函数的极值和最值【考纲要求】1.掌握函数极值的定义。

2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值4.会求给定闭区间上函数的最值。

【知识网络】【考点梳理】要点一、函数的极值 函数的极值的定义一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连函数的极值和最值函数在闭区间上的最大值和最小值函数的极值函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1()(0)f x x x=>. 要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。

②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。

2.通过导数求函数最值的的基本步骤：若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.【典型例题】类型一：利用导数解决函数的极值等问题【高清课堂：函数的极值和最值394579 典型例题一】例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程；【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。

又(1)3,'(1)12f f ==所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=- 即1290x y --=. 举一反三：【变式1】设a 为实数，函数()22,xf x e x a x =-+∈R ．(1)求()f x 的单调区间与极值；(2)求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+．【解析】（1）由()22,xf x e x a x =-+∈R 知()2,xf x e x '=-∈R ．令()0f x '=，得ln 2x =．于是当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：x (,ln 2)-∞ln 2(ln 2,)+∞()f x ' － 0+ ()f x单调递减2(1ln 2)a -+单调递增故()f x 的单调递减区间是(,ln 2)-∞，单调递增区间是(ln 2,)+∞，()ln 2f x x =在处取得极小值，极小值为ln 2(ln 2)2ln 222(1ln 2).f e a a =-+=-+(2)证明：设2()21xg x e x ax =-+-，x ∈R 于是()22xg x e x a '=-+，x ∈R由(1)知当ln 21a >-时，()g x '最小值为(ln 2)2(1ln 2)0.g a '=-+> 于是对任意x ∈R ，都有()0g x '>，所以()g x 在R 内单调递增． 于是当ln 21a >-时，对任意(0,)x ∈+∞，都有()(0)g x g >． 而(0)0g =，从而对任意(0,),()0x g x ∈+∞>． 即2210xe x ax -+->，故221xe x ax >-+．【变式2】函数()f x 的定义域为区间（a ，b ），导函数'()f x 在（a ，b ）内的图如图所示，则函数()f x 在（a ，b ）内的极小值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】由极小值的定义，只有点B 是函数()f x 的极小值点，故选A 。

类型二：利用导数解决函数的最值问题【高清课堂：函数的极值和最值394579 典型例题三】例2.已知函数2()(),xf x x mx m e =-+其中m R ∈。

（1）若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；（2）当0m <时，求函数()f x 的单调区间；并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。

【解析】（1）因为函数()f x 存在零点，则20x mx m -+=有实根，240m m ∆=-≥，即04m m ≤≥或（2）当0m <时，函数定义域为R22()(2)()(2)(2)x xx xf x x m e x mx m e x x mx e x x m e '=-+-+=+-=+-由()0f x '=，则02x x m ==-或 由()0f x '>，则02x x m ><-或 由()0f x '<，则20m x -<< 列表如下： x(,2)m -∞-2m -(2,0)m -(0,)+∞'()f x + 0 - 0 + ()f x增极大值减极小值增所以()f x 在(,2)m -∞-，(0,)+∞上单调增，在(2,0)m -上单调减。

又知当2x m <-→-∞且时，()0f x >；0x >→+∞且时，()0f x >； 而(0)0f m =<，所以()f x 存在最小值(0)f m =. 举一反三：【变式】已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值; (2)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值. 【解析】(1)由()1c ，为公共切点可得:2()1(0)f x ax a =+>,则()2f x ax '=,12k a =,3()g x x bx =+,则2()=3g x x b '+,23k b =+,∴23a b =+①又(1)1f a =+,(1)1g b =+,∴11a b +=+,即a b =,代入①式可得:33a b =⎧⎨=⎩.(2)Q 24a b =,∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++,令()0h x '=,解得:12a x =-,26ax =-;Q 0a >,∴26aa -<-,∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增,在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减,在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增①若12a--≤,即02a <≤时,最大值为2(1)4a h a -=-;②若126a a -<-<-,即26a <<时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时,即6a ≥时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 综上所述:当(]02a ∈，时,最大值为2(1)4a h a =-;当()2,a ∈+∞时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.例3（2016 东城区模拟）已知函数2()ln f x x a x =-，a ∈R ． (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；(Ⅱ)求()f x 在区间[1,)+∞上的最小值；(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若2()()h x x f x =-，求证：当21e x <<时，恒有4()4()h x x h x +<-成立．【解析】（Ⅰ）由2()ln f x x a x =-，定义域为(0,)+∞，得'()2a f x x x=-． 因为函数2()ln f x x a x =-在1x =处取得极值，所以'(1)20af x x=-=，即20a -=，解得2a =． 经检验，满足题意，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）得2'2()2a x af x x x x-=-=，定义域为(0,)+∞．当0a ≤时，有'()0f x >，()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，最小值为(1)1f =；当02a <≤，由'()0f x =得2ax =，且012a<≤． 当(0,)2a x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减，当(,)2ax ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增， 所以在区间上单调递增，最小值为；当2a >时，12a>， 当(1,)2ax ∈时，'()0f x <，单调递减，当(,)2ax ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增， 所以函数()f x 在2a x =取得最小值()ln 2222a a a a f =-． 综上当2a ≤时，()f x 在区间上的最小值为； 当2a >时，()f x 在区间上的最小值为ln 222a a a-． （Ⅲ）由2()()h x x f x =-得()2ln h x x =． 当21x e <<时，0ln 2x <<，0()4h x <<， 欲证4()4()h x x h x +<-，只需证[4()]4()x h x h x -<+，即证44()1x h x x ->+，即22ln 1x x x ->+． 设22(x)ln 1x x x ϕ-=-+，则2'2212(1)(22)(1)(x)(1)(1)x x x x x x x ϕ+---=-=++．当21x e <<时，'(x)0ϕ>，所以(x)ϕ在区间2(1,e )上单调递增．所以当21x e <<时，(x)(1)0ϕϕ>=，即22ln 01x x x -->+， 故4()4()h x x h x +<-．举一反三：【变式1】设函数22()log (1)log (1)(01),f x x x x x x =+--<<求)(x f 的最小值; 【解析】函数f （x ）的定义域为（0，1）22'()(log )'[(1)log (1)]'f x x x x x =+-- 222211log log (1)log log (1)ln 2ln 2x x x x =--+-=-- 令1'()02f x x ==得 当102x <<时，'()0f x <, ∴()f x 在区间1(0,)2是减函数； 当112x <<时，'()0f x >, ∴()f x 在区间1(,1)2是增函数. ∴()f x 在12x =时取得最小值且最小值为1()12f =-.【变式2】(2015 江苏高考) 已知函数32()(,)f x x ax b a b R =++∈. (1)试讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝c -a (实数c 是a 与无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是33(3)(1)()22-∞-+∞U U ，，，，求c 的值.【解析】(1)f ′(x )＝3x 2+2ax ，令f ′(x )＝0，解得12203ax x ==，． 当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2＞0，(x≠0)，所以函数f (x )在(-∞，+∞)上单调递增；当a ＞0时，2(0)3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ，，时，f ′(x )＞0，203a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，f ′(x ) ＜0，所以函数f (x )在23a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，，(0，+∞)上单调递增，在203a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减； 当a ＜0时，2(0)3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ，，时，2()003a f x x ⎛⎫'>∈- ⎪⎝⎭，，时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(-∞，0)，23a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，在203a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减．(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f (0)＝b ，324327a f ab ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则函数f(x)有三个零点等价于324(0)0327a f f b a b ⎛⎫⎛⎫⋅-=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 从而304027a a b >⎧⎪⎨-<<⎪⎩或304027a b a <⎧⎪⎨<<-⎪⎩．又b ＝c -a ，所以当a ＞0时，34027a a c -+>或当a ＜0时，34027a a c -+<． 设34()27g a a a c =-+，因为函数f (x )有三个零点时， a 的取值范围恰好是33(3)122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U U ，，，， 则在(-∞，-3)上g (a )＜0，且在33122⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，上g (a ) ＞0均恒成立， 从而g (-3)＝c -1≤0，且3102g c ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭，因此c ＝1． 此时，322()1(1)[(1)1]f x x ax a x x a x a =++-=++-+-，因函数有三个零点，则2(1)10x a x a +-+-=有两个异于-1的不等实根， 所以22(1)4(1)230a a a a =---=+->△，且2(1)(1)10a a ---+-≠，解得33(3)122a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U U ，，，． 综上c ＝1．类型三：导数在研究实际问题中最值问题的应用例4.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c >千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r ． 【解析】(1)设容器的容积为V ，由题意知2343V r l r ππ=+，又803V π=， 故322248044203333V r l r r r r r ππ-⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭． 由于2l r ≥，因此02r <≤．所以建造费用2224202342343y rl r c r r r c r ππππ⎛⎫=⨯+=⨯-⨯+ ⎪⎝⎭， 因此21604(2)y c r rππ=-+，02r <≤． (2)由(1)得3221608(2)208(2)2c y c r r r r c πππ-⎛⎫'=--=- ⎪-⎝⎭，02r <<． 由于3c >，所以20c ->， 当32002r c -=-时，r =m =，则m ＞0， 所以2228(2)()()c y r m r rm m rπ-'=-++． ①当02m <<即92c >时，当r m =时，0y '=； 当(0,)r m ∈时，0y '<； 当(,2)r m ∈时，0y '>，所以r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点． ②当2m ≥即932c <≤时，当(0,2)r ∈时，0y '<函数单调递减， 所以r=2是函数y 的最小值点， 综上所述，当932c <≤时，建造费用最小时2r =， 当92c >时，建造费用最小时r =【巩固练习】1.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是2.设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞bB. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜bC. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞bD. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b3.已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），且f （x ）=a x g （x ）（a ＞0，且a ≠1），()()()()115112f f g g -+=-，若数列()()f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和大于62，则n 的最小值为（ ） A ．6B ． 7C ． 8D ．94.（2015 东北师大附中质检）设函数(x)f 是连续函数，且在1x =处存在导数，若函数(x)f 及其导函数'(x)f 满足'()(x)ln f x f x x x•=-，则函数(x)f （ ） A ．既有极大值又有极小值 B ．有极大值，无极小值 C.有极小值，无极大值 D ．既无极大值又无极小值5.已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论： ①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④6．函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是___________。