例、小球做圆锥摆时细绳长l，与竖直方向成α角，求小球 做匀速圆周运动的角速度ω。
解：小球受力： 竖直向下的重力G 沿绳方向的拉力T
αl
小球的向心力： 由T和G的合力提供
T
F合 mg tan
小球做圆周运动的半径 r l sin
由牛顿第二定律： F合 ma m 2r
即：mg tan m 2l sin
提供向心力. F = MV2/ R
例:劲度系数为K的弹簧,一端栓着质量为M的
光滑小球,一端固定在水平面内,以角速度ω, 半
径L做匀速圆周运动,求弹簧的原长.
解:设弹簧的原长为L0 , 则弹簧的形变量为L-L0 .
据胡克定律: 有 F=K(L-L0 )
据牛顿第二定律: K(L-L0 ) = M ω2L 解得: L0 = L - M ω2 L/ K .
c os 2020/7/9
g l2
O rFmggFra bibliotekl cos
类型二、火车转弯
（1）火车转弯处内外轨无高度差
N
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向右转
G
1·火车转弯处内外轨无高度差
N
G
F
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向右转
外轨对轮缘的弹力F就是使 火车转弯的向心力
根据牛顿第二定律F=m V2 可知 R
火车质量很大 外轨对轮缘的弹力很大
是由地面给的静摩擦力提供向心力的。
【例题1】在水平面上转弯的汽车，向心力是（
）
A、重力和支持力的合力
B.、静摩檫力
C、滑动摩檫力
D、重力、支持力和牵引力的合力
【例题3】汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率 沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外
侧。两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙 以下说法正确的是（ )
解析:A、B、C三物体在转动过程中未发生 B
外轨和外轮之间的磨损大， 铁轨容 易受到损坏
【例题1】火车在水平轨道上转弯时，若转弯处内外轨道一
样高，则火车转弯（
）
A.．对外轨产生向外的挤压作用
B．对内轨产生向外的挤压作用
C．对外轨产生向内的挤压作用
D．对内轨产生向内的挤压作用
F
2、当外轨略高于内轨时：
N
（1）火车受力：
竖直向下的重力 G
垂直轨道面的支持力 N
呢？ N
h是内外轨高度差
，L是轨距
h
L
F
注意这时的向心 力是水平的
G
F=mgtanα≈mgsinα=mgh/L
m v02 R
mg h m v02 LR
Rgh
v0
L
Rgh
v0
L
在实际中，铁轨修好之后h、R、 L一定，又g是定值，所以火车拐弯时
的车速是一定值
（4）当火车行驶速率v>v0时，
外轨对轮缘有侧压力；
N
N‘ G
火车行驶速率v>vo
当火车行驶速率v<vo时，
内轨对轮缘有侧压力。
N N’
G
火车行驶速率v<vo时
【例题2】如图所示，火车道转弯处的半径为r，火车质量为 m，两铁轨的高度差为h（外轨略高于内轨），两轨间距为
L(L>>h)，求： (1)火车以多大的速率υ转弯时，两铁轨不会给车轮沿转弯
半径方向的侧压力？ (2)υ是多大时外轨对车轮有沿转弯半径方向的侧压力？ (3)υ是多大时内轨对车轮有沿转弯半径方向的侧压力？
F mg tan m v2
R
v Rg tan
v Rg tan外轨对外轮缘有弹力 v Rg tan内轨对内轮缘有弹力
1、水平路面上：
【例题2】汽车在半径为r的水平弯道上转弯,如果汽车与 地面的动摩擦因数为μ,那么汽车不发生侧滑的最大速率
是多大?
umg m v2 r
v ugr
汽车在水平路面转弯做圆周运动时，也需要 向心力，问这个向心力由什么力提供的？
A.．f甲小于f乙 B．f甲等于f乙 C．f甲大于f乙 D．f甲和f乙大小均与汽车速率无关
2、倾斜路面上：
所以汽车在转弯的地方，路面也是外高内低 ，靠合力提供向心力。
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1. 绳 在光滑水平面内,依靠绳的拉力T提供 向心力. T = MV2/ R 在不光滑水平面内,除绳的拉力T外， 还要考虑摩擦力。
F
（2）火车的向心力： α
由G和N的合力提供
α
G
【例题1】火车铁轨转弯处外轨略高于内轨的原因是 （）
A．为了使火车转弯时外轨对于轮缘的压力提供圆 周运动的向心力
B.．为了使火车转弯时的向心力由重力和铁轨对车 的弹力的合力
C．以防列车倾倒造成翻车事故 D.．为了减小火车轮缘与外轨的压力
3·什么情况下可以使铁轨和轨缘之间的挤压消失
H
L
问题：设内外轨间的距离为L，内外轨的高度差 为h，火车转弯的半径为R，则火车转弯的规定速 度为v0 ？
F合=mgtanα≈mgsinα=mgh/L
由牛顿第二定律得：
F合=ma
所以mgh/L=
m v02 R
即火车转弯的规定速度 v0
Rgh L
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N
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F α
α G
根据牛顿第二定律
第3节 圆周运动实例分析 ——水平面圆周运动
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一、水平面内匀速圆周运动
1、圆锥摆： 2、火车转弯：
3、汽车转弯：
类型一·园锥摆
问题：“旋转秋千”中的缆绳跟中心轴的夹角与哪些
因素有关？体重不同的人坐在秋千上旋转时，缆绳与
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中心轴的夹角相同吗？
“旋转秋千”的运动经过简化，可以看做如下的 物理模型：在一根长为l的细线下面系一根质量为m 的小球，将小球拉离竖直位置，使悬线与竖直方向 成α角，给小球一根初速度，使小球在水平面内做圆 周运动，悬线旋转形成一个圆锥面，这种装置叫做 圆锥摆。 2020/7/9
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❖ 细绳一端系着质量M=0.6kg的物体，静止在水 平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m=0.3kg 的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M 和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面 绕中心轴线转动，问角速度在什么范围m会 处于静止状态？(g取10m/s2)
3.弹簧
在光滑水平面内, 由弹簧的弹力F来
L F L0 O
注意: 对于弹簧约束情况下的圆周运动, 一定 要2找020/准7/9 真实的圆周运动的半径与向心力.
4. 摩擦力提供向心力
例: A、B、C三物体放在水平圆台上,它
们与平台的动摩擦因数相同,其质量之比
为3:2:1,它们与转轴之间的距离之比为
1:2:3,当平台以一定的角速度旋转时,它
们均无相对滑动,它们受到静摩擦力分别 为fA、fB、fC,则 ( ) A. fA<fB<fC B. fA>fB>fC C. fA=fB<fC D. fA=fC <fB