1．已知矩阵，，且，
则
a. 当时，必有秩；
b. 当时，必有秩
；
c. 当时，必有秩；
d. 当时，必有秩。

2．已知为3维列向量组，行列式，
，则行列
式
a. －
18； d. 18。

3. 设线性空间中向量组线性无关，则的下列生成子空间中，维
数为3的生成子空间是
a. L；
b. L
；
c. L；
d. L。

4．设为维列向量组，矩阵，下列选项中正确的
是
a. 若线性相关，则线性无关；
b. 若线性相关，则线性相关；
c. 若线性无关，则线性无关；
d. 若线性无关，则线性相关。

5. 设为非零实矩阵，，是行列式中元素的
代数余子式，则矩阵必为
a. 不可逆矩
阵； b. 对称矩阵；
c. 正交矩
阵； d. 正定矩阵。

6．设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则
a. ；
b.
；
c. ；
d.。

二填空题（每题3分，共18分）
1. 设3阶方阵有特征值，则的相似对角阵
为；
2. 设,，其中是非齐次线性方程组的
解,为矩阵,且, 则线性方程组的通解
为；
3. 设实对称矩阵满足，则二次型经正交变换可化为标准形；
4．已知矩阵满足，且，则行列式；5．设4阶矩阵满足行列式，，，则其伴随矩阵必有一个特征值为；
6．已知4阶矩阵的秩，则齐次线性方程组的基础解系
含个线性无关的解向量。

三计算题（每题8分，共48分）
1．已知阶矩阵且满足方程，其中，
求矩阵。

2. 已知非齐次线性方程组，其系数矩阵的秩
试求：常数的值，以及该方程组的通解。

3. 求正交变换,将实二次型化
为标准型,并写出正交变换。

4. 设为4阶方阵，其中是4维列向量，且
线性无关，。

已知向量，试求线性方程组的通解。

5. 已知是3维线性空间的一个基，且
，，。

（1）求由基到基的过渡矩阵；
（2）设向量，求在基下的坐标
6. 设列向量是矩阵的对应特征值的一个特
征向量. （1）求常数；（2）试问：矩阵能否相似于对角矩阵？
为什么？
四证明题（每题8分，共16分）
1.已知矩阵为阶正定矩阵,证明:
（1）矩阵的特征值都大于零；（2）若，则为正定矩阵。

2．设阶方阵,其中是维列向量,证明：
（1）的充要条件为；（2）当时，矩阵不可逆。

参考答案
一选择题 c a d b c c
二填空题
1.；
2.；
3.；
4.；
5.；6．3。

三计算题
1. 。

2. ,。

3. 正交变换，为
，
化二次型为标准形。

4. ，
线性无关，，解得。

5. （1）；（2）。

6. （1）；
（2）不能，因为其特征值为-1,-1,-1；但线性无关的特征向量只有一个.
四证明题
1.（1）为可逆矩阵，
又
其中为可逆矩阵。

因此为正定矩阵，相似于，的特征值与相同，故的特征值都大于零。

（2），实对称，且特征值大于零，所以正定
2. （1），故的充要条件为；
（2）由（1）得，若可逆，，则，矛盾。