复模态分析基础•1. 引言1－粘性阻尼单自由度系统自由振动•2. 引言2－对称阻尼矩阵•3. 物理空间的复模态•4. 状态空间的复模态•5. 复模态叠加法董兴建上海交通大学振动，冲击，噪声研究所机械大楼A8321. 引言1－粘性阻尼单自由度系统自由振动粘性阻尼单自由度系统自由振动方程2c n m=进一步令0mxcx kx ++= 定义：2nk mw =那么有：220n xnx xw ++= n n z w =从而有()12(cos sin )cos n n t d d td x ec t c t eA t zw zw w w w q --=+=-衰减系数n 相对阻尼系数z特征根：21,21n n s i zw w z =- -阻尼固有频率21d n w w z=-欠阻尼自由振动解：()12cos sin cos n n n x c t c t A t w w w q =+=-无阻尼自由振动解：220n n xx xzw w ++=实际机械系统中不可避免地存在着阻尼:材料的结构阻尼，介质的粘性阻尼等.阻尼力机理复杂，难以给出恰当的数学表达在阻尼力较小时，或激励远离系统的固有频率时，可以忽略阻尼力的存在，近似地当作无阻尼系统当激励的频率接近系统的固有频率，激励时间又不是很短暂的情况下，阻尼的影响是不能忽略的。

一般情况下，可将各种类型的阻尼化作等效粘性阻尼有阻尼的n 自由度系统：()xx x t ++=M C K P nx RÎΦΛ假定已经得到无阻尼系统下的模态矩阵及谱矩阵作坐标变换x h=ΦTT T T()t h h h ++=ΦM ΦΦC ΦΦK ΦΦP ()p p p t h h h ++=M C K Q Tp =C ΦC Φ模态阻尼矩阵虽然主质量矩阵与主刚度矩阵是对角阵，但阻尼矩阵一般非对角阵，因而主坐标下的强迫振动方程仍然存在耦合。

h111201111éù-êúêú=-êúêúêúëûΦ00000000c éùêúêú=êúêúêúëûC 000000m m m éùêúêú=êúêúêúëûM T 600020003m mm éùêúêú=êúêúêúëûΦM Φ30203kk kk k k k éù-êúêú=--êúêú-êúëûK T 6000600012k k k éùêúêú=êúêúêúëûΦK Φ非对角例如：三自由度系统c2kmmmk2kkx 1x 2x 3TPc c c cc c c c c éù-êúêú==--êúêú-êúëûC ΦC Φ若非对角，则在无阻尼系统中介绍的主坐标方法或正则坐标方法都不再适用，振动分析将变得十分复杂P C 为了能沿用无阻尼系统中的分析方法，工程中常采用下列近似处理方法1p P pn c c éùêúêú=êúêúêúëûC (1) 忽略矩阵中的全部非对角元素P C 第i 阶主振型的阻尼系数Pi c 第i 阶振型阻尼或模态阻尼()xx x t ++=M C K P nx R Î(),1~Pi Pi Pi i m c k Q t i nh h h ++== 做变换：x h =Φn 自由度系统：/2Pi Pi i ic m z w =令：212()i i i i i iii PiQ t m h z w hw h ++= i z 第i 阶振型阻尼比或模态阻尼比7（2）将矩阵假设为比例阻尼假定有下列形式：a b =+C M Ka ,b ：为常数代入T p =C ΦC Φ中T()p p pa b a b =+=+C ΦM K ΦM K 对角阵)(2122i ipii pi pi pii pi i b am bk am m c ωωωωξ+=+==相对阻尼系数：（3）由实验测定n 阶振型阻尼系数iξ)~1(n i =C C•一般粘性阻尼系统的响应•当阻尼矩阵C 不允许忽略非对角元素，以上近似方法不成立•须用复模态进行求解()xx x t ++=M C K P nx RÎn 自由度系统：对于特征值问题，设tx el f =得到：2()l l f ++=0M C K f 有非零解的充要条件：20l l ++=M C K 一般粘性阻尼系统的特征方程n 221λλλ，，， 2n 个特征值：实数或复数20l l ++=M C K 一般粘性阻尼系统的特征方程:n 221λλλ，，， 2n 个特征值：实数或复数因为特征方程的系数都是实的所以特征值为复数时，必定以共轭形式成对出现相应地，特征向量也是共轭成对的复向量复模态或复振型这是一种具有相位关系的振型，不再具有原来主振型的意义当特征值为具有负实部的复数时，每一对这样的共轭特征值对应系统中具有特定的频率和衰减系数的自由衰减振动相对应，2n 个特征向量:122nf f f ,,,1()n i R f ´Î112n f f f éù=êúëûΦ 复模态矩阵：xx -=0M M 那么有：yy +=A B 0 éùêú=êúêúëû0M A M C éùêú=êúêúëû00-M B K ()()t t éùêú=êúêúëû0Q P 讨论自由振动()yy t +=A B Q 设其特征解为ty el y =得特征值问题：()l y +=A B 0系统在物理空间中的坐标只有n 个，而复模态却有2n 个，所以不能用上述的复模态矩阵对前面的物理坐标下的振动方程进行解偶。

为此，引入状态空间方程。

()xx x t ++=M C K P 补充方程：x y x éùêú=êúêúëû与物理空间的特征值问题相比：特征值相同lf y f éùêú=êúêúëûdn i l w =-4. 状态空间的复模态复模态的正交性及其归一化T T 0i j i j y y y y ==A B 0正交性：yy +=A B 0 ty e l y =TTi ii i iia b y y y y ==A B ii ib a l -=定义阶方阵2n 222n y y y éù=êúëûΨ T 122T122diag ,,diag ,,p n p n a a a b b b éù==ëûéù==ëûΨA ΨA ΨB ΨB éùêú=êúêúëûΦΛΨΦ112n f f f éù=êúëûΦ 122diag ,,n l l l éù=ëûΛ 归一化T T 1i i i i ib y y y y ==A B i ib l -=状态空间方程T()p p z z t +=A B ΦP éùêú=êúêúëûΦΛΨΦ对状态向量进行模态坐标变换()yy t +=A B Q x y x éùêú=êúêúëû()()t t éùêú=êúêúëû0Q P ty e l y =设其特征解为阶复模态矩阵2n 222n y y y éù=êúëûΨ y z=Ψ在复模态空间已经完全解耦，第i 个方程写为T ()i i i i i a zb z t f +=P ii ib a l -=或者T 1()i i i i iz z t a l f -=P 得到复模态空间的解()T1()(0)()d i i tt i i i iz t z eea tl l t f t t -=+òPT1()i i i i izz t a l f -=P 复模态空间的初始条件为()T 01()(0)()d i i tt i i i i z t z e e a t l l t f t t-=+òP -1(0)(0)z y =Ψx y x éùêú=êúêúëû其中第i 个方程为()T1(0)(0)(0)(0)i i i iz x xx a f l =++M M C 最后，由复模态空间返回到物理空间y z=Ψéùêú=êúêúëûΦΛΨΦ()212T 12()T1()()()(0)(0)(0)1()d i i ni i i nt i i i i int t i i i ix t z t z t e x x x a ea l l t f f f l f f t t ==-===éù=++ëû+åååòΦM C P如图，三个阻尼器的阻尼系数相同，为已知始条件为：用复模态方法求系统的自由振动。