2019-2020学年北京市101中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择：本大题共8小题，每题3分，共24分1．（3分）抛物线223y x x =++的对称轴是( )A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =-D ．直线2x =2．（3分）剪纸是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）如图，ABC ∆∽△A B C '''，AD 和A D ''分别是ABC ∆和△A B C '''的高，若2AD =，3A D ''=，则ABC ∆与△A B C '''的面积的比为( )A ．4:9B ．9:4C ．2:3D ．3:24．（3分）已知点1(2,)A y 、2(,)B m y 是反比例函数(0)k y k x =>的图象上的两点， 且12y y <． 满足条件的m 值可以是( )A ．6-B ．1-C ． 1D ． 35．（3分）如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，若14AB =，7BC =．则BDC∠的度数是( )A．15︒B．30︒C．45︒D．60︒6．（3分）如图，在ABC==，以点C为中心，把ABC∆逆时AB AC∠=︒，4BAC∆中，90针旋转45︒，得到△A B C''，则图中阴影部分的面积为()A．2B．2πC．4D．4π7．（3分）如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为(2,3)-、(1,3)，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为()A．1-B．3-C．5-D．7-8．（3分）如图，点A，B，C，D，E为O的五等分点，动点M从圆心O出发，沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动，设运动的时间为t，DM E∠的度数为y，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是()A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，O 的半径为3，则正六边形ABCDEF 的边长为 ．10．（3分）如图，把ABC ∆绕着点A 顺时针方向旋转，得到△A B C ''，点C 恰好在B C ''上，旋转角为α，则C '∠的度数为 （用含α的式子表示）．11．（3分）在反比例函数32m y x-=的图象上有两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，120x x <<，12y y >，则m 的取值范围是 ．12．（3分）如图，PA ，PB 分别与O 相切于A ，B 两点，PO 与AB 相交于点C ，6PA =，60APB ∠=︒，则OC 的长为 ．13．（3分）如图，双曲线k y x =与抛物线2y ax bx c =++交于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，由图象可得不等式组20k ax bx c x<<++的解集为 ．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，COD ∆可以看作是AOB ∆经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转、位似）得到的，写出一种由AOB ∆得到COD ∆的过程： ．15．（3分）《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，包括246个数学问题，分为九章．在第九章“勾股”中记载了这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”这个问题可以描述为：如图所示，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，勾为AC 长8步，股为BC 长15步，问ABC ∆的内切圆O 直径是多少步？”根据题意可得O 的直径为 步．三、解答题（共52分，第16-24题，分别是：5，5，6，6，6，6，8，6，7分）16．（5分）解方程：22410x x --=（用配方法）17．（5分）计算：1212sin30()8|3|cos 452-︒+--+︒． 18．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线22y x =--与双曲线k y x=交于(,2)M a ，(1,)N b 两点．（1）求k ，a ，b 的值．（2）若P 是y 轴上一点，且MPN ∆的面积是6，直接写出点P 的坐标 ．19．（6分）小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程．已知：如图，在ABC ∆和△A B C '''中，A A '∠=∠，B B '∠=∠．求证：ABC ∆∽△A B C '''．证明：在线段A B ''上截取A D AB '=，过点D 作//DE B C ''，交A C ''于点E ．由此得到△A DE '∽△A B C '''．A DEB ''∴∠=∠．B B '∠=∠，A DEB '∴∠=∠．A A '∠=∠，∴△A DE ABC '≅∆．ABC ∴∆∽△A B C '''．小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：（1）首先，通过作平行线，依据 ，可以判定所作△A DE '与 ；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A DE '与 ；（3）最后，可证得ABC ∆∽△A B C '''．20．（6分）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 中点，点P 在射线AB 上，过点P 作线段AE 的垂线段，垂足为F ．（1）求证：PAF AED ∆∆∽；（2）连接PE ，若存在点P 使PEF ∆与AED ∆相似，直接写出PA 的长 ．21．（6分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，以BC 为直径的O 交AB 于点D ，O 的切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：E 是AC 中点；（2）若10AB =，6BC =，连接CD ，OE ，交点为F ，求OF 的长．22．（8分）已知抛物线1l 与2l 形状相同，开口方向不同，其中抛物线217:82l y ax ax =--交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且6AB =；抛物线2l 与1l 交于点A 和点(5,)C n ．（1）求抛物线1l ，2l 的表达式；（2）当x 的取值范围是 时，抛物线1l 与2l 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线//MN y 轴，与x 轴、1l 、2l 分别相交于点(,0)P m 、M 、N ，当28m 时，求线段MN 的最大值．23．（6分）如图，直线AM 和AN 相交于点A ，30MAN ∠=︒，在射线AN 上取一点B ，使6AB cm =，过点B 作BC AM ⊥于点C ，D 是线段AB 上的一个动点（不与点B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．（1）确定点B 的位置，在线段AB 上任取一点D ，根据题意，补全图形；（2）设AD x = cm ，CE y = cm ，探究函数y 随自变量x 的变化而变化的规律． ①通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组对应值，如下表： /x cm 01 2 3 4 5 /y cm5.2 4.4 3.8 3.5 8.1（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）②建立平面直角坐标系xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；③结合画出的函数图象，解决问题：当AD为Rt CDE∆斜边CE上的中线时，AD的长度约为cm（结果保留一位小数）．24．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，若在图形G上存在一点N，使M，N两点间的距离等于1，则称M为图形G的和睦点．（1）当O的半径为3时，在点1(1,0)P，2(3P1)，37 ( 2P，0)，4(5,0)P中，O的和睦点是；（2）若点(4,3)P为O的和睦点，求O的半径r的取值范围；（3）点A在直线1y=-上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点(2E2)，若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标Ax的取值范围．2019-2020学年北京市101中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择：本大题共8小题，每题3分，共24分1．（3分）抛物线223y x x =++的对称轴是( )A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =-D ．直线2x = 【解答】解：2223(1)2y x x x =++=++，∴抛物线的对称轴为直线1x =-．故选：B ．2．（3分）剪纸是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、是中心对称图形，故本选项正确；B 、不是中心对称图形，故本选项错误；C 、不是中心对称图形，故本选项错误；D 、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A ．3．（3分）如图，ABC ∆∽△A B C '''，AD 和A D ''分别是ABC ∆和△A B C '''的高，若2AD =，3A D ''=，则ABC ∆与△A B C '''的面积的比为( )A ．4:9B ．9:4C ．2:3D ．3:2【解答】解：ABC ∆∽△A B C '''，AD 和A D ''分别是ABC ∆和△A B C '''的高，2AD =，3A D ''=， ∴23AB AD A B A D ==''''， ABC ∴∆与△A B C '''的面积的比224()39==， 故选：A ．4．（3分）已知点1(2,)A y 、2(,)B m y 是反比例函数(0)k y k x =>的图象上的两点， 且12y y <． 满足条件的m 值可以是( )A ．6-B ．1-C ． 1D ． 3【解答】解：0k >，∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，由题意得，02m <<，故选：C ．5．（3分）如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，若14AB =，7BC =．则BDC∠的度数是( )A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【解答】解：如图，连接OC ．14AB =，7BC =，7OB OC BC ∴===，OCB ∴∆是等边三角形，60COB ∴∠=︒， 1302CDB COB ∴∠=∠=︒， 故选：B ．6．（3分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，以点C 为中心，把ABC ∆逆时针旋转45︒，得到△A B C ''，则图中阴影部分的面积为( )A ．2B ．2πC ．4D ．4π【解答】解：在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==， 2242BC AB AC ∴=+=，45ACB A CB ''∠=∠=︒，∴阴影部分的面积2245(42)114544444236022360πππ=-⨯⨯+⨯⨯-=， 故选：B ．7．（3分）如图，一条抛物线与x 轴相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动．若点A 、B 的坐标分别为(2,3)-、(1,3)，点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为( )A ．1-B ．3-C ．5-D ．7-【解答】解：根据题意知，点N 的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B 点，点N 的横坐标最大，此时的M 点坐标为(2,0)-，当对称轴过A点时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为(1,0)，M点的坐标为(5,0)-，故点M的横坐标的最小值为5-，故选：C．8．（3分）如图，点A，B，C，D，E为O的五等分点，动点M从圆心O出发，沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动，设运动的时间为t，DM E∠的度数为y，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是()A．B．C．D．【解答】解：根据题意，分3个阶段；①P在OA之间，DM E∠逐渐减小，到A点时，为36︒，②P在AC之间，DM E∠保持36︒，大小不变，③P在CO之间，DM E∠逐渐增大，到O点时，为72︒；又由点P作匀速运动，故①③都是线段；分析可得：B符合3个阶段的描述；故选：B．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，O 的半径为3，则正六边形ABCDEF 的边长为 3 ．【解答】解：正六边形ABCDEF 内接于O ，O 的半径为3， 而正六边形可以分成六个边长的正三角形，∴正多边形的半径即为正三角形的边长， ∴正三角形的边长为3，∴正六边形ABCDEF 的边长为3，故答案为：310．（3分）如图，把ABC ∆绕着点A 顺时针方向旋转，得到△A B C ''，点C 恰好在B C ''上，旋转角为α，则C '∠的度数为 902α︒-（用含α的式子表示）．【解答】解：ABC ∆绕着点A 顺时针方向旋转α得到△A B C ''， AC AC ∴='，CAC α∠'=，C C ∠=∠'， 1(180)9022C αα∴∠'=︒-=︒-，902C α'∴∠=︒-．故答案为：902α︒-．11．（3分）在反比例函数32my x-=的图象上有两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，120x x <<，12y y >，则m 的取值范围是 32m <． 【解答】解：120x x <<，12y y >，320m ∴->，解得：32m <， 故答案为：32m <． 12．（3分）如图，PA ，PB 分别与O 相切于A ，B 两点，PO 与AB 相交于点C ，6PA =，60APB ∠=︒，则OC 的长为3 ．【解答】解：连接OA ．PA ，PB 切O 于点A ，B ，90OAP ∴∠=︒，1302APO APB ∠=∠=︒，3633OA ∴===60AOP ∠=︒ 132OC OA ∴==313．（3分）如图，双曲线ky x=与抛物线2y ax bx c =++交于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，由图象可得不等式组20kax bx c x<<++的解集为 23x x x << ．【解答】解：由图可知，23x x x <<时，20kax bx c x<<++， 所以，不等式组20kax bx c x<<++的解集是23x x x <<． 故答案为：23x x x <<．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，COD ∆可以看作是AOB ∆经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转、位似）得到的，写出一种由AOB ∆得到COD ∆的过程： 以原点O 为位似中心，位似比为12，在原点O 同侧将AOB ∆缩小，再将得到的三角形沿y 轴翻折得到COD ∆ ．【解答】解：以原点O 为位似中心，位似比为12，在原点O 同侧将AOB ∆缩小，再将得到的三角形沿y 轴翻折得到COD ∆， 故答案为：以原点O 为位似中心，位似比为12，在原点O 同侧将AOB ∆缩小，再将得到的三角形沿y 轴翻折得到COD ∆15．（3分）《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，包括246个数学问题，分为九章．在第九章“勾股”中记载了这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”这个问题可以描述为：如图所示，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，勾为AC 长8步，股为BC 长15步，问ABC ∆的内切圆O 直径是多少步？”根据题意可得O 的直径为 6 步．【解答】解：90C ∠=︒，8AC =步，15BC =步，2217AB AC BC ∴=+=步，ABC ∴∆的内切圆O 直径815176=+-=步，故答案为：6．三、解答题（共52分，第16-24题，分别是：5，5，6，6，6，6，8，6，7分）16．（5分）解方程：22410x x --=（用配方法） 【解答】解：22410x x --=21202x x --= 212112x x -+=+23(1)2x -=1612x ∴=+，261x =-．17．（5分）计算：1212sin30()8|3|cos 452-︒+--+︒．【解答】解：原式21222223(2=⨯+-+1122232=+-+1222=- 18．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线22y x =--与双曲线ky x=交于(,2)M a ，(1,)N b 两点．（1）求k ，a ，b 的值．（2）若P 是y 轴上一点，且MPN ∆的面积是6，直接写出点P 的坐标 (0,2)或(0,6)- ．【解答】解：（1）把(,2)M a 、(1,)N b 代入22y x =--中得：222a --=，224b =--=-， 2a ∴=-，4b =-，即(2,2)M -，(1,4)N -， 把(2,2)M -代入ky x=中，得4k xy ==-， 4k ∴=-，2a =-，4b =-；（2）设直线22y x =--与y 轴交于点A ，令0x =，即2y =-，故(0,2)A -， 11()(12)622MPN PAM PAN N M S S S PA x x PA ∆∆∆=+=⨯-=⨯⨯+=， 4PA ∴=(0,2)P ∴或(0,6)-，故答案为(0,2)或(0,6)-．19．（6分）小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程． 已知：如图，在ABC ∆和△A B C '''中，A A '∠=∠，B B '∠=∠． 求证：ABC ∆∽△A B C '''．证明：在线段A B ''上截取A D AB '=，过点D 作//DE B C ''，交A C ''于点E ． 由此得到△A DE '∽△A B C '''．A DEB ''∴∠=∠． B B '∠=∠， A DE B '∴∠=∠． A A '∠=∠，∴△A DE ABC '≅∆．ABC ∴∆∽△A B C '''．小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：（1）首先，通过作平行线，依据 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 ，可以判定所作△A DE '与 ；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A DE '与 ； （3）最后，可证得ABC ∆∽△A B C '''．【解答】解：小明将证明的基本思路概括如下：（1）首先，通过作平行线，依据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可以判定所作△A DE '与△A B C '''相似；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A DE '与ABC ∆全等；（3）最后，可证得ABC ∆∽△A B C '''．故答案为：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；△A B C '''相似；ABC ∆全等．20．（6分）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 中点，点P 在射线AB 上，过点P 作线段AE 的垂线段，垂足为F ． （1）求证：PAF AED ∆∆∽；（2）连接PE ，若存在点P 使PEF ∆与AED ∆相似，直接写出PA 的长 1或52．【解答】（1）证明：正方形ABCD ， //CD AB ∴，90D ∠=︒AED PAF ∴∠=∠，又PF AE ⊥，90PFA D ∴∠=∠=︒．PFA ADE ∴∆∆∽．（2）解：情况1，当EFP ADE ∆∆∽，且PEF EAD ∠=∠时， 则有//PE AD∴四边形ADEP 为矩形．1PA ED ∴==；情况2，当PFE ADE ∆∆∽，且PEF AED ∠=∠时，PAF AED ∠=∠， PEF PAF ∴∠=∠． PE PA ∴=． PF AE ⊥，∴点F 为AE 的中点．2AE =，AF ∴=PFA ADE ∆∆∽，PA AFAE DE=，∴21=，52PA ∴=∴满足条件的PA 的值为1或52． 故答案为1或52．21．（6分）如图，在ABCC∠=︒，以BC为直径的O交AB于点D，O的切线∆中，90DE交AC于点E．（1）求证：E是AC中点；（2）若10BC=，连接CD，OE，交点为F，求OF的长．AB=，6【解答】（1）证明：连接CD，ACB∠=︒，BC为O直径，90∴为O切线，且90ED∠=︒；ADCED切O于点D，∴=，EC ED∴∠=∠；ECD EDCA ECD ADE EDC∠+∠=∠+∠=︒，90∴∠=∠，A ADE∴=，AE EDAE CE∴=，即E为AC的中点；BE CE ∴=；（2）解：连接OD ，90ACB ∠=︒， AC ∴为O 的切线，DE 是O 的切线，EO ∴平分CED ∠，OE CD ∴⊥，F 为CD 的中点，点E 、O 分别为AC 、BC 的中点， 1110522OE AB ∴==⨯=， 在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，10AB =，6BC =，由勾股定理得：8AC =， 在Rt ADC ∆中，E 为AC 的中点， 118422DE AC ∴==⨯=， 在Rt EDO ∆中，116322OD BC ==⨯=，4DE =，由勾股定理得：5OE =， 由三角形的面积公式得：1122EDO S DE DO OE DF ∆=⨯⨯=⨯⨯，即435DF ⨯=⨯， 解得： 2.4DF =，在Rt DFO ∆中，由勾股定理得：2222324 1.8OF DO DF =--=．22．（8分）已知抛物线1l 与2l 形状相同，开口方向不同，其中抛物线217:82l y ax ax =--交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且6AB =；抛物线2l 与1l 交于点A 和点(5,)C n ． （1）求抛物线1l ，2l 的表达式；（2）当x 的取值范围是 24x 时，抛物线1l 与2l 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线//MN y 轴，与x 轴、1l 、2l 分别相交于点(,0)P m 、M 、N ，当28m 时，求线段MN 的最大值．【解答】（1）1l 的对称轴为：842ax a-=-=， 6AB =，(1,0)A ∴，(7,0)B ，把(1,0)A 代入1l ， 得12a =-，∴2117:422l y x x =-+-， (5,4)C ∴，由题意，设221:2l y x bx c =++， ∴10225542b c b c ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得232b c =-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴2213:222l y x x =-+， 综上，2117:422l y x x =-+-，2213:222l y x x =-+；（2）观察图象可知，中两个抛物线的顶点之间时，抛物线1l 与2l 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，顶点1(2,)2E -，顶点9(4,)2F ，所以24x 时，抛物线1l 与2l 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大， 故答案为：24x ．（3）由图象知，当8m =时，MN 最大， 此时7(8,)2M -，35(8,)2N ，21MN ∴=．23．（6分）如图，直线AM 和AN 相交于点A ，30MAN ∠=︒，在射线AN 上取一点B ，使6AB cm =，过点B 作BC AM ⊥于点C ，D 是线段AB 上的一个动点（不与点B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．（1）确定点B 的位置，在线段AB 上任取一点D ，根据题意，补全图形； （2）设AD x = cm ，CE y = cm ，探究函数y 随自变量x 的变化而变化的规律． ①通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组对应值，如下表： /x cm0 1 2 3 4 5 /y cm5.24.43.83.58.1（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）②建立平面直角坐标系xOy ，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；③结合画出的函数图象，解决问题：当AD 为Rt CDE ∆斜边CE 上的中线时，AD 的长度约为 5.2 cm （结果保留一位小数）．【解答】解：（1）如图1所示，（2）如图2，在Rt ABC ∆中，30BAC ∠=︒，6AB =， 3BC ∴=，33AC =过点C 作CG AB ⊥于G ， 在Rt BCG ∆中，1322BG BC ==，33CG =， 6AB =，4AD =， 316422DG AB AD BG ∴=--=--=， 过点E 作EF AB ⊥于F ， 90DFE CGD ∴∠=∠=︒． 90DCG CDG ∴∠+∠=︒， DE CD ⊥，90CDG EDF ∴∠+∠=︒， DCG EDF ∴∠=∠， 90EFD DGC ∠=∠=︒，DEF CDG ∴∆∆∽，∴EF DFDG CG=， ∴11233332EF DF ==， 33DF EF ∴=，在Rt AEF ∆中，3AF EF =，233AE AF =， 3DF AF ∴=，44AD AF DF AF ∴=+==， 1AF ∴=，233AE ∴=， 2373330.433y CE AC AE ∴==-=-=≈， 故答案为：4.0；（3）函数图象如图3所示，（4）如图4，AD 是Rt CDE ∆的斜边的中线，12AD CE AC ∴==，由（2）知，33AC =， 33 5.2AD ∴=，故答案为：5.2．24．（7分）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G ，若在图形G 上存在一点N ，使M ，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当O 的半径为3时，在点1(1,0)P ，2(3P 1)，37(2P ，0)，4(5,0)P 中，O 的和睦点是 2P 、3P ；（2）若点(4,3)P 为O 的和睦点，求O 的半径r 的取值范围；（3）点A 在直线1y =-上，将点A 向上平移4个单位长度得到点B ，以AB 为边构造正方形ABCD ，且C ，D 两点都在AB 右侧．已知点(2E 2)，若线段OE 上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点，直接写出点A 的横坐标A x 的取值范围．【解答】解：（1）如图1中，分别以点1P ，2P ，3P ，4P 为圆心，1为半径画圆，若与O 有交点，则P 是，O 的和睦点， 观察图象可知，O 的和睦点是2P 、3P ． 故答案为：2P 、3P ．（2）如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．P，(4,3)∴=，5OP满足条件的O必须与以P为圆心半径为1的圆相交或相切，当4OA=时，得到r的最小值为4，当6OB=时，得到r的最大值为6，∴．r46（3）①如图3中，当点O 到C D ''的距离1OM =时，此时点A '的横坐标为3-． 当点E 到CD 的距离1EN =时，此时点A 的横坐标为25-，∴253A x --时，满足条件；②)①如图3中，当点O 到A B ''的距离1OM =时，此时点A '的横坐标为1 当点E 到AB 的距离1EN =时，点A 的横坐标为21-，∴211A x -时，满足条件；综上所述，满足条件的当A 253A x -211A x ．。