（二）协方差函数
1.协方差函数的概念


区域化随机变量之间的差异，可以用空间协 方差来表示。 区域化变量Z ( x ) Z ( x u , x v , x w ) 在空间点x和x+h处 的两个随机变量和的二阶混合中心矩定义为 Z(x)的自协方差函数，即
Cov [ Z ( x ), Z ( x h )] E [ Z ( x ) Z ( x h )] E [ Z ( x )] E [ Z ( x h )]
2
2.变异函数的性质

设Z(x)是区域化变量，在满足二阶平稳假设 条件下，变异函数式具有如下性质： (1) ( 0 ) =0，即在h=0处，变异函数为0；


(2) ( h ) = ( h ) ，即 ( h ) 关于直线h=0是对称的， 它是一个偶函数； (3) ( h ) ≥0，即 ( h ) 只能大于或等于0；
h a 3
0
（4）高斯模型。其一般公式为：
0 2 (h) h 2 c 0 c (1 e a ) h0 h0
（3）指数模型。其一般公式为：
0 (h) h c 0 c (1 e a ) h 0 h 0
式中：c0 和c意义与前相同，但a不是变程。当 h=3a时， e 1 e 0 .95 1，即 ( 3 a ) c c ，从而指 1 数模型的变程 a 约为 3 a 。当c0=0，c=1时，称为 标准指数模型。
2 2 2 2 2 2
=385/72=5.35
同样计算出
( 2 ) 9.26
(h) (h)
( 3 ) 17.55
( 4 ) 25.69
( 5 ) 22.90
最后，得到南北方向和西北—东南上的变异
函数计算结果见下表。同样可以计算东西方向
上的变异函数。
方向
1 2
1 2 Var [ Z ( x ) Z ( x h )]
2
E [ Z ( x ) Z ( x h )]
1 2
{ E [ Z ( x )] E [ Z ( x h )]}
2
在二阶平稳假设条件下，对任意的h有
E [ Z ( x h )] E [ Z ( x )]
h N(h)
(h)
1 36 5.3 5 2 27 9.2 6 3 21 17.55
南北
4 13 25.69 5 5 22.90
方向
h N(h)
(h)
1.4 1 32 7.0 6
西北—东南
2.82 21 12.95 4.24 13 30.85 5.65 8 58.13 7.07 2 50.0 0
i j
n
i
i 1
3.变异函数的计算公式
设 Z ( x ) 是系统某属性Z在空间位置x处 Z 的值， ( x ) 为一区域化随机变量，并满足二 阶平稳假设，h为两样本点空间分隔距离， Z ( x ) 和 Z ( x h ) 分别是区域化变量 ( x ) 在空间 Z 位置 x i 和 x i h 处的实测值[i=1,2,…,N(h)]， 那么，变异函数 ( h ) 的离散计算公式为
C0+C2
γ (h) C0
当变异函数随着间隔距离h的增大，从非零值达到一个相
对稳定的常数时，该常数称为基台值C0+C，
当间隔距离h=0时，γ (0)= C0，该值称为块金值或块金方
差（Nugget Variance）。
基台值是系统或系统属性中最大的变异，变异函数达到
基台值时的间隔距离a称为变程。变程表示在h≥a以后， 区域化变量Z(x)空间相关性消失。
2.协方差函数的计算公式

协方差函数的计算公式为：
c(h) 1 N (h)
N (h)
[Z (x
i 1
i
) Z ( x i )][ Z ( x i h ) Z ( x i h )]

式中：h为两样本点空间分隔距离或距离滞后，
Z ( xi ) 为 Z ( x )
在空间位置 x i 处的实测值，
变异函数（Variograms），又称变差函数、 变异矩，是地统计分析所特有的基本工具。 在一维条件下变异函数定义为，当空间点x 在一维x轴上变化时，区域化变量Z(x)在点x 和x+h处的值Z(x)与Z(x+h)差的方差的一半 为区域化变量Z(x)在x轴方向上的变异函数， 记为γ(h)，即
( x, h)
i
i
(h)
1 2 N (h)
N (h)

[ Z ( x i ) Z ( x i h )]
2
i 1
这样对不同的空间分隔距离h，计算出相应
c( 的 c ( h ) 和 ( h ) 值。如果分别以h为横坐标， h )或
( h ) 为纵坐标，画出协方差函数和变异函数曲
线图，就可以直接展示区域化变量Z(x)的空间 变异特点。可见，变异函数能同时描述区域化 变量的随机性和结构性，从而在数学上对区域 化变量进行严格分析，是空间变异规律分析和 空间结构分析的有效工具。
因此，公式可以改写为
( x, h)
1 2 E [ Z ( x ) Z ( x h )]
2
从上式可知，变异函数依赖于两个自变量x和
h，当变异函数 ( x , h ) 仅仅依赖于距离h而与 位置x无关时， ( x , h ) 可改写成 ( h ) ，即：
(h)
1 2 E [ Z ( x ) Z ( x h )]
一、地统计方法的基本原理
（一）区域化变量
当一个变量呈现为空间分布时，就称之为区
域化变量（Regionalized Variable）。这种变量 常常反映某种空间现象的特征，用区域化变量 来描述的现象称之为区域化现象。 区域化变量，亦称区域化随机变量，G. Matheron（1963）将它定义为以空间点x的三个 直角坐标为自变量的随机场 Z x Z ( x u , x v , x w ) 。 区域化变量具有两个最显著，而且也是最重 要的特征，即随机性和结构性
图4.2.2 缺失值情况下样本数对的组成和计算过程， ☉为缺失值
首先计算南北方向上的变异函数值，由变异
函数的计算公式可得：
(1)
1 2 36 [( 40 42 ) ( 42 37 ) ( 37 35 ) ( 35 36 ) ( 36 38 ) ( 37 38 )
Z ( x i h ) 是 Z ( x ) 在 x i 处距离偏离h的实测值[i=1，
N 2，…， ( h ) ]， N ( h ) 是分隔距离为h时的样本点对（Paris）总数，
Z (xi )
和 Z (x
i
h ) 分别为Z ( x i )
和 Z ( xi
h)
的样本平均数。
若 Z ( x i ) =
第二类是无基台值模型，包括幂函数模型、
线性无基台值模型、抛物线模型；
第三类是孔穴效应模型。 下面有代表性地介绍几种常见的变异函数理
论模型。

Байду номын сангаас
（1）纯块金效应模型。其一般公式为：
0 (h) c 0 h 0 h 0

式中：c0>0，为先验方差。该模型相当于区 域化变量为随机分布，样本点间的协方差函 数对于所有距离h均等于0，变量的空间相关 不存在。
2 2 2 2 2 2
2
( 38 35 )
2
( 35 37 )
2
2
( 40 43 )
2
2
( 43 37 )
2
2
( 36 35 )
2
2
( 42 42 )
2
2

( 42 35 ) ( 35 35 ) 35 35 ） ( 40 39 ) ( 39 38 ) ( 38 37 ) （ ( 37 34 ) ( 34 30 ) ( 39 39 ) ( 39 37 ) ( 37 36 ) ( 36 33 )
第二节 地统计分析方法


一、地统计方法的基本原理 （一）区域化变量 （二）协方差函数 （三）变异函数 （四）克立格插值方法 二、应用实例


地统计学是以区域化变量理论为基础，以 变异函数为主要工具，研究那些在空间分 布上既有随机性又有结构性，或空间相关 和依赖性的自然现象的科学。 协方差函数和变异函数是以区域化变量理 论为基础建立起来的地统计学的两个最基 本的函数。地统计学的主要方法之一，克 立格法就是建立在变异函数理论和结构分 析基础之上的。
4.变异函数的参数



变异函数有四个非常重要的参数，即基台值 （Sill）、变程（Range）或称空间依赖范围 （ Range of Spatial Dependence ） 、 块 金 值 （Nugget）或称区域不连续性值 （Localized Discontinuity）和分维数（Fractal Dimension）。 前3个参数可以直接从变异函数图中得到。它 们决定变异函数的形状与结构。 变异函数的形状反映自然现象空间分布结构或 空间相关的类型，同时还能给出这种空间相关 的范围。
2 2 2 2 2 2
( 37 41 ) ( 41 37 ) ( 37 36 ) ( 36 32 ) ( 32 29 ) ( 36 40 )
2 2 2 2 2 2
( 40 33 ) ( 33 35 ) ( 35 29 ) ( 29 30 ) ( 38 34 ) ( 28 32 ) ]