二、目标规划模型的建立
1、目标函数的期望值 首先要对每一个目标确定一个希望达到的期望值 ei(i=1,2, …,n)。根据历史资料、市场需求或上级部门的布 置等来确定。
2、正负偏差变量
每个目标函数的期望值确定之后，目标的实际值和它的
期望值之间就有正的或负的偏差。
正偏差变量di+ 表示第i个目标超过期望值的数值；负偏 差变量di- 表示第i个目标未达到期望值的数值。
5、建立目标规划模型的基本步骤： 1）按生产和工作要求确定各个目标及其优先等级和期望 值； 2）设立决策变量，建立各个约束条件方程； 3）对每个目标引进正、负偏差变量，建立目标约束条件 ，并入已有的约束条件； 4）如果各约束条件之间有矛盾，也可适当引入偏差变量 ； 5）根据各目标的优先等级和权系数写出达成函数。 P110-113 例3.1 ,P117 例3.4
第二节 目标规划的图解法
只含有两个决策变量的目标规划模型。线性规划是在可行 域中寻找一点，使单个目标极大或极小；目标规划则是寻找 一个区域，这个区域提供了相互矛盾的目标集的折衷方案。
目标规划的图解法的思路： ➢ 首先在可行域内寻找一个使P1级各目标均满足的区域R1； ➢ 然后再在R1中寻找一个使P2级各目标均满足的区域 R2(R2R1)； ➢ 接着再在R2中寻找一个满足P3级各目标的区域R3(R3 R2 R1)； ➢ 如此继续，直到寻找到一个区域RK(RK RK-1 … R3 R2 R1)，满足PK级各目标，这时RK即为这个目标规划的最优解 空间，其中的任一点均为这个目标规划的满意解。
对约束方程引入偏差变量，使矛盾着的方程不再矛盾。 当不易发现矛盾时，我们甚至可以在所有的约束方程中 都加入偏差变量。 3、达成函数 如何使各目标的实际值最接近于各自的期望值，构造一 个新的目标函数以求得有关偏差变量的最小值。这个新的 目标函数反映了各目标函数的期望值达到或实现的情况， 故把这个新的目标函数称为目标达成函数。 （1）若要求尽可能达到规定的目标值，则正、负偏差
变量di+、di- 都尽可能最小，即minSi=di++di- ；最好等于
（2）若希望尽可能不低于期望值(允许超过)，则负偏差 变量di 尽可能的小，而不关心超出量di+ ，故只需将di- 列入 目标函数，minSi= di- ；最好不小于
（3）若允许某个目标低于期望值，但希望不得超过期 望值，则正偏差变量dk+ 尽可能地小，而不关心低于量dk- ， 故只需将dk+列入目标函数，minSk= dk+ 。最好不大于
4、优先等级和目标的权系数 目标的重要程度不同，用优先等级因子Pk 来表示第k等 级目标。 优先等级因子Pk 是正的常数，Pk >> Pk+1 。“ >>”的含义 是远远大于的意思。仅仅是个优先等级的记号，在具体计 算时，它并不表示任何具体的数。在求较低级别目标的最 优值时，不容许破坏已得到的较高级别的目标。 一般来说，必须严格实现的目标和不能超过的资源约束 等均须列入 P1级目标。 同一优先等级下的目标的相对重要性，赋以不同的加权 系数w。
minf= P1 d1- + P2(d2- + d2+ ) + P3(3d3- +5 d4- ) s.t.
5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20
4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24
x1
+d3- - d3+ = 3
- x1 + x2 +d4- - d4+ = 2
x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0
同一目标，它的取值不可能在超过期望值的同时，又没
有达到期望值，所以在di+ 和di- 中至少有一个必须为零。 di+ ×di-=0 引入正、负偏差变量后，对各个目标建立的目标函数方
n
程。 ckjxj dkdk E* 原来j1的目标函数变成了约束条件的一部分，即目标约束
(软约束) ，原来的约束条件称为系统约束(硬约束)。
【课堂作业】：
某工厂计划生产甲、乙两种产品，现有的设备资源、每
种产品的技术消耗定额及单位产品的利润如下表所示。
资源
产品
甲
乙 现有资源
设备
4
3
24
单位产品利润
5
4
管理部门提出新要求：第一个目标是实现利润最大，计 划部门规定利润目标是20；第二个目标是充分利用设备台 时，但尽量少加班；第三个目标做如下规定，甲产品产量 希望不少于3单位，乙产品产量比甲产品至少多2单位。假 设：甲产品产量希望不少于3单位的权数为3，乙产品产量 比甲产品多2单位的权数为5。
第一节 目标规划模型
一、目标规划模型的基本思想
P110 例3.1 目标规划的基本思想： 对每一个目标函数引进一个期望值（理想值），但由于 种种条件的限制，这些期望值往往并不都能达到，从而我 们对每个目标引进正、负偏差变量，然后将所有的目标函 数并入原来的约束条件，组成新的约束条件。在这组新的 约束条件下，寻找使各种目标偏差达到最小的方案。
第四章 目标规划 Goal Programming
内容
1
目标规划模型
2
目标规划的图解法
3
目标规划的单纯形法
4Байду номын сангаас
目标规划的应用
线性规划的局限性： 只能解决一组线性约束条件下，某一目标而且只能是一 个目标的最大或最小值的问题。实际决策中，衡量方案优 劣考虑多个目标。这些目标中，有主要的，也有次要的； 有最大的，也有最小的；有定量的，也有定性的；有互相 补充的，也有互相对立的，LP则无能为力。 约束条件不能矛盾。在实际决策中，一旦出现矛盾，人 们总是力图设法解决，或增加资源，或减少消耗，从而得 到比较可行的方案。 目标规划（Goal Programming）是在LP的基础上发展起 来的解决多目标规划问题的最有效的方法之一。 美国经济学家查恩斯和库柏在1961年出版的《管理模型 及线性规划的工业应用》一书中首先提出的。
三、目标规划模型的标准形式
K
m
min f
Pi
(wij d
j
wij
d
j
)
i1 j1
绝对约束
n
aij xj (, )bi
j 1
i 1,2,...,l
目标约束 非负性约束
n
cij xj di di Ei*
j 1
xi 0
i 1,2,...,n
i 1,2,...,m
di, di 0 i 1,2,...,m