MPK f / K MPL f / L
• 边际产量不为负。
MPK 0, MPL 0,
• 边际产量递减。 ( MPK ) 2 f 0 2 K K
( MPL ) 2 f 0 2 L L
⑵ 要素的边际替代率
(Marginal Rate of Substitution)
1 KE
1
1
b2 L )

m
•要素之间的替代弹性是否相同？是多大？为什么？ ⑹多要素三级CES生产函数模型
三、以技术进步的描述为线索的生产函 数模型的发展
⒈ 将技术要素作为一个不变参数的生产函数 模型
Y AK L
Y A( 1 K



2L )
m
• 在中性技术进步中，如果要素之比不随时间变 化，则称为希克斯中性技术进步；如果劳动产 出率不随时间变化，则称为索洛中性技术进步； 如果资本产出率不随时间变化，则称为哈罗德 中性技术进步。
二、以要素之间替代性质的描述为线索 的生产函数模型的发展
⒈ 线性生产函数模型(Linear P.F.)
Y 0 1 K 2 L
四、几个重要生产函数模型的参数估计方法
五、生产函数模型在技术进步分析中的应用
六、建立生产函数模型中的数据质量问题
一、几个重要概念
⒈ 生产函数 ⑴ 定义 • 描述生产过程中投入的生产要素的某种组合同 它可能的最大产出量之间的依存关系的数学表 达式。
Y f ( A, K, L,)
• 投入的生产要素 • 最大产出量
• 在CES生产函数中要素的替代弹性是否随样本点变 化？是否合理？为什么？
• CES生产函数中每个参数的数值范围是什么？为什 么？
⒌ VES生产函数模型(Variable Elasticity 0f Substitution)
⑴ 1968年Sato和Hoffman 假定: (t ) a b t 得到:
Y B(L
( t ) 1 (t )
(1 ) K
( t ) 1 ( t ) (t ) ( t ) 1
)
•与CES有什么联系与区别？
⑵ 1971年 Revankar
K 假定 a b L
dk Z A exp k k c( )1 a a bk
⑵
生产函数模型的发展
• 从20年代末，美国数学家Charles Cobb和经济 学家Paul Dauglas提出了生产函数这一名词， 并用1899-1922年的数据资料，导出了著名的 Cobb-Dauglas生产函数。
1928年 Cobb, Dauglas 1937年 Dauglas,Durand 进型 1957年 Solow 进型 1960年 Solow 生产 函数
• 从生产函数可以求得要素的边际产量和要素的边 际替代率。
⑶
要素替代弹性
• 要素替代弹性定义为两种要素的比例的变化率 与边际替代率的变化率之比。
d ( K / L) d ( MPL / MPK ) ( K / L) ( MPL / MPK )
•
• •
要素替代弹性是描述生产行为的重要参数， 求得要素替代弹性是生产函数的重要应用。 要素替代弹性不为负。 特殊情况：要素替代弹性为0、要素替代弹性 为∞。
⑵
中性技术进步
• 假设在生产活动中除了技术以外，只有资本 与劳动两种要素，定义两要素的产出弹性之 比为相对资本密集度，用ω表示。即:
E L / EK
• 如果技术进步使得ω越来越大，即劳动的产出弹 性比资本的产出弹性增长得快，则称之为节约劳 动型技术进步；如果技术进步使得ω越来越小， 即劳动的产出弹性比资本的产出弹性增长得慢， 则称之为节约资本型技术进步；如果技术进步 前后ω不变，即劳动的产出弹性与资本的产出弹 性同步增长，则称之为中性技术进步。
Y AK L E



⑷ 多要素一级CES生产函数模型
Y A(1 K 2 L 3 E )
⑸ 多要素二级CES生产函数模型
1 m
• 要素之间的替代弹性是否相同？是多大？为什么？
YKE (a1 K 1 a 2 E 1 ) Y A(b Y
• 当两种要素可以互相替代时，就可以采用不同 的要素组合生产相同数量的产出量。要素的边 际替代率指的是在产量一定的情况下，某一种 要素的增加与另一种要素的减少之间的比例。
MRS K L K / L
• 要素的边际替代率可以表示为要素的边际产量之 比。
MRS K L MPL / MPK MRS L K MPK / MPL
⑵ 规模报酬
• 所有要素的产出弹性之和
• 规模报酬不变 • 规模报酬递增 • 规模报酬递减 • 为什么经常将规模报酬不变作为生产函数必 须满足的条件？
⒊ 要素替代弹性（Elasticity of Substitution）
⑴ 要素的边际产量(Marginal Product)
• 其他条件不变时，某一种投入要素增加一个单位 时导致的产出量的增加量。用于描述投入要素对 产出量的影响程度。
Y A K
1 1 c
L
1 1c
L A K
1 1 c
L
c 1 c
• 退化为C-D生产函数。为什么？
• 当a=1时，
1 bk
Y AK
1 1 c
b (L ( ) K) 1 c
c 1 c
Y AK
1 ( )m 1 c
b (L ( ) K) 1 c
• 在C-D生产函数中要素的替代弹性是否随研究对象 变化？是否合理？为什么？ • 在C-D生产函数中要素的替代弹性是否随样本区间 变化？是否合理？为什么？ • 在C-D生产函数中要素的替代弹性是否随样本点变 化？是否合理？为什么？ • C-D生产函数中每个参数的数值范围是什么？为什 么？
⒋ CES生产函数模型(Constant Elasticity 0f Substitution)
其中:
Z Y L,k K L
• 当b=0时 ，
Y A exp L dk k 1a k c( ) a
a A exp( ln 1 a k 1 a ) c 1 1 a k a a
1 a a
令
1 a , Ae A a
1a
1 1 Y a ck 1 a A ( 1 a ) A(a k c) L a k
Z A exp
dk k 1a k c( ) a bk
⒉ 改进的C-D生产函数模型
Y A(t ) K L


t
Y A0 (1 ) K L
Y A0 e K L
t


• 参数的经济意义是什么？ • 关于技术进步的假设是什么？为什么？
⒊ 改进的CES生产函数模型
1 KK LL 2 KL
，表现为何种时常函数？ ，表现为何种时常函数？
⒎ 多要素生产函数模型
⑴ 多要素线性生产函数模型
Y 0 1 K 2 L 3 E
⑵ 多要素投入产出生产函数模型
K L E Y min( , , ) a b c
⑶ 多要素C-D生产函数模型

1 K Y A (a ( ) c) L L
1a
A (a
1a
K

cL )


1
•退化为CES模型。为什么？
• 当b=0，a=1时 ，
Y dk A exp L k (1 c)
1 ln k A exp( ) A k 1 c 1 c
⒊ C-D生产函数模型
Y AK L
Y E K K Y EL L


1
K A K L K Y Y 1 L AK L L Y
Y
d ( K / L) ( K / L)
d ( MPL / MPK ) ( MPL / MPK )
MPL K d (ln( )) d (ln( )) L MPK K K d (ln( )) d (ln( )) L L K K d (ln( )) d (ln( ) ln( )) L L 1
C-D生产函数 C-D生产函数的改 C-D生产函数的改 含体现型技术进步
1967年 Arrow等
1967年 Sato 1968年 Sato, Hoffman 1968年 Aigner, Chu 1971年 Revanker
两要素CES生产函数ห้องสมุดไป่ตู้
二级CES生产函数 VES生产函数 边界生产函数 VES生产函数
c ( )m 1 c
为实际应用的VES生产函数。
•为什么是“变替代弹性”？
⒍ 超越对数生产函数模型 (Translog P.F.)
ln Y 0 K ln K L ln L KK (ln K ) LL (ln L) KL ln K ln L
2
2
• 如果 KK LL KL 0 • 如果
⒉ 要素产出弹性（Elasticity of Output）
⑴ 要素的产出弹性 • 某投入要素的产出弹性被定义为，当其他投入 要素不变时，该要素增加1%所引起的产出量的 变化率。 Y K f K EK Y K K Y
Y EL Y L f L L L Y
• 要素产出弹性的数值区间？为什么？
Y A( 1 K

2L )

m
d ( K / L) d ( MPL / MPK ) ( K / L) ( MPL / MPK )
MPL K d (ln( )) d (ln( )) L MPK 1 1