9.4 （2）三阶行列式 按一行（或一列）展开一、教学内容分析三阶行列式按一行（或一列）展开是三阶行列式计算的另外一种法 则，学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、 三阶行列式的 内在联系，同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法， 这个 法则更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题的 研究方法.本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研究 三阶行列式按一行（或一列）展开法则.二、教学目标设计⑴ 掌握余子式、代数余子式的概念；⑵ 经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的 符号的确定方法和三阶行列式按一行（或一列）展开方法，体验研究数 学的一般方法；⑶体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂 问题简单化的数学思想. 三、 教学重点及难点三阶行列式按一行（或一列）展开、代数余子式的符号的确定. 四、 教学过程设计一、情景引入【实验探究1】（1）将下列行列式按对角线展开：（2）对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式［说明］b 2 C 2 b 3 C 3 & 93 C 2 C 3 b i b 2 q C 292 b 2 33 b 3b i C i b 3 C 3a ib i a 2 b 2 93 b 3C i C 2C 3a i a2a 3b ic ib 2 C 2表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗?b 3 C 3a 3b s C 3(i)请学生展开几个行列式的主要目的是：巩固复习前面学习的 知识；同时，有意识地设计这几个行列式的展开，有助于学生发现三 a i b i C,a ?b ? C ?a 3b 3 C 3请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式的？a i bl C i开式 a 2 b 2 C 2 a i b 2C 3 a zd c, a s b© a s b ?® a z b© a i b s C ?变形为:与相应的二阶行列式间的关系.阶行列式 (2)将二阶行列式a i a ? a 3b i b ? b 3 C iC ? C 3a ib i C i表示成几个含有二阶行列式运算的 式子，结果可能不唯一，可以有a 2 b 2 C 2a ia 3b 3 C 3b ? C ?b3C3b ia2 a3C 2 C3C i a ? b ?a3b3等等.二、学习新课1.知识解析在刚才的实验中，将三阶行列式 阶行列式运算的式子，主要有:a i a 2 a 3b i C ib ? C ?表示成了含有三个二 b 3 C 3aia ? a 3ai a2 a3a i a ? a 3bi Ci b ?C ? b 3 C 3 biCi b ? C ?b 3 C 3 b i C ib ? C ? b 3 C 3b ? C ? b i a ? C ?a ?b ?a ib 3 C 3 a 3 C 3 C ia 3b 3b ? C ? bl C ib i C ia ib 3 C 3a?a3C 3a3b ? C ? a ? C ?a i C ia i C ib ?b 3a 3 C 3a3C3a ? C ?等等. 事实上，以aia2a 3bl b 2 b 3 C i C ? C 3a ib ?b3C2 C 3bla2 a3C2 C3C ia ?b ?a3b3为例，先将展b象这样的展开，我们称之为三阶行列式按第一行展开.类似的， 我们可以将三阶行列式按第二行或按列展开. 从上述研究，我们不难 发现这种展开方法的关键是要找到三阶行列式某一行或某一列各个 元素的代数余子式.不难发现，要确定某元素的代数余子式，我们可 以先确定其余子式，然后确定代数余子式符号，而最主要的就是其符 号的确定.为了让学生有较深刻的体会，教师可以组织学生完成实验 探究2.【实验探究2]请学生结合刚才确定a i , b i , C i 的余子式和代数余子式的方法， 完成下表，并试着研究某个元素的代数余子式的确定方法. 【工作11 填写下表:a , bl C i a 2b 2 C 2 a 3 b a C 3(a i b 2C 3 a i b 3C 2)©be a z be) ©dG a s b zG ),然后分别提取公因式，可以得到 a , b i C ia ：b 2 C 2 a 3 b 3 C 3a i 饷3b 3C 2) h (a 3C 2 a 2C 3) C i (a 2b 3 a s b ?)再利用实验中已有的展开式 d C 2d C 3 a 2 a 3a 2a3b 2C 3 b 3C 2 a 2C 3azd a 3b 2 C2C 3 b 2b 3从而很容易就得到结果了.其中二阶行列式①、②、③分别叫做元素 a i , b i , C,的余子式，添上相应的符号（正号省略），如b 2 C 2 b3C3B 1a2qa3 C3a 2b 2 a 3 b 3A 、B i 、C i 分别叫做元素a ,, bl , C ,的代数余子式.于是三阶行列式可 以表示为第一行的各个元素与其代数余子式的乘积之和：a i h G a 2b 2 C 2a 3b 3 C ea ib 2 C 2 a C 3a ： C 2a3C3C ia 2b 2a 3 t h【工作21总结代数余子式的确定方法:［说明］(1)以上实验主要由学生合作完成，实验的目的主要是让学生经历实验、归纳、猜想、抽象并获得新知的过程；(2)教师可以将学生分成数个学习小组，合作实验研究，并交流研究结果，最后由教师总结.(3)通过上述研究，教师要引导学生发现：确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的位置关系所组成的二阶行列式；而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置(即第i行，第j列)有关，其代数余子式的正负号是“ (1) j”.一般地，三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开成该行(或该列)的各个元素与其代数余子式的乘积之和.其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符2 .例题解析例题1.按要求计算行列式:（1） 按第一行展开; （2） 按第一列展开.［说明］（1） 一个三阶行列式可以按其任意一行（或一列）展开，其中，最 关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式 （尤 其是其符号）；（2） 当一个三阶行列式的某一行（或某一列）元素中，0的个数较 （或该列），这样计算往往比较方便.例题2.计算: (1)［说明］（1） 设计这样一组例题主要有两个目的：一，考查学生的逆向思 维能力；二，为后续知识的学习做准备；（2） 由例题2（2）计算结果，我们可以发现：如果将三阶行列式的某一行（或一列）的元素与另一行（或一列） 的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和为零；如果一个二阶行列式或（三阶行列式）有两行（或两列）相同，那么 这个行列式等于零.3 .问题拓展思考：我们上节课已经学习了三阶行列式展开的对角线法则， 为 什么这节课还要学习按一行（或按一列）展开呢？你觉得这有什么意 义吗？ ［说明］一个三阶行列式按一行（或按一列）展开后就转化为二阶行列式 的运算，这种将复杂问题转化为简单问题的思想方法是数学研究中常 用的方法.多，我们往往将行列式按照该行 b2b 3 K 参考答案〗 ⑵a 2 qC 3 (1)0b 2a 2 a 3C 2a2b2b 3(2)0只要学生能领悟到这一点，马上就可以意识到任何一个行列式（哪怕是n阶行列式）最后都可以转化为二阶行列式的运算.三、巩固练习教材第99页，练习9.4 （2）.四、课堂小结（1）余子式、代数余子式的概念；（2）三阶行列式按一行（或一列）展开方法.五、作业布置根据学生的具体情况，对习题册中的问题进行增减.五、教学设计说明本节课的教学内容是三阶行列式按一行（或一列）展开方法，从内容上看，这部分内容与上节课一样，同样概念性比较强，同样容易上成教师“一堂言”的枯燥无味的数学课，但是这部分内容却蕴涵了重要的数学思想方法.单纯的死记硬背不是好的学习方法，理解比记忆重要，能力比知识的本身重要.我把本节课的教学模式设计为通过实验探究、对比分析、大胆猜想、证实猜想，从而逐步获得新知，让学生体验数学学习的乐趣，感悟数学研究的一般方法.。