光线上该点的折射率
对于均匀介质： n(r )
光线方程可表示为
r
常s数a，光b（线直沿线直方线程传，播
a,
b
对于非均匀介质：考虑
n(r )
为常矢量） 为常数的微小区间
§2.1光线矢量与光线的矩阵变换
第二章几何光学的矩阵方法
对于非均匀介质：考虑
n(r )
为常数的微小区间
取微小光线弧长增量 s
2）Z轴之上，y＞0；Z轴之下，y＜0
3）在水平向右为正方向的Z轴坐标系中，由平行于
Z轴正方向逆时针旋转得到的角度 反之为负
＞0，
§2.1光线矢量与光线的矩阵变换
第二章几何光学的矩阵方法
光路可逆性质与光线变换矩阵的逆矩阵
若逆向传播 ( y,) ( y0,0)
y0
0
M y
M
M
y0
0
两种介质之间的分界面时，V保持不变。
2. 涉及到的光学系统中所有变换矩阵都是
幺正矩阵：
a M c
b
d
行列式等于1，即
ad bc 1
§2.1光线矢量与光线的矩阵变换
第二章几何光学的矩阵方法
若光线矢量的矩阵表示：
y
则：
1. 入射光线和出射光线处于折射率相同的介质中：
a
M
c
b
d
行列式等于1，即 ad
MM E （单位方阵）
M
M 1
1 det( M )
d c
n=n’ : det(M)=1
b
a
§2.1光线矢量与光线的矩阵变换
三、光线在不同介质中的连续变换 第二章几何光学的矩阵方法
1.连续变换 几何光学系统的问题可以归结为光线在各种介质
及其界面或由典型光学元件组成的光学系统中的
连续变换
假设：光学系统在不同介质界面中共有n 次变换。
§2.2典型的光线变换矩阵
第二章几何光学的矩阵方法
一、均匀介质层（板）内的光线变换矩阵（平移矩阵）
y y0 L0 0
y 1
0
Ｙ
L y0
1
0
P
0
y0
P
y
1 L
M 0
1
０
Ｚ＝Ｌ Ｚ
§2..2典型的光线变换矩阵
m1
m3 m5
m2 m4
P0( y0 ,0 )
mn2
mn
mn1 P( yn,n )
Z
y1
1
a1
c1
b1 y0
d1
0
§2.1光线矢量与光线的矩阵变换
第二章几何光学的矩阵方法
y2
2
a2
c2
b2 d2
y1
1
a2
c2
b2 a1
d
2
c1
yn
n
an
cn
bn yn1
bc
1
2. 一般情况：
det M ad bc n1 n2
n1 、n2 分别为入射光线和出射光线所在介质的折射率
本书：入射光线和出射光线处于折射率相同 的介质中。
§2.1光线矢量与光线的矩阵变换
符号规则
第二章几何光学的矩阵方法
1）规定Z轴从左向右为正方向，且为光线传播方向， 一般规定坐标原点位于Z轴与入射面交点处。
第二章
第二章几何光学的矩阵方法
几何光学中的矩阵方法
§2.1光线矢量与光线矩阵变换 §2.2典型的光线变换矩阵 §2.3近轴光学的基本公式 §2.4光线变换矩阵的特征值与变换系统的特征光线 *§2.5非共轴系统的光线变换矩阵 §2.6光程函数的矩阵表示
背景、前提：
第二章几何光学的矩阵方法
用矩阵来解决几何光学中理想成像问题
的前提） r0
r
Mr0
M为光线变换矩阵
轴对称光学系统中的光矢量：
设对称轴——光轴沿Z轴方向
任取YOZ平面
Y
P点距离Z轴的高度y P点光线传播方向与Z
光 线
轴夹角
P( y, )
y
光线描述 的 简化
(r,e) ( y, )
0
Z
§2.1光线矢量与光线的矩阵变换
第二章几何光学的矩阵方法
Y
光线由( y0 ,0 ) ( y,)
e
为表征光线方向的单位矢量
y
r
r
是空间位矢
e
（光线方向）
(r )
常数
x
光线在空间中的瞬时变化规律：
n(r )e
(r )
§2.1光线矢量与光线的矩阵变换
n(r )
dr
(r )
光线方程
第二章几何光学的矩阵方法
ds
上式两边同时点乘 dr
n(r )
dr
(r )
ds
ds
某点光程函数的梯度在光线切线方向上的投影等于
d
n
n1
设每个传播单元的变换矩阵为 M i
Mi
ai
ci
bi
d
i
b1 y0
d1
0
从系统角度
y0
0
yn
n
M
y0
0
§2.1光线矢量与光线的矩阵变换
第二章几何光学的矩阵方法
M
an cn
bn an1
d
n
cn1
bn1 d n1
a2 c2
b2 a1
d
2
c1
b1
0
( y0 ,0 )
用矩阵表示为
0
( y,)
Z
y a
c
b y0
d
0
a M c
b
d
光线变换矩阵
§2.1光线矢量与光线的矩阵变换
光学方向余弦
第二章几何光学的矩阵方法
V n（严格讲应为 V nsin）
若光Vy线 矢ny量 的特矩点阵：表示：Vy
y
n
1.V服从斯涅耳定律（Snell’s law）：光通过
r
r0
r
r0 x0i y0 j z0k
y
r
0
e
P( x, y)
r0
e0
P( x0 , y0 )
x
z
PP' s
r ( x0 x)i ( y0 y) j (z0 z)k
§2.1光线矢量与光线的矩阵变换
第二章几何光学的矩阵方法
二、光线矢量的线性变换、光线变换矩阵
光线在介质中的传播变换是线性变换（应用矩阵方法
理想成像近似条件：
ⅰ）几何光学的假设： 0
忽略衍射效应， 遵循光的直线传播原理。
ⅱ）近轴光线的假设： tg ,sin
点光源发出的各近轴光线可近似认为会 聚于同一点，能量不扩散，忽略各种像差。
第二章几何光学的矩阵方法
§2.1光线矢量与光线的矩阵变换
一、光d1
注意：由入射面到出射面自右向左连续相乘；不
满足交换规律，次序不能颠倒；满足结合律
P0( y0 ,0 ) L1
M1 M2 M3 M4
L2
P( y, )
M6 M5
M7
y
M
7
M
6
M
5
M
4
M
3
M
2
M1
y0
0
M (M7 M6M5 )M4(M3M2M1 )
M L2 M 4 M L1
§2.1光线矢量与光线的矩阵变换
2.ABCD法则
的方向是光线的切线方
第二章几何光学的矩阵方法
向，与波面垂直，代表了光
波面的法线方向
Y
近轴条件下
R
y
波面
R0
y0
0
R
y
R
y
y ay0 b0 cy0 d0
0
a y0 b
Z
R ay0 b0 0 aR0 b
cy0 d0 c y0 d cR0 d
0
§2.1光线矢量与光线的矩阵变换