(5)关门：如图4-8所示。这时柔顺坐标系的原点放 在门的铰链轴上，Zc轴与铰链轴重合，Xc轴与门 的法线方向一致，该坐标系随门的转动而转动。这 时除绕Zc轴的旋转需进行位置控制外，其余自由 度均需进行力的控制 。
图4-8 关门
通过以上例子可以看出，柔顺坐标系具有以下几 个特点： (1) 柔顺坐标系是正交坐标系，利用它便于描述作 业任务； (2) 一般来说，柔顺坐标系是时变的。但根据作业 任务的不同，它可以是下面几种情况的一种： (a)柔顺坐标系相对基坐标系是固定的。如在黑板 上写字(图4-4)时将其固定在黑板上的情况； (b)柔顺坐标系相对于机械手末端的工具是固定的。 如销钉插孔(图4-5)时将柔顺坐标系固定在销钉上； (c)柔顺坐标系相对于被操作的物体是固定的。如 拧螺钉(图4-6)、转动曲柄(图4-7)及关门(图4-8)等情 况； (d) 与任何预先定义的坐标系均无固定的关系。如 在黑板上写字(图4-4)时坐标原点随接触点移动的情况。
Ni1,i Ni,i1 (ri1,i ri,ci ) fi1,i (ri,ci） （ fi,i1 ) 0 i 1, , n (4.2)
这里ri-1,i是从Oi-1到Oi的3×1位置矢量，而 ri,ci表示从Oi到Ci的位置矢量。力fi-1,i和力矩Ni1,i是相邻连杆i和i-1之间的耦合力和力矩。 当i=1时，耦合力f0,1和力矩N0,1和可解释为基 座对手臂的作用力和力矩(见图4-2(a))。
i 1,, n
(4.1)
其中所有矢量都是表示在基坐标系 O0 x 0 y 0 z 0 中。
图4-2 作用在连杆i上的力和力矩
下面研究力矩的平衡情况。由连杆i-1施加在连 杆i上的力矩用Ni-1,i来表示，因此，由连杆i+1施 加给连杆i的力矩是-Ni-1,i，同时，力fi-1,i和- fi-1,i 也 会对重心Ci产生力矩。因而相对于重心Ci的力矩 平衡式为：
当i=n时，耦合力和力矩为fn,n+1和Nn,n+1，如图 4-2(b)所示。当抓具(即连杆n)与环境接触时，这 个作用力和力矩的反作用力和力矩就作用于最后 一个连杆。 为了方便，我们把环境考虑为附加的连杆n+1, 而用-fn,n+1和Nn,n+1分别表示连杆n+1对连杆n的作 用力和力矩。 图4-3 基 座和环境 所施加的 力和力矩
i
b
T i 1
Ni-矩Ni-1,i的分量由关节结构承受， 它们是无功的约束力矩。
图4-4 滑移关节的耦合力和关节力
我们把全部关节力和关节力矩合在一起定义n维 向量为
1 n
(4.6)
我们称 为关节力矩或力的矢量，或简称关节 力矩。关节力矩表示执行装置对手臂连杆的输入力 矩。下面的定理给出了关节力矩 和末端力矢量F 之间的关系。 定理 假设关节机械无摩擦，那么为产生任意 的末端力F所需的关节力矩 为 （4.7） JTF 这里J为6×n雅可比矩阵。它联系着关节的微 分位移dq和抓具的微分位移ds，即ds= J dq 在上述（4.7）式中，关节力矩中不包括重力 矩或任何其它力矩。它们是与末端力和力矩平衡 的净力矩。我们称方程（4.7）的 为与末端力F 对应的等效力矩。
1 1 2 2 K mv mx 2 2
1 2 P kx 2
1 2 1 2 kx L K P mx 2 2
L kx x
L mx x
d ) m (mx x dt
于是，小车的运动方程为：
kx F m x
用牛顿方程：
F ma
(4)转动曲柄：如图4-7所示。这时柔顺坐标系放置 在曲柄的摇把上，Zc轴与摇把的轴重合，Xc轴指向 曲柄的中心轴。这时绕着Zc轴的旋转及沿Yc轴的移 动需要进行位置控制，所有其它自由度均需进行力 的控制。在该例中，柔顺坐标系固定在曲柄上，因 而相对基坐标系或抓手坐标系却是不固定的 。
图4-7 转动曲柄
f n ,n 1 F N n ,n 1
(4.3)
我们称F为末端力和力矩矢量，简称末端力。
4.2.2
等效关节力矩
对于由执行装置施加的力矩与引起的末端力 之间的函数关系。假定，每个关节由独立的执行 装置驱动，执行装置在相邻连杆之间施加一个驱 动力矩或者力，设 i 是驱动关节i的驱动力矩或力。 对于滑移关节，驱动力 i 是沿第i关节轴的 方向（即i-1坐标系的zi-1轴方向），见图4-3。假 设关节的机械特性是光滑的，即没有摩擦，这样 就可以把连杆i-1和连杆i之间的耦合力fi-1,i与关节 力 i 联系起来，其关系为

§4. 3 柔顺运动控制的基本概念和方法
4.3.1 柔顺坐标系的建立 为了便于描述柔顺运动的任务及对其进行控 制，需要定义一种新的正交坐标系，我们称它为 柔顺坐标系(compliance frame)，有时也称之为 任务坐标系或作业坐标系(task frame)。在该坐标 系中，任务可以被描述成沿各个坐标轴的位置控 制和力的控制。对于其中的任何一个方向的自由 度(沿三个正交轴的移动和绕三个轴的旋转),或者 要求是力的控制，或者是位置的控制，不可能在 同一个自由度既进行力的控制，又进行位置的控 制，二者必居其一 。
（1）黑板上写字（图4-4） ：由于黑板的存在， 沿轴方向的位置受到限制，这是自然约束。如果假 定粉笔与黑板之间是无摩擦的，那么沿黑板切线方 向的力必须为零，从而fz=0和fy=0也是两个自然约 束。绕三个轴也存在反抗力矩，因此mx=0、my=0 和mz=0是另外三个自然约束。认为约束包括沿xc、 yc方向的期望的运动。最后归纳得到如下的结果：
图4-4
黑板上写字
当机械手向黑板移动而尚未接触到黑板时，这 时6个自由度均为位置控制。由于这时机械手末端 在空间是自由的，无任何反作用，因此无力的自 由度。当粉笔接触到黑板时，这时沿Zc轴方向朝 黑板的进一步运动受到限制，也即该方向的位置 的自由度没有了，而代之以力的自由度，也就是 说这时可以控制沿Zc轴方向的压力。如果粉笔被 完全粘在黑板上,它既不能移动也不能转动，这时 只有力和力矩的自由度，而无任何位置的自由度。
(2)销钉插孔，如图4-5所示。在例中，柔顺坐标系 坐标系固定在销钉上，其原点在销钉轴上，Zc轴与 销钉的中心轴相重合。这里沿着Zc轴方向的移动及 绕着Zc轴的转动需要位置控制，而其余的自由度均 为力或力矩控制。若抓手与销钉之间无相对运动， 则柔顺坐标系与抓手坐标系的关系是固定的。
图4-5 销钉插孔
4.3.2 自然约束和人为约束
在建立柔顺坐标系时已经说到，柔顺坐标系的每 个自由度或是位置控制，或是力控制，两者必居其 一。这说明，当某个自由度是位置的自由度时，它 必然受到力的约束，因此只能对它进行位置的控制， 而不能进行力的控制。反之亦然。这种位置和力的 控制的对偶关系可以通过自然约束（natural constraints）和人为约束（artificial constraits） 这两个术语来描述。自然约束是由任务的几何结构 所确定的约束关系。人为约束则是根据任务的要求 人为给定的期望的运动和力。下面对前面已列举的 5个例子给出具体的分析。
上述方程(4.1)和(4.2)适用于除基座外的全部连杆。 这样总的矢量方程个数为2n，而其中包含的耦合力 和力矩是2(n+1)个。因此，有两个耦合力和力矩必 须给定，否则便不能解出该方程组。末端的耦合力 fn,n+1和耦合力矩Nn,n+1是机械手对环境施加的力和力 矩。为了完成一定的作业，机械手必须施加一定的 力和力矩。因此，我们认为这个耦合力和力矩是给 定的，从而可解出以上2n个方程。为了方便，我们 把fn,n+1和Nn,n+1写成下面一个6维矢量
i b f i-1,i
T i 1
（4.4）
这里bi-1表示指向关节轴i方向的单位矢量。而 aTb表示矢量a和b的内积。方程(4.4)意味着执行 装置承受的仅仅是fi-1,i沿关节轴方向的分量，而其 它方向上的分量都是由关节结构承受，这些耦合 力分量是内部的约束力，它们不做功。
对于旋转关节， i 表示驱动力矩。这个驱动力 矩与沿关节轴i方向的耦合力矩Ni-1,i的分量平衡
(1) 黑板上写字：这时柔顺坐标系的选择如图4-4所 示.其中黑板平面即为柔顺坐标系的XcYc平面，Zc 轴垂直于黑板平面,坐标原点Oc可以选为黑板上固 定的某一点，这时柔顺坐标系相对基坐标是固定 的。也可以选Oc为粉笔与黑板的接触点，这时柔 顺坐标系是时不变的，它与基坐标系及抓手坐标 系均无固定的关系。
F kx ma
F ma kx
机械手和环境之间的接触将在接触处产生相互 作用的力和力矩。每个机械手的关节运动都是由各 自的执行装置驱动的。相应的关节输入力矩，经手 臂的连杆传送到抓具，并在抓具处引起对环境的力 和力矩。
对于象焊接、喷漆、搬运等工作，通常只需要 单纯的位姿控制；而如装配、切割、研磨、打毛刺、 擦玻璃等作业，机器人的末端工具需要与被操作的 物体或环境接触，通过相互之间的作用力完成一定 的作业，对于这些工作，只采用位姿控制是不够的， 因为微小的误差可能使工具与环境脱离接触或产生 很大的相互作用力。这时的控制就易采用柔顺方法。
式中：L是拉格朗日函数，K是系统动能，P是 系统势能。
L Fi i t x
L x i
L Ti t i
L i
式中：F是所有线运动外力之和，T是所有转 动外力矩之和，x 是系统变量。 例4.1 分别用拉格朗日方程及牛顿方程推倒如图 所示的单自由度系统的力和加速度关系。
(3)拧螺钉：如图4-6所示。这时柔顺坐标系固定在 螺钉上，原点Oc在螺钉的轴线上，Zc轴与螺钉轴 重合。该柔顺坐标系与基坐标系及抓手坐标系均无 固定的关系，而和被操作的物体具有固定的关系。 在该例中，绕Zc轴的转动及沿Yc 方向的移动需要 进行位置控制，而其余自由度均需进行力的控制 。