f ( °A为) 的°A映射，是论域V上的一个模糊子集，其隶属度为 f(° A)(y)m f(xa) xy{° A(x)}
由扩张原则可知，如果 为f 单值映射，则 与 °A 对f应( 元°A )
素的隶属度保持不变，否则，像的隶属度取原像的隶属度的最大值。
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4.1 模糊集合论基础
（6）模糊关系
A{(x,A (x)|x X)}
其中：X称为论域， A ( x ) 称为模糊集A的隶属函
数。
A(Ax()x) 0,1,表 表示 示完 完全 全不 属属 于于 AA 0A(x)1, 表示部分属于A
隶属函数具有主观性，来源于个人感受和表达抽 象概念上的差异，与随机性无关。
基于模糊集合论的信息融合技术
万江文
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主要内容
1 模糊集合论基础 2 基于扩张原则的多传感器信息融合 3 基于模糊逻辑的多传感器信息融合 4 基于模糊积分的多分类器信息融合 5 基于可能性理论的信息融合
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4.1 模糊集合论基础
1. 模糊数学基础
用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为： 1.确定性现象：如水加温到100摄氏度就沸腾，这种现象的规 律性靠经典数学去刻画；
此外，若 A 为模糊数，则 A [，a即,b模]糊数的截集
为实数轴的一个闭区间。
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4.1 模糊集合论基础
（5）模糊集合与普通集合的相互转化
定理1（分解定理）:
设 A 为论域U上的一个模糊子集， 为A A 的 截集 ， 模糊子集 A为 与 的“A 乘积”, 其隶属函数定义为
A (x)0
（3）向量表示法：
A {A(x1), A(x2 ),..., A(xn )}
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4.1 模糊集合论基础
(二)当论域 X 为连续集时:
Zadeh表示法：
A A(x)
xx
式中：Σ 和 ∫ 表示论域U中各个元素u与隶属度μA(x)的对 应关系，并不是求和与积分。
例 设论域为年龄X=[0，200]，Zadeh给出了“年青”A
定义1：设 A 为论域U上的模糊子集，对任意 ，[0,的1] A 隶属度达到或超过 的元素的集合（普通集合）为
A { x|x U ,A (x) }
称 为A 的 截A 集。
可以证明，截集满足 ( A U B) A U B
( A I B) A I B
A A (0 1)
这个模糊集表示如下：
A
1
[1 ( x 25)2 ]1 5
x 0 x25
25 x200
x
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4.1 模糊集合论基础
（3）模糊集合的运算
两个模糊集合间的运算，实际上是逐点对隶属度作相应 的运算。设A，B，C和 A 都为论域X上的模糊子集。
①相等：A B A (x )B (x ) ②包含：A B A (x )B (x )
2.随机现象：如掷骰子，观看那一面向上，这种现象的规律性 靠概率统计去刻画;
3.模糊现象：如“今天天气很热”，“小伙子很帅”，…等等， 这种现象的规律性靠模糊数学去刻画。
3
4.1 模糊集合论基础
风的强弱
模糊现象普遍存在
人的胖瘦
年龄大小
个子高低
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4.1 模糊集合论基础
经典集合理论：一个元素和某一集合之间 的关系是“属于”或“不属于”；强调 “非此即彼”的关系。
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4.1 模糊集合论基础
（2）模糊集合的表达方式
(一)当论域X为有限（可数）集 合{x1,x2,…,xn}时:
（1）Zadeh表示法：
A A (x1) A(x2 ) … A(xn ) n A(xi )
x1
x2
xn
x i 1
i
（2）序偶表示法：
A {(x1, A(x1)),(x2, A(x2 )),..., (xn , A(xn ))}
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4.1 模糊集合论基础
（4）隶属函数的参数化
一维隶属函数：
高斯型钟形13来自4.1 模糊集合论基础
钟形隶属函数参数改变对其形状的影响：
bell(x,a,b,c) 1
1 xc 2b
a
调节c和a，可以改变隶属函数的中心 和宽度；用b控制隶属函数交叉点上的 斜率。
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4.1 模糊集合论基础
（5）模糊集合与普通集合的相互转化
特点：具有精确的边界，强调精确性。
模糊集合理论：用“隶属度”来表示的；强 调“亦此亦彼”的关系。
特点：具有模糊、平滑的边界，强调模糊性。
经典集合对温度的定义
模糊集合对温度的定义
集合是现代数学的基础概念；模糊集合是集合的发展，是模糊数学的基础
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4.1 模糊集合论基础
（1）模糊集合
模糊集合：如果X是对象x的集合，则将X的模 糊集合A定义为有序对的集合，即
(xA) (xA)
则 A 可以分解为
A U A [0,1]
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4.1 模糊集合论基础
（5）模糊集合与普通集合的相互转化
定义（扩张原则）
设 f :,UA 是论V域U上任一的普通集合，
Bf 的扩f(张A)给 为°定f V论°域f :U°A上 任一f (模°A糊) 子集 ，
°A
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4.1 模糊集合论基础
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4.1 模糊集合论基础
模糊集合的交、并、余运算具有如下性质：
①幂等律
A U A A ;A IA A .
②交换律 ③结合律 ④吸收律
A U B B U A ;A IB B IA . (AUB)UCAU(BUC); (AI B)I CAI (BI C). ( A U B ) IA A ;( A IB ) U A A .
模糊关系表示两个以上集合元素之间关联、交互或互联 存在或不存在的程度。
令X和Y是两个论域，则模糊关系R(X,Y)是X ×Y空间中 的模糊集合，可表示为
R ( X , Y ) { ( ( x ,y ) ,R ( x ,y ) ) |( x ,y ) X Y }
③并： C A U B C (x)m a x (A (x), B (x)) A (x)B (x)
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4.1 模糊集合论基础
（3）模糊集合的运算(续)
④交：
C A IBC (x)m in (A (x), B (x)) A (x) B (x)
⑤补： A(x)=1-A(x)