自的另一端 A 和 C 分别靠在相对的两堵垂直墙上。

已知墙面间 距离为 ，且 > 1 , >2ι1 ψ1, 1≠ 2 , 1 + 2 > ，且系统处处无摩擦，试求两杆平衡时它们与水平地面倾斜角 φ1、φ2 各多 大？ 【答案】 φ1=φ2= cos－11+227. [抗力与平衡]：如图所示，一 轻质木板 EF 长为 L， 端用 E 铰炼固定在铅直墙面上，另 一端用水平轻绳 FD 拉住。