解三角形第七章一、基础知识分别表示它们所对的各边长，的三个内角，a, b, cC分别表示△ABC在本章中约定用A，B，cb?a??p为半周长。

2cab??△ABC外接圆半径）。

1．正弦定理：=2R（R 为C sin B sin A sin111.BA?ca sin ab sin C?bc sin =推论1：△ABC的面积为S ABC△222bcosC+ccosB=a. 中，有2：在△ABC推论ba??a=A. 满足△ABC中，A+B=，则，解a推论3：在?)a sin(a?sin，由正1正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。

先证推论1?Cab sin，所，因为B+C==-A；再证推论2弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S ABC△2，3得bcosC+ccosB=a；再证推论以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R?ba)?sin a sin(a????由正弦定理-a)sinA，所以，即sinasin(，等价于-A)=sin(?)?A sinsin(A BA sinsin11????????，-a-A)][cos(，等价于-A+a)-cos(cos(-A-a)]= -a+A)[cos(-A+a)=cos(-a+A)-cos(22????? a=A-A+a=因为0<，得证。

-A+a，-a+A-a+A<，所以. 所以只有222a?bc?222?A?cos，下面用余弦定理证明几个常用+c-2bccosA2．余弦定理：a=b bc2的结论。

则DC=q，点，BD=p，是中，DBC 边上任意一（1）斯特瓦特定理：在△ABC22qbcp?2.pq?=）（1 AD q?p2222ADB? =AB，=AD·+BDBDcos-2AD【证明】因为c222.ADB?①所以c =AD+p -2AD·pcos222ADC?②，同理b =AD +q -2AD·qcos???因为ADC=ADB+，?? ADC=0所以cos，ADB+cos×①+p×②得所以q22qcb?p.?pq2222=+pq(p+q)，即AD qc+pb=(p+q)AD qp?222a?2c2b??AD.，则为中线长公式p=q1）式中，若注：在（2111 2?S2*******cA)= bA=sinbc为）（2海伦公式：因 (1-cosbc ABC?4442222??1)?(b?ca2??1??2216c4b??cb?a??.p这222]=p(p-a)(p-b)(p-c). ][a-(b-c)-a[(b+c)里2).)(?)(?(ppapbp?c S所以=ABC△．二、方法与例题．面积法。

1足满三条射线所示，从O点发出的例1 （共线关系的张角公式）如图????QOR,?POQ??，β∈)(0, u, w, v，这里α，β，α+，另外OP，OQ，OR的长分别为Q，R的共线的充要条件是则P，????)sinsin(sin?.??wuv SS?S??S?0?共线P【证明】，Q，R ORQ??ΔPQR?OPROPQ111sin uv? +vwsinβα(+β)=uwsinα222????sin?sinsin()???，得证。

vwu 2．正弦定理的应用。

?????? CPA-ACBCBA=例2 如图所示，△ABC内有一点P，使得。

BPC-APB-BAC= AB。

BC=BP求证：AP··CA=CP·???；，E，则P，D，AC，PFCAB，垂足分别为D，E，【证明】过点P作PD，BCPEF???????。

F三组四点共圆，所以BPC-EDF=PCA+PDE+PBA=PDF=BAC，P，E，A，F；PD，B，00??????CPA+ACB=180APB=360CBA+BPC+可得。

BAC+由题设及0?????? BPC-ACB=60BAC=所以APB-CPA-CBA=。

00??是正三角形。

所以，所以EDF=60△，同理DEFDEF=60???ABCABC，DE=EF=DF，由正弦定理，CDsin两边同时乘以ACB=APsin△BAC=BPsin所以BC=BP·AC，得证：的外接圆直径2R，得CP·BA=AP·，求证：与DE交于P ABC的各边分别与两圆⊙O，⊙O相切，直线GF例3 如图所示，△21?BC。

PA于M，【证明】延长PA交GD AOAFGM1.????，所以只需证，ODBC因为OG BC21 AEMDAO2AEPAAPAF??,由正弦定理，????sin??2sin?1))sin(sin(??sin1AE sin?.??所以?sin2AF sin?PMMDPMGM?,?，另一方面，??2sinsin1sin?sin??sin?GM sin2??所以，?sin1MD sin?AFGM? G，，所以所以PA//O1AEMD?即PABC，得证。

a=y+z, ，则到内切圆的切线长分别为记点A，B，Cx, y, zABC．3一个常用的代换：在△中，b=z+x, c=x+y.2223abc. (a+b-c) (c+a-b)+c中，求证：例4 在△ABCa≤(b+c-a)+b a=y+z, b=z+x, c=x+y，则【证明】令abc=(x+y)(y+z)(z+x)?8xy?yz?zx=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)222(a+b-c)-2abc.(c+a-b)+c(b+c-a)+b=a2223abc. (b+c-a)+b(a+b-c) (c+a-b)+c所以a≤4．三角换元。

322+???P，试求例5 设a, b, c∈R的最大值。

，且abc+a+c=b2221?11bc?a?c?a?b, 【解】由题设β，令a=tan α, c=tanγ, b=tan ac?1210101??2??sin??3??γ≤+γ)+3cos，α+γ), P=2sinγsin(2αtan则β=tan(333???22101?,b?2,c. =P，即a=时，当且仅当α+β=，sinγ=max423321222. +c: a+4abc<+b例6 在△ABC中，若a+b+c=1，求证2???22222,?0??. αcos, ββ, b=cos, c=sinβ【证明】设a=sinβαcos2??1，因为a, b, c为三边长，所以c<, c>|a-b|2???222?,?0??|.α·cos，所以sinβ从而β>|cos4??2222+2(ab+bc+ca), +c因为1=(a+b+c)+b=a222+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). +c+b所以aab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c) 又42222β·αcoscos2α·cos=sinββcos+sinβ1422=βcos2β+(1-cosβ2α)cos[1-cos] 2411442) -cos-cos22αcosβ=+cos2β(cosββ44111244. β-cos-sin)=β>+cos2β(cosβ4441222.+b+4abc<a所以+c2三、基础训练题32?__________. cosAcosB的最大值为，在．△ABC中，边AB为最长边，且则sinAsinB=14C?__________.，BC=2，则的取值范围是2．在△ABC中，若AB=13?3tanCtanB，则△ABC．在△ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+的面积为__________. 3?C=__________. ，则ABC中，3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=14．在△5．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的__________条件.6．在△ABC中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，则角A的取值范围是__________.35，cosB=，则cosC=__________. 7．在△ABC中，sinA=1351CA??tan.__________条件”的成等差数列”是“ABC8．在△中，“三边a, b, ctan3229．在△ABC 中，若sinC=2cosAsinB，则三角形形状是__________.10．在△ABC中，tanA·tanB>1，则△ABC为__________角三角形.0?，求这12，内切圆的面积是5：8，夹这个角的两边之比是60．三角形有一个角是11．个三角形的面积。

两相交于M，NA，B，D三点作圆，分别与AC，BC12．已知锐角△ABC的外心为D，过的外接圆半径等于△ABD的外接圆半径。

点。

求证：△MNC B sin A?sin，试判断其形状。

中，sinC=13．已知△ABC B cos A?cos四、高考水平训练题11__________. ，则最短边长为，且最长边长为中，若tanA=1, tanB=1．在△ABC32.个为三边长的钝角三角形有________∈N，则以3，5，n2．已知n+22+2C., p+q=1，比较大小：R psinB__________pqsinA+qsin3．已知p, q∈. 角三角形为__________△ABC 中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，则△ABC 4．在AA?cotcot__________3. 为△ABC 的内角，比较大小：5．若A8__________. ABC的形状为．若△ABC满足acosA=bcosB，则△606. A=60的三角形有，__________a=个, b=47．满足????2222?的取值范围是8．设+sin为三角形最小内角，且acos=a+1-cos，则-asina2222__________.030的西南方向，正西方向，西偏北，B，C是一段笔直公路上的三点，分别在塔D9．A AC段的最近距离。

方向，且AB=BC=1km，求塔与公路xy?x?1xy?1?y的实数解。

．求方程10710.sin20??．求证：11203五、联赛一试水平训练题2____________.的取值范围是，则sinB+cosB△ABC中，b=ac1．在C cos?2sin B cos A?中，若ABC．在ABC 的形状为____________. △2，则△B cossin C cos A?2CBA cot T?cot?cot?的最大值为-(cotA+cotB+cotC)，则．对任意的3△ABC，T222____________.ACB sinsinsin____________. ABC4．在△中，的最大值为23，C，|AB|=D为动点，且，D，其中A，B为定点，B5．平面上有四个点A，，C22的取值范围是+T，则S____________.|AD|=|DC|=|BC|=1。